Neuse anónima

Nunca reparara nas construcións neuse ata que comecei a remexer no recomendable blogue Regra e compás de Paulo González Ogando. Polas súas máis de 200 entradas podemos navegar por un sistemático estudo das construcións da xeometría plana que son factibles segundo diversos procedementos. Facendo honra ao nome do blogue, moitas delas poden realizarse con regra e compás. Lembremos que neste caso suponse que o compás colapsa nada máis se fixo uso del, polo que non nos serve como transportador de lonxitudes. Tampouco podemos trasladar lonxitudes coa regra pois enténdese que non ten marcas; a súa utilidade consistirá en trazar rectas entre dous puntos calquera do plano. A xeometría euclidiana clásica só facía uso destas ferramentas. Baixo estes supostos moitas construcións non serían posibles. Porén, se no canto da regra clásica permitimos usar unha regra con dúas marcas Q e R a unha distancia QR=a (diastema), seremos quen de trisecar ángulos (seguindo ben a Arquímedes, ben a Conway), duplicar o cubo, construir un heptágono  un eneágono e moitos outros polígonos regulares. O uso da regra marcada tamén é coñecido como neuse, segundo a súa denominación clásica. Vexamos en que consiste.

Os seguintes parágrafos describen o que se pode ver na applet de Geogebra.

Supoñamos que temos un punto P, dúas rectas r e s e unha distancia Q'R'=a. Imaxinemos que cravamos en P unha punta. Agora colocamos a regra marcada pasando por P e xirámola mantendo o punto Q' na recta s ata que o outro extremo do segmento, R', fique sobre r. Así obtemos a recta buscada que pasa por A, B (distantes a unidades) e P.

Se partimos dun punto P e dúas circunferencias c e d, volvemos a colocar a punta en P e sobre ela xiramos a regra marcada mantendo o punto Q na circunferencia c ata que o outro extremo, R, fique en d. Así achamos os segmentos AB e CD, ambos aliñados con P e de lonxitude igual á do diastema QR.

Finalmente dado P, unha circunferencia c e unha recta r, colocando a punta en P e movendo sobre ela a recta marcada co punto Q na circunferencia, obteremos AB e CD, ambos aliñados con P e de lonxitude igual á do diastema QR.

A neuse para resolver a duplicación do cubo

Os libros de historia das matemáticas afirman que nesta ciencia houbo un cambio substancial na época da Grecia clásica. Anteriormente, en Exipto e Babilonia as matemáticas aparecían sempre como técnica aplicadas para a resolución de determinados problemas prácticos. Non hai constancia dunhas matemáticas entendidas como un saber dedutivo que trata sobre teorías abstractas. Consideremos, por exemplo, un dos problemas clásicos, o 

Problema da duplicación do cubo. Dado un cubo de aresta AB, achar (con regra e compás) a aresta CD doutro cubo que duplique o volume do de aresta AB.

Parece ser que Eratóstenes de Cirene (276 a.C - 194 a.C.) é o autor dunha carta que contén, non unha, senón dúas versións do problema. Aquí xa comezamos a enxergar que pouco importa o contexto do problema. Un dos enunciados ten como protagonista ao mítico rei Minos ao que as dimensións da tumba do seu fillo Glauco lle parecían demasiado pequenas e ordenaba construir unha co dobre de capacidade. A outra versión relata que os atenienses consultaron como facerlle fronte a unha devastadora epidemia ao  oráculo de Apolo en Delos. A resposta foi que debían duplicar o altar de Apolo, de forma cúbica. Velaquí que este problema tamén recibe o nome de problema délico.

A restricción das ferramentas a usar, en exclusiva a regra e o compás, é o que fan imposible a resolución do problema tal e como demostrou en termos alxébricos Pierre Wantzel no 1837. Porén, se permitimos outros métodos de construción si podemos resolver o problema. En particular, podémolo facer empregando a neuse 

Paulo R. Ogando reproduce a construción do clásico de Henrich Dörrie (1873-1955), 100 Great Problems of Elementary Mathematics que é esencialmente unha versión simplificada da de Nicomedes (ca. 280 a.C- ca 210 a.C)  debida a Newton (1642/3-1727). Velaquí a ligazón a esa entrada en Regra e compás.

A neuse anónima

Vou presentar outra construción con regra marcada para a duplicación do cubo, coa particularidade de que non sei de onde a saquei. Tíñaa entre as notas da lectura do libro Tales of impossibility de David S. Richeson, que trata, en boa medida os mesmos temas que o blogue Regra e compás. Pero despois dunha rápida revisión comprobei que non estaba nese libro e non podo dicir a quen se lle debe atribuir esta neuse anónima. 

Partimos dun segmento AB de lonxitude 1. O noso obxectivo será determinar outro segmento AE que mida $\sqrt[3]{2}$. Para iso comezamos prolongando a recta AB e despois trazamos unha circunferencia de centro B e raio AB que corta á recta en C. Tomando este novo punto como centro trazamos outra circunferencia do mesmo raio que cortará a outra en D. A recta BD formará un ángulo de 60º coa outra. Trazamos tamén a perpendicular a AB polo punto B.

Agora aplicamos a construción coa regra marcada en dous puntos que disten 1. Colocando a punta en A movemos a marca da regra pola perpendicular BE ata que o outro extremo da marca se encontre sobre a recta BD no punto F. Temos pois a recta AEF onde EF mide 1 e AE será a solución buscada. Para comprobalo trazamos finalmente desde F a perpendicular á recta AB.

Chamémoslle α ao ángulo comprendido entre AF e AB. O seu coseno nos triángulos rectángulos ABE e AGF dan lugar a que $$cos\alpha =\frac{1}{x}=\frac{1+BG}{1+x} \Rightarrow BG=\frac{1}{x}$$

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triángulo ABE temos que $BE=\sqrt{x^{2}-1}$

Agora, calculando o coseno de 60º: $$cos60=\frac{BG}{BF}=\frac{1/x}{BF} \Rightarrow BF=\frac{2}{x}$$

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triángulo BGF obtemos $FG=\frac{\sqrt{3}}{x}$

Como as rectas EB e FG son paralelas podemos aplicar o teorema de Tales:$$\frac{AE}{AF}=\frac{EB}{FG}\Rightarrow \frac{x}{1+x}=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{3}/x}$$

Unhas poucas contas transforman esta última igualdade na ecuación: $$x^{4}+2x^{3}-2x-4=0\\\left ( x^{3}-2 \right )\left ( x+2 \right )=0$$

Descartamos a solución negativa x=-2 e quedámonos con que o valor de $x=\sqrt[3]{2}$

A revolución do "De Revolutionibus"

De revolutionibus orbium coelestium, ou máis brevemente De revolutionibus, é o volume, en seis libros, escrito por Copérnico (1473-1643) e publicado, coma quen di, póstumamente, no 1643 pois cóntase que cando saiu do prelo o autor xa estaba no seu leito de morte. Deste xeito tan tráxico o astrónomo presentaba públicamente o seu sistema dun mundo heliocéntrico. O escritor Arthur Koestler (1905-1983) cualificaríao no best-seller Os sonámbulos como "o libro que niñguén puido ler". As razóns desta descrición aséntanse na prosa técnica e pouco amable que destila o texto copernicano xa que a partir do segundo libro o texto é unha obra especializada de astronomía matemática que intentaba competir co Almaxesto de Ptolomeo e os seus epígonos. A confrontación entre os dous sistemas fundamentábase nunha serie de mecanismos matemáticos moi técnicos. Con toto, o apelativo de Koestler é moi inxusto xa que o De revolutionibus, desde o momento da súa publicación, sería un punto de referencia ineludible para os astrónomos posteriores. 

A Universidade de Vigo acaba de sacar do prelo O libro que ninguén puido ler, unha publicación cun título digno de Raymond Smullyan, elaborada polos matemáticos Nicanor Alonso e Miguel Mirás xunto co profesor, tradutor e poeta Raul G. Pato. Esta edición, xira arredor da tradución dun manuscrito do Libro I do De revolutionibus. Nese manuscrito non aparecían os tres últimos capítulos dese Libro I, precisamente os de contido matemático. En consecuencia, non se adentra nos esotéricos artefactos mecánico-astronómicos copernicanos senón que trata da exposición e argumentación dunha revolucionaria visión do mundo. Tan revolucionaria que se enfronta aos fundamentos ideolóxicos dominantes. Non se podía remover a crenza da inmobilidade da Terra sen que se visen afectadas as estruturas de poder que controlaban o coñecemento, a visión e a organización do mundo. Isto xa se sente desde un primeiro momento. Nas primeiras edicións do De revolutionibus aparecía un aviso Ao lector sobre as hipóteses desta obra que non foi redactado por Copérnico nin polo seu axudante Rheticus (1514-1574), senón polo substituto deste, o teólogo protestante Andreas Osiander, Sorprendentemente, neste curioso prólogo retíraselle toda a credibilidade ao corpo do libro:

"E non é necesario que estas hipóteses sexan verdadeiras, nin sequera verosímiles, senón que basta con que amosen tan só un cálculo congruente coas observacións"

Porén, unhas poucas páxinas máis adiante, Copérnico (agora si é el quen escribe) é moi claro:

"Se por casualidade aparecen rexoubeiros que, alegando ser capaces de emitir un xuízo sobre calquera cousa relacionada coas matemáticas, aínda sendo ignorantes delas e terxiversando maliciosamente algunha psasaxe da Escritura para o seu propósito, ousen atacar e rexeitar esta miña empresa, eu non fago caso deles ata o punto de desprezar o seu xuízo cualificándoo de temerario"

Velaquí que Copérnico non só tiña un coñecemento  profundo dos ceos, tamén era quen de desentrañar as reviravoltas da sociedade do seu tempo ata o punto que neste parágrafo parece adiviñar cal vai ser o futuro das teses do De Revolutionibus.  Efectivamente, se por unha banda Lutero e Calvino son os primeiros en opoñerse firmemente ao heliocentrismo, a igrexa católica prohíbe defendelo ou sostelo no ano 1616 ao tempo que inclúe a obra copernicana no índice de libros prohibidos. Esta foi a atroz resposta a unha convincente campaña de Galileo na que todos e cada un dos seus descubrimentos co telescopio son punzantes argumentos pro-heliocéntricos. A pesar das prohibicións da Igrexa Galileo non ficaría inmóbil. Nunca deixaría de argumentar contra a física aristotélica, o principal sustento do modelo ptolemaico. 

A  xenialidade de Galileo destaca especialmente no Diálogo, publicado no 1632 despois de entrevistarse co propio papa Urbano VIII e de que se lle impuxeran varias condicións. Obrigóselle a que cambiara o título: xa non sería Do fluxo e refluxo das mareas, senón Diálogo sobre os dous máximos sistemas do mundo. Outra esixencia consistía na inclusión dun aviso ao lector (outro máis!) no que se forzou a Galileo a declarar que adoptaba o copernicanismo como se fose unha hipótese puramente matemática. Tamén se lle impuxo a conclusión final do libro na que debían aparecer as teses de Urbano VIII establecendo que o infinito poder de Deus podía presentarnos os fenómenos de múltiples maneiras. Noutras palabras: a indagación científica é un inútil sinsentido. Ademais o Diálogo foi revisado polo Maestro do Sacro Palacio de Roma, con atribucións plenas para dar permisos de edición. Galileo aceptou todas as condicións, por inxustas que fosen. Con todo, ao pouco da publicación o Diálogo foi secuestrado e Galileo tivo que enfrontarse a un xuízo inquisitorial que o acabaría condenando.

A publicación da Universidade de Vigo ofrécenos como apéndices tanto a sentenza como a abxuración de Galileo Galilei. Son dous documentos de innegable importancia na historia da ciencia e un bo epílogo para O libro que ninguén puido ler. Como prólogo ofrécesnos un estudo sobre Copérnico e a súa obra. En definitiva, temos diante unha publicación que pon o foco nun capítulo central no desenvolvemento do pensamento científico. Tamén, por ser unha das escasas publicacións de temática científica en galego, unha contribución á dignificación da nosa lingua que todos deberiamos agradecer.