sexta-feira, 26 de maio de 2017

Programación de Astronomía

En primeiro de bacharelato a LOMCE armou unha trampa coas optativas que consiste en que se un alumno quer cursar determinadas materias optativas, ten que "escoller" á forza Relixión, a única materia optativa que, por defecto, ten unha carga lectiva dunha hora. Só hai un camiño para impedir a imposición da Relixión é ofertar unha materia de libre configuración do centro. Velaquí unha proposta que elaboramos no Departamento de Matemáticas do IES Antón Losada Diéguez (A Estrada) e que solto por aquí por se lle pode ser útil a alguén.

sexta-feira, 19 de maio de 2017

O plano de Minkowski

Supoño que sucede algo semellante noutras materias, pero voume referir únicamente ás matemáticas. Se o currículo xa era dunhas dimensións inabarcables, coa LOMCE foise moito máis alá. Durante uns anos, na materia de Matemáticas I de 1º de bacharelato, desapareceran os números complexos. Sempre me pareceu unha mágoa non estudalos, tan siquera mínimamente, para abordar algunhas das cuestións máis interesantes do desenvolvemento das matemáticas, como a de presentar un corpo completo ou dar resposta á cuestión da resolución das ecuacións polinomiais de calquera grao. A cuestión é que agora os complexos volven a estar dentro do currículo.
O que sempre se mantiveron as autoridades educativas nesa mesma materia foron os contidos da xeometría plana (o espazo vectorial R2, o espazo afín coas ecuacións da recta,e o espazo euclidiano coa introdución do produto escalar e a corresponte métrica asociada...). Este curso, ao tratar este tema na aula quixen que polo menos enxergaran as razóns de por que lles explicaba cal era a idea abstracta de espazo vectorial. Como o asunto vai moi forzado, introducín a cuestión falándolle dun dos máis grandes matemáticos do XX: Nicolás Bourbaki. Unha das súas teimas máis coñecidas era a concebir as matemáticas a partir dunha idea fundamental, a de estrutura. Con algo de sorna pedinlle ao alumnado que me trouxeran ao día seguinte algunha intmidade de Bourbaki (como a da data de nacemento, morte, se casara, tivera fillos... ). Non imaxinaba eu que moitos deles xa tiñan a resposta moito antes de rematar a clase...Malditos móbiles!
MIR, mágoa de editorial
A culpa desta entrada tena a pregunta dunha alumna. Despois de levar uns poucos días remexendo na xeometría analítica á rapaza ocorréuselle que os dous temas tratados podían ter algunha relación. Razoaba que se os complexos formaban un plano e na xeometría analítica estabamos a estudar un plano, algo debían ter en común,  Isto fixo que me viñera á memoria a xeometría de Minkowski, que dalgunha forma daba resposta á cuestión.
O que segue débese esencialmente a este libro, El universo tetradimensional de Minkowski, de A. A. Sazánov, daquela marabillosa (e barata) editorial, a MIR.


Xeometría de Minkowski
Dado o espazo vecvtorial R2, definimos a seguinte especie de produto escalar:
$$\left< \left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) ,\left( { x }_{ 2 },{ y }_{ 2 } \right)  \right> ={ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }{ y }_{ 2 }$$
Segundo esta definición o produto escalar é bilinear, simétrico, pero non está definido positivo.
$$Sexa\quad \vec { u } =\left( x,y \right) ,\quad \left< \vec { u } ,\vec { u }  \right> \ge 0\quad \Longleftrightarrow \quad { x }^{ 2 }\ge { y }^{ 2 }$$
$$Sexa\quad \vec { u } =\left( x,y \right) ,\quad \left< \vec { u } ,\vec { u }  \right> =0\quad \Longleftrightarrow \quad { x }^{ 2 }={ y }^{ 2 }\quad \Longleftrightarrow \quad x=\pm y$$
As rectas x=±y chámanse rectas isótropas. Estas rectas dividen o plano en catro sectores (esquerdo, dereito, superior e inferior).
A cónica unidade non será a circunferencia, senón as hipérbolas que teñen por asíntotas as rectas isótropas.
O produto escalar danos a condición de perpendicularidade:
$$Sexa\quad \vec { { u }_{ i } } =\left( { x }_{ i },{ y }_{ i } \right) \quad para\quad i\in \left\{ 1,2 \right\} $$
$$\vec { { u }_{ 1 } } \bot \vec { { u }_{ 2 } } :\Longleftrightarrow \left< { \vec { { u }_{ 1 } }  },{ \vec { { u }_{ 2 } }  } \right> =0\Longleftrightarrow { x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }{ y }_{ 2 }=0\Longleftrightarrow { m }_{ 1 }:=\frac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 } } =\frac { { x }_{ 2 } }{ { y }_{ 2 } } :=\frac { 1 }{ { m }_{ 2 } } $$
Se lle chamamos m1 á pendente da recta que pasa pola orixe e polo punto (x1 ,y1) e m2 á pendente da recta que pasa pola orixe e polo punto (x2 ,y2) non sería mal exercicio para este nivel (1º de bacharelato) preguntar polo significado xeométrico da relación que se estabelece na liña anterior entre m1 e m2. Xa o adianto: as rectas de pendente m1 e m2 serán simétricas respecto de y=x pois son funcións inversas a unha da outra. Velaí que no plano de Minkowski a ortogonalidade tradúcese en simetría respecto da gráfica da función identidade.
Con todo, o máis divertido está por chegar e resulta do cáculo de módulos a partir da definición do produto escalar minkowskiano.
Imase 1. Os catro sectores do plano de Minkowski
$$Sexa\quad \overrightarrow { u } =(x,y)\quad \left| \overrightarrow { u }  \right| =\sqrt { \left< \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { u }  \right>  } =\sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } $$
Polo tanto o módulo dos vectores situados nos sectores esquerdo e dereito será un número real e o dos outros sectores será un imaxinario puro. Así o primeiro par de sectores recibe o cualificativo de reais e o segundo par o de imaxinario.
E que sucede cos ángulos? Partamos da coñecida fórmula:
$$cos\left( \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { v }  \right) =\frac { \left< \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { v }  \right>  }{ \left| \overrightarrow { u }  \right| \left| \overrightarrow { v }  \right|  } $$
Imaxe2. Ángulos
Calculemos o ángulo que forma un vector de compoñentes (x,y) do sector real positivo co vector unitario (1,0)
$$cos\left( \overrightarrow { u } ,(1,0) \right) =\frac { \left< (x,y),(1,0) \right>  }{ \left| (x,y) \right| \left| (1,0 \right|  } =\frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }{ - }{ y }^{ 2 } } \sqrt { 1-0 }  } =\frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }  } \ge 1$$
Idem co sector superior. Velaquí o coseno do ángulo dun vector (x,y) deste sector co vector (0,1):
$$cos\left( \overrightarrow { v } ,\left( 0,1 \right)  \right) =\frac { \left< \left( x,y \right) ,\left( 0,1 \right)  \right>  }{ \left| \left( x,y \right)  \right| \left| \left( 0,1 \right)  \right|  } =\frac { -y }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \sqrt { -1 }  } =\frac { -y }{ i\sqrt { -1\left( { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } \right)  }  } =\frac { -y }{ { i }^{ 2 }\sqrt { { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }  } =\frac { y }{ \sqrt { { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }  } $$
Este valor é tamén un número real maior ou igual que 1.
Ao tomar límites cando o vector ū se aproxima ás isótropas (x=y ou x=-y), os cosenos anteriores tenden a +∞ ou - ∞. Este panorama ten o seu desenvolvemento natural coa extensión complexa da función coseno:
$$cosz=\frac { { e }^{ iz }+{ e }^{ -iz } }{ 2 } $$
Como os valores dos cosenos obtidos anteriormente son sempre reais, os ángulos anteriores serán da forma iφ, con φ∈R. Así
$$cos\left( i\varphi  \right) =\frac { { e }^{ i(i\varphi ) }+{ e }^{ -i(i\varphi ) } }{ 2 } =\frac { { e }^{ -\varphi  }+{ e }^{ \varphi  } }{ 2 } =cosh\varphi  $$
En consecuencia teremos as seguintes fórmulas:
$$sen\left( i\varphi  \right) =\sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }\left( i\varphi  \right)  } =\sqrt { 1-{ cosh }^{ 2 }{ \varphi  } } =\sqrt { -{ senh }^{ 2 }{ \varphi  } } =isenh\varphi $$
$$tan\left( i\varphi  \right) =\frac { sen\left( i\varphi  \right)  }{ cos\left( i\varphi  \right)  } =\frac { isenh\varphi  }{ icosh\varphi  } =itanh\varphi $$
Só por ver estas fórmulas merecía que se desenvolvese a idea do plano de Minkowski.

Cambio de base ortonormal
Consideraremos un cambio entre unha base {e1, e2} e outra {e'1, e'2}. Onde os vectores que comparten o mesmo índice estean no mesmo sector e de forma que cada base estea formada por un par de vectores ortonormais.Visto o anterior, a ninguén lle extrañará que a matriz de cambio de entre bases teña a seguinte expresión:
$$\begin{pmatrix} cosh\varphi  & senh\varphi  \\ senh\varphi  & cosh\varphi  \end{pmatrix}$$
Polo tanto o cambio de coordenadas entre dous sistemas de referencia ortornormais verificarán a igualdade:
$$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} cosh\varphi  & senh\varphi  \\ senh\varphi  & cosh\varphi  \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $$
Unhas poucas contas máis:
$$x'=x\cdot cosh\varphi +y\cdot senh\varphi =x\cdot cosh\varphi +y\cdot cosh\varphi \cdot tanh\varphi =cosh\varphi \left( x+y\cdot tanh\varphi  \right) =\frac { x+y\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  } $$
$$y'=x\cdot senh\varphi +y\cdot cosh\varphi =x\cdot cosh\varphi \cdot tanh\varphi +y\cdot cosh\varphi =cosh\varphi \left( x\cdot tanh\varphi +y \right) =\frac { x\cdot tanh\varphi +y }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  } $$
Ben, xa temos unha chea de fórmulas, e agora que?

A transformación de Lorentz
Na mecánica clásica, se consideramos dous sistemas de referencia que se moven, un respecto ao outro, cunha velocidade v, a tranformación de coordenadas (chamada de Galileo) é a seguinte:
$$\begin{cases} x'=x \\ y'=y-vt \end{cases}$$
Esta transformación permítenos estudar o movento nun sistema de referencia que se mova con velocidade constante a respecto doutro. Este cambio de coordenadas caracterízase porque a medida do tempo é independente do sistema de referencia e  na invariancia da lonxitude dunha barra OP respecto do sistema de referencia. Se falamos de relatividade galileana estamos indicando que podemos intercambiar o que se move con velocidade constante e o que está en repouso.
A teoría da relatividade einsteniana introdúcese coa transformación de Lorentz. O movemento relativa de dous sistemas de refencia virá dado polas fórmulas:
$$\begin{cases} x'=\frac { x-vt }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  }  \\ t'=\frac { t-x\cdot \left( \frac { v }{ { c }^{ 2 } }  \right)  }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  }  \end{cases}$$
Que son esencialmente as mesmas fórmulas do cambio de coordenadas ás que chegaramos anteriormente. Basta con considerar:
$$y=ct\\ tanh\varphi =-\frac { v }{ c } $$


Contraccións e simultaneidade
Imaxe 3
Consideremos un suceso P(xP, yP) sobre a recta y'
$$\begin{cases} tan\left( i\varphi  \right) =\frac { \left| NP \right|  }{ \left| ON \right|  } =\frac { { x }_{ P } }{ i{ y }_{ P } } =-i\frac { { x }_{ P } }{ { y }_{ P } }  \\ tan\left( i\varphi  \right) =itanh\varphi  \end{cases}polo\quad que\quad tanh\varphi =-\frac { { x }_{ P } }{ { y }_{ P } } $$
$${ x }_{ P }=-{ y }_{ P }\cdot tanh\varphi $$
$${ x' }_{ P }=\frac { { x }_{ P }+{ x }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 }\varphi  } }  } =\frac { { -y }_{ P }\cdot tanh\varphi +{ y }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 } }\varphi  }  } =0$$
$${ y' }_{ P }=\frac { { y }_{ P }+{ x }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 }\varphi  } }  } =\frac { { { y }_{ P }-y }_{ P }\cdot tanh\varphi \cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 } }\varphi  }  } ={ y }_{ P }\sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  } $$
E así deducimos a coñecida contración do tempo na dirección do movemento:
$$ { t' }_{ P }=\frac { { y' }_{ P } }{ c } =\frac { { y }_{ P }\sqrt { 1-{ tan }^{ 2 }\varphi  }  }{ c } =\frac { { y }_{ P } }{ c } \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } } ={ t }_{ P }\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  $$
Imaxe 4




Isto ten que ver coas sorpresas que descubriu a teoria da relatividade respecto da simultaneidade. Dise que dous sucesos son simultáneos respecto dun sistema de referencia se a súa segunda coordenada é a mesma nese sistema. Na imaxe 4 temos que  P e N son simultáneos no sistema XY; P e Q son simultáneos nun sistema X'Y' dun móbil con velocidade v respecto do considerado no sistema XY.











Imaxe 5
Unha consecuencia adicional desta nova perspectiva da simultaneidade de sucesos afecta ás medidas das lonxitudes xa que éstas variarán segundo a velocidade á que se movan os sistemas de  referencia.
Efectivamente, cando medimos a lonxitude dunha barra estamos considerando que calculamos a diferenza entre os seus extremos simultáneamente.
Dada unha barra de lonxitude l=|OL| respècto do sistema XY, se a medimos respecto de X'Y', debemos facelo simultáneamente respecto este sistema, entón a súa lonxitude será l'=|OL'|.
$$\begin{cases} cos\left( i\varphi  \right) =\frac { \left| OL \right|  }{ \left| OL' \right|  } =\frac { l }{ l' }  \\ cos\left( i\varphi  \right) =cosh\varphi =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  }  \end{cases}$$
Entón podemos explicar así a contracción dunha barra de lonxitude l en movemento
$$l'=l\cdot \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  } =l\cdot \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } } $$

Relatividade visual
Quen queira seguir remexendo nos aspectos xeométricos da teoría da relatividade, ademais de recomendarlle o libro de Sazánov, pode botarlle un ollo ao portal de Xabier Prado Orbán, Relatividade visual

terça-feira, 9 de maio de 2017

A piña de Regiomontano


No IES Antón Losada (A Estrada) participamos na edición deste ano no concurso convocado pola Comisión de Normalización Lingüística da Facultade de Matemáticas da USC, Explícoche matemáticas 2.0. Facémolo con este vídeo no que rescatamos un problema do século XV. Entre outras cousas, trátase de poñer en evidencia que as matemáticas poden, e deben, ir da man da normalización lingüística, por moito que lles pese aos que defenden o decreto do plurilingüismo e a ideoloxía subxacente de expulsión da lingua galega do ensino do ámbito científico.

Resólvese un problema de optimización tomando como punto de referencia o monumento ao labrego, da parroquia de Lagartóns (A Estrada), erixido no ano 1916 en conmemoración dunha victoria agrarista do ano anterior. O problema en cuestión é esencialmente o mesmo que propuxo Regiomontano no 1471. Consiste en determinar a distancia á que se ten que situar unha persoa para que o ángulo de visión dunha estua sexa máximo. Cos datos que aportamos (ver Ilustración 1), estamos diante dun típico problema de cáculo de máximos que pode ser resolto polo alumnado de 1º de bacharelato mediante o cálculo de derivadas.


Alternativamente, no vídeo propoñemos unha solución que está ao alcance dun alumno da secundaria obrigatoria pois únicamente bastaría ter en conta que os ángulos que abarcan o mesmo arco SI son iguais (ver Ilustración 2) e que, obviamente calquera ángulo α con vértice nun punto V da recta v é menor que o correspondente ángulo β en Q:


Para obter a solución precisamos trazar unha circunferencia que pase polos puntos superior (S) e inferior (I) da estatua e que sexa tanxente á recta que marca a altura do ollo do observador (v) (ver Ilustración 3). O centro desta circunferencia debe estar na mediatriz m de S e I. Chamémoslle a á distancia entre m e v, sabemos que o raio da circunferencia que nos dará a solución debe ser a .Así a circunferencia de raio a e centro S cortará á recta M no punto H, quen será o centro da circunferencia buscada.