O plano de Minkowski

Supoño que sucede algo semellante noutras materias, pero voume referir únicamente ás matemáticas. Se o currículo xa era dunhas dimensións inabarcables, coa LOMCE foise moito máis alá. Durante uns anos, na materia de Matemáticas I de 1º de bacharelato, desapareceran os números complexos. Sempre me pareceu unha mágoa non estudalos, tan siquera mínimamente, para abordar algunhas das cuestións máis interesantes do desenvolvemento das matemáticas, como a de presentar un corpo completo ou dar resposta á cuestión da resolución das ecuacións polinomiais de calquera grao. A cuestión é que agora os complexos volven a estar dentro do currículo.
O que sempre se mantiveron as autoridades educativas nesa mesma materia foron os contidos da xeometría plana (o espazo vectorial R², o espazo afín coas ecuacións da recta,e o espazo euclidiano coa introdución do produto escalar e a corresponte métrica asociada...). Este curso, ao tratar este tema na aula quixen que polo menos enxergaran as razóns de por que lles explicaba cal era a idea abstracta de espazo vectorial. Como o asunto vai moi forzado, introducín a cuestión falándolle dun dos máis grandes matemáticos do XX: Nicolás Bourbaki. Unha das súas teimas máis coñecidas era a concebir as matemáticas a partir dunha idea fundamental, a de estrutura. Con algo de sorna pedinlle ao alumnado que me trouxeran ao día seguinte algunha intmidade de Bourbaki (como a da data de nacemento, morte, se casara, tivera fillos... ). Non imaxinaba eu que moitos deles xa tiñan a resposta moito antes de rematar a clase...Malditos móbiles!

MIR, mágoa de editorial

A culpa desta entrada tena a pregunta dunha alumna. Despois de levar uns poucos días remexendo na xeometría analítica á rapaza ocorréuselle que os dous temas tratados podían ter algunha relación. Razoaba que se os complexos formaban un plano e na xeometría analítica estabamos a estudar un plano, algo debían ter en común,  Isto fixo que me viñera á memoria a xeometría de Minkowski, que dalgunha forma daba resposta á cuestión.
O que segue débese esencialmente a este libro, El universo tetradimensional de Minkowski, de A. A. Sazánov, daquela marabillosa (e barata) editorial, a MIR.


Xeometría de Minkowski
Dado o espazo vecvtorial R², definimos a seguinte especie de produto escalar:
$$⟨(x_1,y_1),(x_2,y_2)⟩=x_1{x}_2-y_1{y}_2$$
Segundo esta definición o produto escalar é bilinear, simétrico, pero non está definido positivo.
$$Sexa\overrightarrow{u}=(x,y),⟨\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}⟩\ge 0⟺x^2\ge y^2$$
$$Sexa\overrightarrow{u}=(x,y),⟨\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}⟩=0⟺x^2=y^2⟺x=\pm y$$
As rectas x=±y chámanse rectas isótropas. Estas rectas dividen o plano en catro sectores (esquerdo, dereito, superior e inferior).
A cónica unidade non será a circunferencia, senón as hipérbolas que teñen por asíntotas as rectas isótropas.
O produto escalar danos a condición de perpendicularidade:
$$Sexa\overrightarrow{u_i}=(x_i,y_i)parai\in \{1,2\}$$
$$\overrightarrow{u_1}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u_2}:⟺⟨\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}⟩=0⟺x_1{x}_2-y_1{y}_2=0⟺m_1:=\frac{y_1}{x_1}=\frac{x_2}{y_2}:=\frac{1}{m_2}$$
Se lle chamamos m₁ á pendente da recta que pasa pola orixe e polo punto (x₁ ,y₁) e m₂ á pendente da recta que pasa pola orixe e polo punto (x₂ ,y₂) non sería mal exercicio para este nivel (1º de bacharelato) preguntar polo significado xeométrico da relación que se estabelece na liña anterior entre m₁ e m₂. Xa o adianto: as rectas de pendente m₁ e m₂ serán simétricas respecto de y=x pois son funcións inversas a unha da outra. Velaí que no plano de Minkowski a ortogonalidade tradúcese en simetría respecto da gráfica da función identidade.
Con todo, o máis divertido está por chegar e resulta do cáculo de módulos a partir da definición do produto escalar minkowskiano.

Imase 1. Os catro sectores do plano de Minkowski

$$Sexa\overrightarrow{u}=(x,y)\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{⟨\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}⟩}=\sqrt{x^2-y^2}$$
Polo tanto o módulo dos vectores situados nos sectores esquerdo e dereito será un número real e o dos outros sectores será un imaxinario puro. Así o primeiro par de sectores recibe o cualificativo de reais e o segundo par o de imaxinario.
E que sucede cos ángulos? Partamos da coñecida fórmula:
$$cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{⟨\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}⟩}{\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|}$$

Imaxe2. Ángulos

Calculemos o ángulo que forma un vector de compoñentes (x,y) do sector real positivo co vector unitario (1,0)
$$cos(\overrightarrow{u},(1,0))=\frac{⟨(x,y),(1,0)⟩}{|(x,y)||(1,0|}=\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}\sqrt{1-0}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}\ge 1$$
Idem co sector superior. Velaquí o coseno do ángulo dun vector (x,y) deste sector co vector (0,1):
$$cos(\overrightarrow{v},(0,1))=\frac{⟨(x,y),(0,1)⟩}{\left|(x,y)\right|\left|(0,1)\right|}=\frac{-y}{\sqrt{x^2-y^2}\sqrt{-1}}=\frac{-y}{i\sqrt{-1(y^2-x^2)}}=\frac{-y}{i^2\sqrt{y^2-x^2}}=\frac{y}{\sqrt{y^2-x^2}}$$
Este valor é tamén un número real maior ou igual que 1.
Ao tomar límites cando o vector ū se aproxima ás isótropas (x=y ou x=-y), os cosenos anteriores tenden a +∞ ou - ∞. Este panorama ten o seu desenvolvemento natural coa extensión complexa da función coseno:
$$cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$
Como os valores dos cosenos obtidos anteriormente son sempre reais, os ángulos anteriores serán da forma iφ, con φ∈R. Así
$$cos\left(i\phi \right)=\frac{e^{i(i\phi )}+e^{-i(i\phi )}}{2}=\frac{e^{-\phi }+e^{\phi }}{2}=cosh\phi$$
En consecuencia teremos as seguintes fórmulas:
$$sen\left(i\phi \right)=\sqrt{1-{cos}^2\left(i\phi \right)}=\sqrt{1-{cosh}^2\phi }=\sqrt{-{senh}^2\phi }=isenh\phi$$
$$tan\left(i\phi \right)=\frac{sen\left(i\phi \right)}{cos\left(i\phi \right)}=\frac{isenh\phi }{icosh\phi }=itanh\phi$$
Só por ver estas fórmulas merecía que se desenvolvese a idea do plano de Minkowski.

Cambio de base ortonormal
Consideraremos un cambio entre unha base {e₁, e₂} e outra {e'₁, e'₂}. Onde os vectores que comparten o mesmo índice estean no mesmo sector e de forma que cada base estea formada por un par de vectores ortonormais.Visto o anterior, a ninguén lle extrañará que a matriz de cambio de entre bases teña a seguinte expresión:
$$\left(\begin{array}{cc}cosh\phi & senh\phi \\ senh\phi & cosh\phi \end{array}\right)$$
Polo tanto o cambio de coordenadas entre dous sistemas de referencia ortornormais verificarán a igualdade:
$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}cosh\phi & senh\phi \\ senh\phi & cosh\phi \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$
Unhas poucas contas máis:
$$x^{\prime }=x\cdot cosh\phi +y\cdot senh\phi =x\cdot cosh\phi +y\cdot cosh\phi \cdot tanh\phi =cosh\phi (x+y\cdot tanh\phi )=\frac{x+y\cdot tanh\phi }{\sqrt{1-{tanh}^2\phi }}$$
$$y^{\prime }=x\cdot senh\phi +y\cdot cosh\phi =x\cdot cosh\phi \cdot tanh\phi +y\cdot cosh\phi =cosh\phi (x\cdot tanh\phi +y)=\frac{x\cdot tanh\phi +y}{\sqrt{1-{tanh}^2\phi }}$$
Ben, xa temos unha chea de fórmulas, e agora que?

A transformación de Lorentz
Na mecánica clásica, se consideramos dous sistemas de referencia que se moven, un respecto ao outro, cunha velocidade v, a tranformación de coordenadas (chamada de Galileo) é a seguinte:
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\\ y^{\prime }=y-vt\end{array}$$
Esta transformación permítenos estudar o movento nun sistema de referencia que se mova con velocidade constante a respecto doutro. Este cambio de coordenadas caracterízase porque a medida do tempo é independente do sistema de referencia e  na invariancia da lonxitude dunha barra OP respecto do sistema de referencia. Se falamos de relatividade galileana estamos indicando que podemos intercambiar o que se move con velocidade constante e o que está en repouso.
A teoría da relatividade einsteniana introdúcese coa transformación de Lorentz. O movemento relativa de dous sistemas de refencia virá dado polas fórmulas:
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}\\ t^{\prime }=\frac{t-x\cdot \left(\frac{v}{c^2}\right)}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}\end{array}$$
Que son esencialmente as mesmas fórmulas do cambio de coordenadas ás que chegaramos anteriormente. Basta con considerar:
$$\begin{gathered} y=ct \\ tanh\phi =-\frac{v}{c} \end{gathered}$$


Contraccións e simultaneidade

Imaxe 3

Consideremos un suceso P(x_P, y_P) sobre a recta y'
$$\{\begin{array}{l}tan\left(i\phi \right)=\frac{\left|NP\right|}{\left|ON\right|}=\frac{x_P}{i{y}_P}=-i\frac{x_P}{y_P}\\ tan\left(i\phi \right)=itanh\phi \end{array}poloquetanh\phi =-\frac{x_P}{y_P}$$
$$x_P=-y_P\cdot tanh\phi$$
$${x^{\prime }}_P=\frac{x_P+x_P\cdot tanh\phi }{\sqrt{1-{tanh}^2\phi }}=\frac{{-y}_P\cdot tanh\phi +y_P\cdot tanh\phi }{\sqrt{1-{tanh}^2\phi }}=0$$
$${y^{\prime }}_P=\frac{y_P+x_P\cdot tanh\phi }{\sqrt{1-{tanh}^2\phi }}=\frac{{y_P-y}_P\cdot tanh\phi \cdot tanh\phi }{\sqrt{1-{tanh}^2\phi }}=y_P\sqrt{1-{tanh}^2\phi }$$
E así deducimos a coñecida contración do tempo na dirección do movemento:
$${t^{\prime }}_P=\frac{{y^{\prime }}_P}{c}=\frac{y_P\sqrt{1-{tan}^2\phi }}{c}=\frac{y_P}{c}\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}=t_P\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}$$

Imaxe 4

Isto ten que ver coas sorpresas que descubriu a teoria da relatividade respecto da simultaneidade. Dise que dous sucesos son simultáneos respecto dun sistema de referencia se a súa segunda coordenada é a mesma nese sistema. Na imaxe 4 temos que  P e N son simultáneos no sistema XY; P e Q son simultáneos nun sistema X'Y' dun móbil con velocidade v respecto do considerado no sistema XY.

Imaxe 5

Unha consecuencia adicional desta nova perspectiva da simultaneidade de sucesos afecta ás medidas das lonxitudes xa que éstas variarán segundo a velocidade á que se movan os sistemas de  referencia.
Efectivamente, cando medimos a lonxitude dunha barra estamos considerando que calculamos a diferenza entre os seus extremos simultáneamente.
Dada unha barra de lonxitude l=|OL| respècto do sistema XY, se a medimos respecto de X'Y', debemos facelo simultáneamente respecto este sistema, entón a súa lonxitude será l'=|OL'|.
$$\{\begin{array}{l}cos\left(i\phi \right)=\frac{\left|OL\right|}{\left|O{L}^{\prime }\right|}=\frac{l}{l^{\prime }}\\ cos\left(i\phi \right)=cosh\phi =\frac{1}{\sqrt{1-{tanh}^2\phi }}\end{array}$$
Entón podemos explicar así a contracción dunha barra de lonxitude l en movemento
$$l^{\prime }=l\cdot \sqrt{1-{tanh}^2\phi }=l\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}$$

Relatividade visual
Quen queira seguir remexendo nos aspectos xeométricos da teoría da relatividade, ademais de recomendarlle o libro de Sazánov, pode botarlle un ollo ao portal de Xabier Prado Orbán, Relatividade visual