Xogando coa lei dos grandes números

Lembro que desde bastante novo tiven a ilusión de ser profesor de matemáticas. Quizais por esa razón recordo moi vívidamente as clases de matemáticas que me impartiron, sobre todo durante a época do instituto. Daquela a probabilidade e a estatística apenas estaba presente no temario que se impartía. En consecuencia, nos meus tempos de estudante só recibín unha definición de probabilidade e precisamente por iso resultaba algo estraña. Era a chamada definición de probabilidade de Laplace: se A é un suceso a súa probabilidade $P(A)$ vén dada por $$P(A)=\frac{número\quad de\quad casos\quad favorables\quad a\quad A }{número\quad de\quad casos\quad posibles}$$

Evidentemente, se recibía esa denominación é que tiña que haber outras definicións. E se as había era por que a dada por Laplace tiña un problema: só tiña sentido cando se trataba de sucesos equiprobables. Esta definición non é aplicable ao caso dun dado trucado ou ao lanzamento dunha determinada clase de chinchetas (aquí os sucesos serían caer punta arriba ou coa punta apoiada na mesa). Hoxe en día, nas aulas de Secundaria, ofrécense normalmente dúas alternativas para definir a probabilidade. Unha delas é difícil de explicar. É a definición hilbertiana, a axiomática, atribuída a Kolmogorov. Para entendela en profundidade cómpre saber en que consiste un sistema axiomático e, nesa altura o alumnado non está afeito a ese tipo de referentes. Diremos que $P$ é unha medida de probabilidade se verifica os seguintes axiomas aplicados a un espazo mostral $E$ no que consideraremos sucesos $A$ e $B$:

1. $P\left( A \right)\ge 0$

2. $P\left( E \right)=1$

3. Se $A$ e $B$ son incompatibles ($A\cap B=\emptyset $), entón $P\left( A\cup B \right)=p\left( A \right)+P\left( B \right)$

Aínda hai unha terceira alternativa para explicar en que consiste a probabilidade. Xurdida dos traballos de Jacob Bernouilli, é a coñecida como lei dos grandes números. Neste caso a idea é bastante intuitiva e non cómpre ningunha bagaxe cultural. Se realizamos un experimento moitas veces a probabilidade dun determinado suceso poderá aproximarse pola súa frecuencia relativa. Cantas máis veces fagamos o experimento mellor. De aí que se lle chamamos $n$ ao número de veces que realizamos o experimento, a probabilidade dun suceso $A$ virá dada por

$P(A)=\displaystyle\lim_{n \to \infty } \frac{nº\  de\  veces\ que\  sucede\ A}{n}$

Con todo, esta explicación non está exenta de dificultades. Teño comprobado, unha e outra vez, que tan pronto se lle presenta ao alumnado esta última liña, toda a claridade expositiva anterior parece esvaerse. Por iso intentei buscar unha alternativa para que lles permitira practicar coa lei. Acheina en Teching Statistics (Cambridge Uneversity Press 2018) de Darren Macey e Will Hornby. O único que fixen foi seguir as súas indicacións, paso a paso. Trátase de elaborar unha folla de cálculo que simule o lanzamento dunha moeda. Para iso xeramos unha restra de números aleatorios, 0s ou 1s, onde identificaremos o 1 con "sacar cara". Na seguinte folla de cálculo fanse simulacións de 15, 150 e 1500 lanzamentos. O mellor é xogar con ela para observar o que pasa. Ao final de cada experimento obtemos un valor aproximado para a probabilidade. 

Hai dúas alternativas para traballar coa seguinte ferramenta.

• A mellor é descargar a folla de cálculo. Se queremos recalcular os datos basta premer F9
• Podemos facelo on-line. Nese caso debemos recargar de novo a páxina ou, o que é o mesmo premer Maíuscula+F5

O efecto paréceme hipnótico