Problemas chegados desde Moscú.2

Unha explicación de Perelman

Hoxe en día cando escoitamos o apelido Perelman pensamos inmediatamente en Grigori Perelman (1966-), o matemático ruso que resolveu a conxectura de Poincairé. No entanto, hai un par de décadas o usual sería asociar ese apelido con Yákov Perelman (1882-1942), un famoso divulgador da ciencia que morrería no asedio a Leningrado durante a II Guerra Mundial. 

Nun dos seus libros, Aritmética recreativa, explícanos o método ruso para facer produtos. Faino cun exemplo. Se quixermos calcular o produto de $32\cdot13$ procederiamos da seguinte maneira. En cada paso dividimos o factor da esquerda por $2$ e multiplicamos o da dereita por $2$. Así o produto non varía.

$$\begin{matrix} 32\cdot 13 \\16\cdot 26 \\8\cdot 52 \\4\cdot 104 \\2\cdot 208 \\1\cdot 416 \end{matrix}$$

Velaí que o resultado sería $32\cdot13=1\cdot 416=416$. Claro que, calquera ve enseguida o problema. Neste caso $32$ é unha potencia de $2$ polo que podemos dividilo unha e outra vez pola metade. Pero que pasaría se na columna da esquerda temos un número impar? Yákov Peremal tamén explica como proceder neste caso. Cada vez que teñamos un número negativo, restámoslle $1$; agora podemos dividir por $2$ sen problema. En compensación teremos que sumar todos os números da dereita que teñan un impar á súa esquerda. Para facelo máis sistemático e fácil, tachamos todos os produtos que presenten á esquerda un número par. Poñamos que agora queiramos multiplicar $19\cdot17$:

$$\begin{matrix} 19\cdot 17 \\9\cdot 34 \\4\cdot 68 \\2\cdot 136 \\1\cdot 272 \end{matrix}$$

O resultado será $17+34+272=323$. Por que temos que proceder deste xeito? Perelman tamén nolo explica. Resulta que ao restar $1$ estamos eliminando algúns valores, necesarios para obter o produto final. Todo fica claro cando presentamos as seguintes operacións:

$$\begin{matrix}19\cdot17=\left ( 18+1 \right )\cdot17=18\cdot17+17\\ 9\cdot 34=\left ( 8+1 \right )\cdot 34=8\cdot34+34\end{matrix}$$

Ao restar eses uns estamos subtraendo tamén eses restos, $17$ e $34$; esa é a razón de porque debemos sumalos ao final.

Máis problemas de Kordemsky

Na anterior entrada presentárase unha pequena escolma dos Enigmas de Moscú de Boris Kordemsky. Imos seguir tirando dese fío. Algunha das cuestións presentadas por Perelman teñen un sabor moi semellante ás de Kordemsky. En especial a seguinte, da que, sen que serva de precedente, darei tamén a solución.

O volume dunha botella. Se unha botella parcialmente chea de líquido, ten un cu redondo, cadrado ou rectangular, podes saber o seu volume só cunha regra? Non podes engadir sin sacar líquido.

Está claro que o volume total da botella virá dado pola suma do volume que ocupa o líquido xunto co da parte sen el. Creo que non cómpre dicir nada máis. 

O trato pouco reflexivo cun tópico tan básico como o das porcentaxes dá lugar a interpretacións bárbaras. É habitual escoitar, non xa a rapaces, senón a ilustres licenciados, que se aumentamos unha cantidade nun 20% e despois facemos unha rebaixa do 20%, obtemos o valor inicial.

Podes aforrar o 100%? Un invento aforra o 30% do combustible, outro un 45% e un terceiro un 25%. Se usas todos estes inventos a un tempo, podes aforrar o 100% ? En caso contrario, cal é a porcentaxe de aforro?

Nalgúns casos Kordemsky non só presenta un problema senón que fai unha pequena digresión para chamar a atención sobre algúns procesos propios das matemáticas. Continuamos con porcentaxes.

Falsa analoxía. Os descubrimentos científicos fanse a veces mediante analoxía. A analoxía tamén ten lugar nas matemáticas, pero tamén existe a falsa analoxía.

40 é 8 unidades maior que 32. 40 é un 25% maior que 32.

32 é 8 unidades menor que 40. 32 non é un 25% menor que 40. Cal é a porcentaxe correcta?

a) Supón que os teus ingresos mensuais aumentan un 30%. En canto aumenta o teu poder adquisitivo?

b)Supón que os teus ingresos mensuais non cambian. No entanto, os prezos baixan un 30%. En canto aumenta o teu poder adquisitivo?

c)Cando unha tenda de libros de segunda man fai unha rebaixa do 10% do prezo, obtén unha ganancia do 8% por cada libro vendido. Cal era o beneficio antes da rebaixa?

d)Se un obreiro metalúrxico reduce o seu tempo por peza nun p%. Canto aumenta a súa produtividade?

Un deses enunciados que nunca verás nun libro de texto. Trátase de traballar o volume pero non preguntan polo volume. A última pregunta incide nun dos procesos máis importantes dentro das matemáticas, o da xeneralización.

Que caixa pesa máis?. Unha caixa cúbica contén 27 bólas grandes congruentes; a súa xemelga contén 64 bólas congruentes máis pequenas. Todas as bólas están feitas do mesmo material. Ambas caixas están completamente cheas. En cada caixa, cada capa ten o mesmo número de bólas e as bólas exteriores de cada capa tocan os lados da caixa. Que caixa pesa máis? Intenta con outros números, pero que sexan sempre cubos. Escribe unha conclusión xeral.

O seguinte enunciado ten o atractivo de estar redactado como unha pequena lenda. Trata o tema do pacto co demo, algo que, como todos sabemos, nunca debemos facer. É tamén un deses problemas que convén resolver "ao revés"

O folgazán e o demo. Un folgazán expresa a súa ansia por facerse rico e de súpeto aparéceselle o Diabo quen lle di: "Ben, o traballo que teño para ti é fácil, e serás rico. Ves a ponte? Crúzaa e dobrareiche o diñeiro que tes agora mesmo. De feito, cada vez que a cruces volveri a dobrarche os cartos.

"Non pode ser!" contestou o folgazán

"Só hai unha condición. Xa que son tan xeneroso debes darme 24 € despois de cada cruce".

O folgazán acepta. Cruza a ponte e conta os seus cartos... Miragre! Era o dobre.

Dálle 24 € ao Diabo e volve a cruzar outra vez. Dóbrase o seu diñeiro e paga outros 24€, cruza unha terceira vez. O seu diñeiro volve a duplicarse pero agora só ten 24€ e tan que darllos ao Diabo que desaparace entre gargalladas.

Cando un se enfronta a un enunciado cómpre que o entenda moi ben. Iso significa, entre outros aspectos, que debe ter ben asimilados os conceptos e as relacións que se determinan entre os distintos aspectos en xogo. No seguinte problema xira arredor do cálculo dunha media de velocidades de trancrición dun manuscrito. Debemos ter claro que a velocidade mídese a respecto do tempo, non a respecto do número de páxinas, como enganosamente pretende convencernos Vera.

Vera pasa un manuscrito a máquina. Vera recibe da súa nai o encargo de pasar a máquina un manuscrito. Vera indica que fará unha media de 20 páxinas por día.

A primeira metade fainas con pereza, 10 páxinas diarias. Para recuperar o tempo perdido fai a segunda metade a 30 páxinas por día.

"Ves?, fixen unha media de 20 páxinas por día". Conclúe Vera. "A media de 10 e 30 é 20"

"Non, non é certo" di a súa nai.

Quen ten a razón?

Dicimos que estes problemas chegaron de Moscú porque alí os publicou Kordemsky. En realidade son universais. O seguinte problema con pequenas variantes aparece nalgún libro de Adrián Paenza. 

Que tal vas de enxeño?. Unha lancha sae da beira A ao tempo que outra sae da beira B; móvense polo lago a unha velocidade constante. Encóntrase por vez primeira a 500 metros de A. Continúan o seu camiño, dando a volta na beira oposta. Encóntranse por segunda vez a 300 m. de B. Cal é a lonxitude do lago e cal é a relación entre as velocidades das lanchas? 

Na seguinte entrada remataremos esta serie de problemas de Boris Kordemsky.