mércores, 28 de decembro de 2022

Catro problemas aritméticos

Sei que en distintos momentos teño visto os problemas que vou presentar pero nunca os vira todos xuntos ata que os vin nun capítulo do libro Compreender os números na matemática escolar, de Hung-Hsi Wu (Porto Editora 2017) , editado en colaboración coa Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM). O texto parte da preocupación do autor por como se lle ensinan os números aos nenos durante a educación primaria e secundaria. A tese principal é que o profesorado debe coñecer, e en boa medida dar a coñecer, os números como un sistema ben fundamentado en definicións precisas e traballado con regras lóxicas. Entende que non se lle poden ofrecer aos estudantes visións dos números confusas e incoherentes. Por exemplo, se se lles presenta aos alumnos o concepto de fracción como un pedazo de pizza, que sentido terá pedirlles despois que multipliquemos dous pedazos de pizza?

Hung-Hsi Wu considera que debemos coñecer as razóns de calquera resultado, aínda que non sexa posible explicarllo en toda a súa profundidade aos alumnos. Poñamos un caso crítico, o produto de números negativos. Por que $\left ( -n \right )\left ( -m \right )=nm$? 

Primeiro xustificaremos que $\left ( -1 \right )\left ( -1 \right )=1$. Comecemos sumándolle $-1$

$-1+\left ( -1 \right )\left ( -1 \right )=$             como $1$ é o neutro do produto

$-1\cdot 1+\left ( -1 \right )\left ( -1 \right )=$             aplicando a propiedade asociativa

$-1\cdot \left ( 1+\left ( -1 \right ) \right )=$             tendo en conta que $1$ e $-1$ son inversos para a suma

$ -1\cdot 0=0$             finalmente aplicamos que o produto por $0$ sempre dá $0$

Así temos que $-1+\left ( -1 \right )\left ( -1 \right )=0$ polo que $\left ( -1 \right )\left ( -1 \right )=1$ pois ten que ser o oposto de $-1$.

Vexamos agora, aplicando a propiedade distributiva, que $-1\cdot \left ( -m \right )=m$

$$-1\cdot \left ( -m \right )=-1\cdot \left ( \left ( -1 \right ) +...^{(m}...+\left ( -1 \right )\right )= \\=\left ( -1 \right )\left ( -1 \right )+...^{(m}...+\left ( -1 \right )\left ( -1 \right )=1+...^{(m}...+1=m$$

Finalmente veremos que $\left (-n  \right )\left (  -m\right )=mn$ aplicando outra vez a propiedade distributiva

$$\left (-n  \right )\left (  -m\right )=\left ( \left ( -1 \right ) +...^{(n}...+\left ( -1 \right )\right )\left ( -m \right )=\\=\left ( -1 \right )\left ( -m \right )+...^{(n}...+\left ( -1 \right )\left ( -m \right )= m+...^{(n}...+m=nm$$

Calquera, un pouco afeito a traballar con este tipo de razoamentos observará que o presentado aquí está construído no ar: está xustificada a propiedade distributiva de números enteiros?, onde se demostrou que o produto dun número enteiro por $0$ sempre dá $0$?, e o resultado de que $x+(-1)=0\Rightarrow x=1$?... Efectivamente, este tipo de deducións necesitan montar un edificio ben estruturado e fundamentado. Iso é o que fai Hung-Hsi Wu nese libro. Quizais noutra ocasión comente con máis vagar estas ideas. Agora paso a recoller o que el chama "problemas interesantes". Veremos que, aínda que só cómpre saber sumar, restar, multiplicar e dividir, tamén se precisa unha capacidade de comprensión e reflexión de certa profundidade.


Problema 1. O Paul viaxou na moto ata Lanterntown a unha velocidade constante de 15 quilómetros por hora. Para a viaxe de volta decidiu aumentar a velocidade (aínda constante) a 18 quilómetros por hora. Cal foi a velocidade media da viaxe de ida e volta?


Problema 2. Un tren deprázase entre dúas cidades a velocidade constante. Se aumentase a velocidade nun terzo, en que porcentaxe se reduce o tempo da viaxe?


Problema 3. O 99% do peso duns pepinos frescos está constituído por auga. 300 quilos deses cogombros foron almacenados durante un tempo, así que cando foron postos á venda evaporárase parte desa auga resultando que o peso en auga era dun 98%. Canto pesarán estes cogombros parcialmente deshidratados?


Problema 4. Disponse dunha xerra de viño e unha cunca de auga. Retírase da cunca unha culler de auga e bótase na xerra de viño. A mestura reméxese ben e, de seguido, unha culler da mestura bótase na cunca. Haberá máis auga na xerra que viño na cunca ou viceversa? Resolve tamén o problema sen supoñer que a mestura fose remexida. 

mércores, 7 de decembro de 2022

Un novo método para as ecuacións cuadráticas

A finais do 2019 espallábase unha nova bastante peculiar sobre a resolución da ecuación cadrática. Por ter a súa orixe nos EEUU alcanzou unha gran difusión e debeu chegar a todo aquel que tiña que ver coas matemáticas, especialmente co ensino das matemáticas. Anunciábase como "un novo método para abordar a resolución das ecuacións cuadráticas" no que se evita o doloroso esforzo de memorización da fórmula. O máis sorprendente era que ese inédito método, que podía entender calquer escolar, foi ignorado durante 4000 anos. Como se pode ver, a cousa non tiña traza. O peor de todo é que houbo quen lle fixo caso. Con 8000 millóns de persoas paseando polo planeta non é de estrañar que haxa unha boa manchea de crédulos.

Cómpre moita fachenda para realizar esas afirmacións. A miña impresión era que se trataba dun proxecto puramente crematístico. Se hoxe imos á páxina do presunto descubridor poderemos inscribirnos nunha chea de cursos on-line de matemáticas por un prezo duns 399$ cada un. A educación para quen a poida pagar. Unha bonita materialización da competencia emprendedora (da LOMCE ou da LOMLOE, tanto me ten). Tamén é un excelente exemplo de como contribuír a edificar unha educación discriminatoria. 

Sobre o contido da publicación que prometía evitar a fórmula da ecuación cuadrática, pouco se pode dicir. Calquera que teña un mínimo de experiencia docente sabe que o que menos importa é a fórmula. É mentira que esta sexa un impedimento para a aprendizaxe. Incluso aqueles alumnos con máis dificultades acábana aprendendo sen ningún doloroso esforzo de memorización. Basta con facer unha boa colección de exercicios na que a teñan que aplicar. Usar o algoritmo argallado por Po-Shen Loh, que así se chama o autor desta argallada, non melloraría as cousas. O que si é importante é enfrontar ao alumnado a diversos achegamentos a este tópico. Convén que recoñezan como usar as identidades notables para resolver algunhas ecuacións cuadráticas. Tamén é importante que aprendan a estudalas sistemáticamente. Por exemplo deben recoñecer a relación entre o discriminante e o número de solucións reais así como as fórmulas de Viète que relacionan os coeficientes da ecuación coa suma e o produto das solucións. Convén que saiban manipular este tipo de expresións para que o coeficiente de $x^{2}$ sexa a unidade. Teñen que comprender a relación entre as solucións e os polinomios irreducibles que descompoñen a expresión alxébrica. Cómpre que interioricen a relación entre os coeficientes e a gráfica da parábola asociada e que identifiquen os puntos de corte do eixo de abscisas como as solucións da ecuación. Deberían discernir o eixo de simetría desa parábola, o vértice da mesma e saber a súa relación tanto cos coeficientes como coas solucións da ecuación. É unicamente sobre este aspecto sobre o que se centra o artigo de Po-Shen Loh, claro que el non fai referencia ningunha ás parábolas pois xoga todo no campo alxébrico e só se centra na dedución da maldita fórmula, como se o estudo das ecuacións cuadráticas se limitara a iso. Pola contra, critica o métido de completar o cadrado por ser máis incómodo e menos directo. Resulta que o que se vende como novo tamén ten o defecto de ser máis incómodo e menos directo... que a fórmula.

Vexamos e comparemos ese *novo método co arcaico de completar o cadrado

Un *novo método

Partimos da ecuación xeral de segundo grao:   $ax^{2}+bx+c=0$

Sabemos que se dividimos por $a$ obteremos unha expresión na que o coeficiente de $x^2$ pasará a ser a unidade: $$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

Por outra banda, se $x_{1}$ e $x_{2}$ son as solucións, poderemos descompoñer a anterior expresión nun produto:

$$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )=x^{2}-\left (x_{1} +x_{2}\right )x+\left ( x_{1} x_{2}\right )=x^{2}-Sx+P$$

Disto podemos concluir que buscar as solucións é equivalente a pescudar dous números que sumen $S=-\frac{b}{a}$ e que teñan como produto $P=\frac{c}{a}$. Agora ben, dous números que sumen $S$ deben ter media $\frac{S}{2}$, de aí que serán da forma $\frac{S}{2}\pm z$ e o seu produto será:

$$\left (\frac{S}{2} +z \right )\left ( \frac{S}{2} -z\right )=\left (  \frac{S}{2}\right )^{2}-z^{2}=P$$

Despexando $z$

$$z= \sqrt{\left ( \frac{S}{2} \right )^{2}-P}$$

Unha vez calculado $z$ xa temos as dúas solucións:

$$x=\frac{S}{2}\pm z=\frac{S}{2}\pm \sqrt{\left ( \frac{S}{2} \right )^{2}-P}$$

Aínda que noutra orde e con outra presentación todas estas cousas téñoas contado ducias de veces na aula. U-la a novidade?

O método de completar o cadrado

Agora si que vou compartir algo que presento na clase desta maneira, normalmente en 3º da ESO. 

Al-Jwarizmi (IX) foi un matemático que traballou na Casa da Sabiduría, un centro de estudos en Bagdad, único no mundo nesta época. É o autor do libro Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala. Tal é a súa importancia que o vocablo al-jabr é o que lle dá nome a unha enorme rama das matemáticas: a álxebra

Vexamos como Al-Jwarizmi nos explica a resolución das ecuacións de segundo grao. Debemos ter en conta que daquela aínda non se desenvolvera a notación que usamos actualmente, polo que tiña  que presentar todas as ecuacións en forma literal. Ademais nunca usaba números negativos; pensemos que ata finais do século XIX non se aceptan plenamente. Por exemplo, cando presenta a ecuación $x^{2}+10x-39=0$ prefire facelo na forma $x^{2}+10x=39$, con todos os valores positivos. Claro que Al-Jwarizmi escribe no seu lugar algo así como " un cadrado máis dez raíces é igual a trinta e nove". O orixinal da súa visión é que imaxina esta ecuación en forma xeométrica. Algo semellante a isto:

Agora cortamos o rectángulo pola metade, tal e como está indicado. Pegamos eses dous anacos ao cadrado, obtendo a seguinte figura en forma de L invertido e de área 39.
Finalmente completamos a figura construíndo un cadrado. Para iso temos que engadir un cadrado 5x5, de área 25. De aí que a área do cadrado grande sexa $x^{2}+10x+25=39+25=64$

Entón o lado do cadrado grande será $8=x+5$. De aí que $x=3$
As vantaxes desta representación son a súa contextualización histórica e a relación que se establece entre a álxebra e a xeometría. A primeira delas amósanos unha ciencia en construción fronte a un resultado aparentemente caído do ceo. Achéganos así un saber máis próximo e humano. Tamén se identifican algunhas debilidades que se irían superando con tempo e esforzo como a inexistencia dunha notación matemática ou a incapacidade para traballar con números negativos. A segunda das vantaxes é unha conexión da que non podemos prescindir nin na práctica das matemáticas nin no seu ensino, a de poder abordar un problema desde mundos aparentemente distintos, neste caso o xeométrico e o alxébrico. 

Un novo método para as ecuacións cuadráticas
Agora si, despois dos parágrafos anteriores que non contiñan ningunha novidade, por fin vou presentar o motivo para elaborar esta entrada. Trátase dun problema tan anódino coma o seguinte:
Problema. Resolve $\sqrt{x+5}=5-x^{2}$
Non parece nada apaixonante. Un coma tantos deses exercicios que se propoñen para practicar a resolución de ecuacións irracionais. "Nada que me poida chamar a atención", pensei e equivoqueime. 
A resolución que propoñen no libro La matemática elegante (URSS 2007) é encantadora. Comeza, como é de esperar, elevando ambos membros ao cadrado: 
$$x+5=5^{2}-2\cdot 5x^{2}+x^{4}\quad\quad [1]$$
O habitual é que continuemos operando e simplificando a expresión ata obter unha ecuación polinomial de grao 4:
$$x^{4}-10x^{2}-x+20=0$$
Pero esta ecuación non ten raíces enteiras, nin tan siquera racionais. De aí que pensemos que debemos intentar botar man dalgún método que nos aproxime algunha delas... ou, e aquí está a novidade, escribir a expresión [1] deste outro xeito:
$$5^2-\left ( 2x^{2}+1 \right )5+\left ( x^{4}-x \right )=0$$
Para aplicarlle a maldita fórmula a esta forma cuadrática en función do $5$, no canto de facelo en función de $x$!:
$$5=\frac{2x^{2}+1\pm \sqrt{\left ( 2x^{2} +1\right )^{2}-4\left ( x^{4}-4x \right )}}{2}=\frac{2x^{2}+1\pm \left ( 2x+1 \right )}{2}$$
Que dá lugar a un par de ecuacións de segundo grao, agora en $x$;
$$10=2x^{2}+1\pm \left ( 2x+1 \right )$$
Se escollemos o signo positivo obtemos a ecuación $$2x^{2}+2x-8=0\\x^{2}+x-4=0$$
Que ten como solucións $$x=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}$$
Para o signo negativo obremos a ecuación $$2x^{2}-2x-10=0\\x^{2}-x-5=0$$
Que ten como solucións $$x=\frac{1\pm \sqrt{21}}{2}$$