Problemas británicos.3. O Bacharelato.

As dúas entrada anteriores estiveron adicadas a unha selección de problemas da UKMT  para alumnado da ESO [Primeria etapa, Segunda etapa] Rematamos a xeira cunha colección de problemas das competicións británicas para aqueles que cursan o Bacharelato.

Entendo que a dificultade deste primeiro problema pode residir en que tratamos a materia de forma demasiado compartimentada. Cando se traballa a xeometría, vai unha restra de problemas de xeometría, cando se estuda a probabilidade, veña boletíns do tema. Pero se mesturamos as dúas cousas non sabemos como meterlle o dente.

Un ángulo aleatorio. Un punto P escóllese aleatoriamente no interior dun cadrado QRST. Cal é a probabilidade de que ∠RPQ sexa agudo.

Así como practicamente a totalidade destes problemas só teñen un acollemento excepcional nas clases ordinarias para todo o alumnado, o seguinte si que se podería presentar en calquera aula de Secundaria.

O valor das letras. As letras S, M e C representan números naturais. Se S⋅M⋅C=240, S⋅C+M=46 e S+M⋅C=64, cal é o valor de S+M+C?  

O enunciado é ben curto, pero a que agardabas que a pregunta vai ser outra?

Noventa e nove noves. O enteiro m ten noventa e nove díxitos, e todos eles son noves. Cal é a suma dos díxitos de m²?

No seguinte problema a pregunta implica unha propiedade curiosa, que a área sombreada non depende de onde coloquemos o cadrado pequeno sobre o lado do grande.

Cal é a área sombreada? No diagrama vemos dous cadrados, un de lado 20 e outro de lado 10. Cal é a área da rexión sombreada?

A baldosa se Spoleto. A figura mostra un patrón encontrado nunha baldosa do chan na catedral de Spoleto, Umbría. Unha circunferencia de raio 1 rodea catro cuartos de círculo, todos de raio 1, que encerran un cadrado. O patrón ten catro eixos de simetría. Cal é a lonxitude do lado do cadrado?

Os problemas xeométricos planos usualmente poñen en xogo circunferencias, cadrados ou polígonos regulares. O seguinte ten a curiosidade de tratar sobre rectángulos.

Tres rectángulos. O diagrama mostra tres rectángulos congruentes de 5 de largo e 13 de longo. Como se ve, hai dous pares de rectángulos que comparten un vértice. Dous dos rectángulos están colocados de xeito que un vértice de cada un está no lado do terceiro. Cal é a área da rexión na que se solapan os tres?

Aínda que hai outras formas de abordar as seguinte cuestións, eu partín do coñecementos de trigonometría que se imparten no primeiro curso do Bacharelato de ciencias.

Cal é o tamaño do ángulo?. Na figura temos cinco cadrados idénticos. Canto mide o ángulo marcado?

 

A área dun triángulo equilátero. O triángulo equilátero exterior ten área 1. Os puntos A, B e C están a un cuarto de cada un dos lados, como se mostra. Cal é a área do triángulo equilátero ABC? 

Rematamos a xeira xeométrica cos dous seguintes problemas:

Tanxente a unha circunferencia. Unha circunferencia de centro A e raio 12 ten diámetro BC. Debuxamos unha segunda circunferencia de diámetro AC. A tanxente trazada desde B a esta circunferencia interseca a circunferencia centrada en A no punto D. Cal é a lonxitude BD?

Diferenza entre áreas. Na figura represéntase un círculo de raio 2 e un cadrado. O círuculo toca en dous lados ao cadrado e pasa por un dos vértices do cadrado. A área da rexión sombreada en negro (dentro do cadrado pero fóra do círculo) é X e a área sombreada en gris (dentro do círculo pero fóra do cadrado) é Y. Cal é o valor de YーX?

Velaquí de seguido o típico problema que aparece nos libros de Adrián Paenza. Con esta proposta cambiamos da xeometría aos números.

Canto mide o camiño? Raquel e Nicolás están cada un no extremo dun camiño. Entón eles andan a velocidade constante (pero diferente) cara o outro lado, e dan a volta cara o seu punto orixinal, sempre á mesma velocidade. O seu primeiro encontro prodúcese a 20 metros dun dos extremos. Cando están de volta encontranse a 10 metros do outro extremo do camiño. Canto mide o camiño?

Números desafortunados. Un número "desafortunado" é un enteiro positivo que é igual a 13 veces a suma dos seus díxitos. Acha todos os números "desafortunados".

Lista de restos. Helena divide 365 entre cada dos números 1, 2, 3,.... , 365 obtendo así unha lista de 365 restos. Entón Felipe divide 366 entre 1, , 3, ..., 366 obtendo unha lista de 366 restos. Cal das dúas listas de restos ten unha suma maior? En canto supera á outra suma? 

O mercado de Ulán Bator. Onte, no mercado de Ulán Bator podías mercar un elefante branco ou 99 gansos salvaxes polo mesmo prezo. Hoxe, o prezo dun elefante branco baixou un 10% e o prezo dos gansos salvaxes subira un 10%. Cantos gansos salvaxes custa agora un elefante branco?

Votos grelados. Recentemente houbo eleccións en Grelandia. Todos os que votaron polo Partido das Nabizas comeran nabizas. Daqueles que votan por outros partidos, o 90% nunca comera nabizas. Do total de votantes, o 46% comeran nabizas. Cal é a porcentaxe de votos obtida polo Partido das Nabizas?

O prezo das tarxetas de nadal. O ano pasado Noelia comprou unha certa candidade de tarxetas de nadal, todas do mesmo prezo. O importe total foi de 15,6 €. Nun xesto de boa vontade propio desas festas, o vendedor deulle unha tarxeta máis gratis, e iso reduciu o custo medio por tarxeta nun céntimo. Co prezo orixinal, cantas tarxetas podía comprar Noelia por 5 €?

Problemas británicos.2. Segunda etapa da ESO

Na entrada anterior fixemos unha escolma de problemas recollidos no libro "The ultimate mathematical challenge", da UKMT que se adaptaban á abordaxe por alumnado dos dous primeiros cursos da ESO. A maior parte dos problemas dese libro están dirixidos a alumnos dos dous últimos cursos da ESO. Aquí  recóllense algúns deles.

Por norma xeral os problemas das competicións da  UKMT non son nos primeiros que pensamos para levar a unha aula pois normalmente precísase certo entrenamento nas cuestións que se abordan ou ben non son acaídos para a maior parte do alumnado. Non sucede isto co seguinte problema, con moi bo encaixe en calquera clase na que se traballe o uso dos radicais e que ten un sabor distinto ao habitual que se presenta nos libros de texto.

Raíces cadradas. Cantos dos seguintes números son maiores que 10?$$3\sqrt { 11 } \quad \quad 4\sqrt { 7 } \quad \quad 5\sqrt { 5 } \quad \quad 6\sqrt { 3 } \quad \quad 7\sqrt { 2 } $$

Moitas veces a fermosura dun problema está na súa simplicidade na redacción.

Unha media. A media de 16 números enteiros positivos distintos é 16. Cal é o maior valor que pode ter un deses 16 números?

De seguido algunhas cuestións de móbiles, desas de velocidades, tempos e espazos. O problema do tren é un deses clásicos que todos debemos ter gardado nalgún cartafol.

Aimee vai ao traballo. Todos os días Aimee sube nunhas escaleiras mecánicas para a súa xornada de traballo. Se fica quieta, este percorrido lévalle 60 segundos. Un día que a escaleira estaba avariada levoulle 90 segundos. Cantos segundos lle levaría subir se usa as escaleiras mecánicas mentres sube á mesma velocidade que o día da avaría?

A velocidade do tren. Un tren que viaxa a velocidade constante tarda 5 segundos en pasar completamente a través dun túnel de 85 m. de lonxitude e 8 segundos en pasar completamente a través dun segundo túnel de 160 m. Cal é a velocidade do tren?

Tamén se poden propoñer problemas de máximos e mínimos fóra do contexto do cálculo diferencial.

Unha pirámide de cubos. Katia escribe diferentes enteiros positivos na cara superior dos 14 cubos da pirámide. A suma dos nove números dos cubos da parte inferior é 50. O enteiro escrito en cada un dos cubos do medio e no superior son iguais á suma dos enteiros dos catro cubos sobre os que se asenta. Cal é o maior enteiro que se pode escribir no cubo superior?

Cantas fichas? Barbara quer colocar fichas nun taboleiro 4х4 de forma que o número de fichas en cada fila e en cada columna sexa diferente. (Pode colocar máis dunha ficha en cada cela e unha cela pode quedar baleira). Cal é o menor número de fichas que precisa?

Os seguintes son os habituais problemas de enunciado, pero cada un deles garda o seu tesouro. Por exemplo, neste primeiro non se pregunta pola cantidade de cartos que teñen os protagonistas.

Compartindo cartos. Rosalía deulle a metade dos seus cartos a Amancio. Entón Amancio deulle unha terceira parte do que tiña a Rosalía. Cada un deles acabou coa mesma cantidade de cartos. Acha a razón entre os cartos que tiñan cada un dos dous ao principio.

Cantos campistas? Na cea dunha xornada de acampada, cada lata de sopa foi compartida entre dous campistas, cada lata de albóndegas foi compartida entre 3 campistas e cada lata de mexillóns foi compartida entre 4 campistas. Todos e cada un dos campistas comeu das tres viandas e tomaron todas as latas. O monitor do cámping abriu un total de 156 latas. Cantos campistas participaban na xornada?

Cans e gatos. Na miña vila o10% dos cans pensan que son gatos e o 10% dos gatos pensan que son cans. Todos os outros cans e gatos son conscientes da súa identidade. Cando todos os gatos e cans foron sometidos a un rigoroso test, o 20% deles pensaban que eran gatos. Cal é a verdadeira porcentaxe de gatos de entre todos eles?

Cartas a Newton. Un luns na vila de Newton o carteiro deixa unha, dúas, tres ou catro cartas en cada unha das casas. O número de casas que recibiron catro cartas é sete veces o das que recibiron unha, e o número das que recibiron dúas é cinco veces o das que recibiron unha. Cal foi a media do número de cartas que recibiu cada casa?

Un par de problemas nos que os protagonistas son os números.

Dous cadrados. Un cadrado ten catro díxitos. Cando cada díxito se incrementa en 1 fórmase outro cadrado. Cales son os dous cadrados?

Un produto enteiro. Para que naturais n o seguinte produto é enteiro? $$\left( 1+\frac { 1 }{ 2 }  \right) \left( 1+\frac { 1 }{ 3 }  \right) \left( 1+\frac { 1 }{ 4 }  \right) ...\left( 1+\frac { 1 }{ n }  \right) $$

Finalmente, unha colección de problemas xeométricos.

Unha área cadrada. Un octógono regular está inscrito nun cadrado, como se mostra na figura. O cadrado sombreado conecta os puntos medios de catro lados do octógono. Que fracción do cadrado exterior está sombreada? 

Un ángulo nun cadrado.O diagrama mostra un cadrado ABCD e un triángulo equilátero ABE. O punto F está en BC e verifica que EC=EF. Calcula o ángulo BEF.

 Estrañamente o título que lle dan na UKMT ao seguinte problema é "unha área sombreada".

Unha razón entre áreas. Un círculo está inscrito nun cadrado e un rectángulo está dentro do cadrado pero fóra do círculo. Dous dos lados do rectángulo están sobre dous lados do cadrado e un dos seus vértices toca á circunferencia, tal e como se ve na imaxe. A altura do rectángulo é o dobre da súa base.

Cal é a razón entre a área do cadrado e a do rectángulo?

 

Un círculo en Salt's Mill. O marco dunha fiestra en Salt's Mill consiste en dúas semicircunferencias iguais e nunha circunferencia inscrita nunha gran semicircunferencia tanxente ás outras tres tal e como se mostra. A lonxitude do marco é de 4 metros. Cal é o raio exacto da circunferencia?

O derradeiro encantoume. Usualmente nos problemas xeométricos pregúntase polo valor da área sombreada. Aquí é este precisamente o dato.

 A lonxitude dunha corda. A área sombreada é 2π. Cal é a lonxitude de AB?

Ben sei que nesta escolma están máis ben as miñas preferencias e prexuízos. Pero iso sucede con todas. A pesar disto, vou seguir insistindo no tema e na na seguinte entrega tócalle a quenda aos problemas para o Bacharelato.

Problemas británicos.1. Primeira etapa da ESO

A United Kingdom Mathematics Trust (UKMT) é unha asociación que mantén as diversas competicións escolares de matemáticas. Tamén publican libros sobre as mesmas. Un deles, The ultimate mathematical challenge (Harper-Collins 2018) é unha recompilación de 366  problemas pensados para rapaces do ensino secundario. O que vou facer aquí é unha escolma desa recompilación. Nesta entrada centrareime nos problemas para a primeira etapa da ESO (se a alguén lle renxe esta denominación por non ser oficial ou non corresponderse coa actual lei educativa, que pense que estamos a falar de 1º e 2º da ESO). A adscrición dos problemas a cada etapa foi feita atendendo á que fan os propios organizadores das competicións. Cada unha delas está pensada para alumnado de determinada idade, aínda que esta clasificación nunca pode ser estricta pois cabe a posibilidade de solapamento entre as distintas etapas etarias. Ademais cómpre ter en conta que o nivel de dificultade de distintas probas pode variar.  
Aínda que o libro nos fornece moito material, moi diverso, e moi agradecido, tampouco faltan uns poucos exemplos de problemas decepcionantes. Estou a falar de problemas "de libro de texto" pero que un nunca esperaría ver nun libro coma este. Van un par de exemplos.

Pepa fai unha visita aos avós. Pasa a metade do tempo xogando, un terzo durmindo e os 35 minutos restantes comendo. De canto tempo foi a visita?

Se un imaxina o seguinte problema non pode deixar de ver algo de estraño na situación. Menos mal que Benxamín se sube aos ombros e non se coloca directamente no curuto da testa do irmán. 

A sombra de Benxamín. Á tardiña Benxamín, que ten un metro de altura, proxecta unha sombra de 3 metros. Se Benxamín se sube sobre os ombros do seu irmán, que están a 1,5 metros sobre o chan, canto medirá a sombra que Benxamín e o seu irmán proxectan?

Primeira etapa da ESO 

De seguido recollo algúns problemas aparecidos en convocatorias para rapaces que estarían estudando nos dous primeiros cursos da ESO. 

Sumas de díxitos. Cantos números de tres díxitos hai tales que a suma deses díxitos sexa 25?

Tanto o anterior coma o seguinte teñen a enorme vantaxe de ofrecernos unha porta aberta a moitas outras pesquisas.

Cantos lados? Un polígono simple faise unindo os puntos do xeoplano con segmentos que só coinciden nos vértices. Ningún punto está en máis de unha esquina. O diagrama mostra un exemplo dun polígono de 5 lados. Cal é o maior número de lados dun polígono que se pode formar unindo os puntos deste xeoplano 4х4 con esas regras?

O reloxo da profesora Fungueiriño. O reloxo da profesora Fungueiriño adianta 16 minutos cada día. Despois de que ela poña o reloxo en hora, cantos días pasarán ata que volva a ter a hora correcta?

O valor de n. Sábese que n é un enteiro positivo tal que se lle engadimos n á suma dos seus díxitos, o resultado é 313. Cales son os posibles valores de n?

O seguinte é un exemplo de como dándolle a volta a un problema estándar, podemos chegar a un enunciado moi enriquecido 

O perímetro dun cadrado.O diagrama mostra un cadrado que foi dividido en cinco rectángulos congruentes. O perímetro de cada rectángulo é de 51 cm. Acha o perímetro do cadrado.

Hai varios exemplos de problemas do mesmo estilo que o seguinte, nos que se ofrece unha operación con símbolos que hai que pescudar. Non é un tipo de cuestións que me agraden, pero este tiña o seu punto.

Unha suma poligonal. Na seguinte suma, polígonos diferentes representan cifras diferentes. Acha o valor do cadrado. 

 Creo que nunca vin un problema protagonizado por un nonágono. Só por esta razón merecía ser recollido.

O problema do nonágono. O diagrama mostra un polígono regular de nove lados (un nonágono ou eneágono) con dous dos lados prolongados ata cortarse no punto X. Canto mide o ángulo agudo en X?

 

Cantos números-V? Un natural de tres díxitos dise que é un "número-V" se os seus díxitos son "alto-baixo-alto", isto é, se o díxito das decenas é menor que o das centenas e o das unidades. Cantos números-V de tres díxitos existen?

Pegando cubos. Un cubo está feito pegando as caras de cubiños unidade. O número de cubiños unidade pegados exactamente a outros catro cubiños é 96. Cantos cubiños unidade están pegados exactamente a outros cinco?

Un problema de porcentaxes que merece a pena? Fixémonos que o contexto está nas propias matemáticas. Moitas veces procúranse contextos artificiosos que son realmente horribles.

Incrementado nun 75%. Acha todos os números de dous díxitos e de tres díxitos que se incrementan nun 75% cando os seus díxitos se inverten.

Pola contra o contexto do seguinte remite a unha completa fabulación. Perdería moito se se propuxera un contexto presumiblemente real. Ademais ten o plus de ser un novo exemplo de problema desa gorentosa colección dos que nos ofrecen preguntas inesperadas.

A Xornada Deportiva no País das Marabillas. Alicia, o Coello Branco e a Tartaruga Falsa foron os tres únicos competidores na Xornada Deportiva, e os tres completaron todas as competicións. O sistema de puntuación foi sempre o mesmo en cada unha: os puntos recibidos polo primeiro, segundo e terceiro foron enteiros positivos e (incluso no País das Marabillas) concedíaselle máis puntos ao primeiro que ao segundo e máis puntos ao segundo que ao terceiro.

Como era de esperar o Coello Branco gañou a carreira de sacos. Ao rematar a Xornada Alicia acadou os 18 puntos mentres que a Tartaruga Falsa ficou con 9 e o Coello Branco con 8. Podes dicirme cantas competicións houbo? E quen quedou de último no campionato de billarda?

Nunha próxima entrega ofreceremos unha escolma para os dous últimos cursos da ESO.

As perlas de Jorge Nuno Silva na Gazeta de Matemática

 A Gazeta da Matemática é unha  das publicacións a cargo da Sociedade Portuguesa da Matemática. Ten unha periodicidade cuadrimestral e despois de pasado un ano pódese descargar libremente. Un dos apartados máis gorentosos é o artigo de Jorge Nuno Silva, profesor da Universidade de Lisboa, moi interesado na matemática recreativa, polo que os seus artigos na Gazeta son fulgurantes perlas deste aspecto das matemáticas. Van de seguido algunhas alfaias deste colar. O primeiro, un problema que ten unha moi boa inserción no currículo da secundaria e que apareceu no nº 187 desa publicación:

O casino das diferenzas.Un xogador paga 2 € para lanzar dous dados cúbicos normais e gaña, en euros, o valor absoluto da diferenza entre os valores que saian no lanzamento, agás se sae dobre, pois neste caso lanza de novo. Este xogo é bo para a casa ou para o apostador?

Jorge Nuno participa nas actividades anuais de homenaxe a Martin Gardner. No número 186 recolle este sorprendente problema do mestre da divulgación:

División entre irmáns.  Dous irmáns acordan vender un rabaño de ovellas, propiedade común de ambos. Curiosamente, cada ovella rende un número de euros igual ao número de ovellas do rabaño. O comprador paga en billetes de 10 € máis voltas (as voltas corresponden a un valor inferior a 10 €).

Para efectuar unha división equitativa do diñeiro, os irmáns comezan por, alternativamente, retirar un billete de 10 €, comezando polo máis vello. Resulta que o último billete tamén lle toca ao irmán máis vello, polo que o máis novo se queixa. O máis vello doulle todas as voltas, mais con todo o outro continúa a súa protesta. Entón, o maior dille: "Voute dar un cheque co que che debo para ficarmos iguais"

De canto era o cheque?

No nº 184 recolle un problema do Liber Abaci, de Leonardo de Pisa, un clásico:

Herdanza do Liber Abaci. Un pai divide  a súa herdanza entre os fillos da seguinte maneira. O primeiro recibe un euro e un sétimo do restante; o segundo ten dereito a dous euros e un sétimo do restante, e así sucesivamente. Acontece que todos reciben cantidades iguais. Cantos son os fillos? A canto lle toca a cada un e canto era a herdanza?

Jorge Nuno aínda se pregunta que pasaría se no canto de termos 1/7 no enunciado tivésemos 1/9, e se fose 1/n?

No número 180, nun artigo titulado Comunicação invisibel informa sobre un problema da Olimpíada Matemática de Moscú. Ao tratarse dun problema con cartas dunha baralla non é de estrañar que tamén fose tratado por ese matemago chamado Pedro Alegría nun artigo titulado Magia olímpica.  :

Comunicación invisible. Repártense as  cartas do 1 ao 7 dun mesmo pau. Hai tres xogadores, Andrey, Boris e Sergey. Tres cartas para cada dun dos dous primeiros e a que queda para Sergey. Ningún deles sabe das cartas que recibiron os outros. Será posible que Andrey e Boris teñan unha conversa, en voz alta e diante de Sergey, de forma que coñezan a distribución das cartas e que Sergey continúa a saber só cal é a súa?

Jorge Nuno explícanos que o problema estaba pensado para que se resolvera usado a artimética modular. Supoñamos que o reparto foi 2, 4 e 6 para Andrey, 3, 5 e 7 para Boris e 1 para Sergey. Se Andrey suma a súas cartas módulo 7 : 2+4+6=12 ≡ 5 (mód.7) e di este último resultado en alto, Boris pode engadir este número á suma das súas: 5+(3+5+7)=20=1 (mód.7). Tendo en conta que  a suma dos valores de todas as cartas 1+2+...+7=0 (mód.7) Boris sabe que Sergey ten que ter un 6,  a diferenza entre 7 e a suma módulo 7 obtida por el. Entón Boris podería anunciar en alto a carta que ten Sergey co que inmediatamente Andrey sabería tamén as que teñen todos.

O mellor de todo é que se nos informa doutra solución realmente orixinal na que se usa... o plano de Fano! 

O plano de Fano é o plano con menos puntos (e rectas) que podemos atopar na xeometría proxectiva: un total de 7 puntos (e polo tanto de 7 rectas).  Cada recta ten 3 puntos, de aí que en cada punto converxan 3 rectas. Da mesma maneira que en dúas rectas hai un total de 5 puntos (un deles pertence ás dúas), dous puntos pertencen a un total de 5 rectas. Tamén diremos que 3 rectas non converxentes nun punto conteñen un total de 6 puntos, ou reciprocamente que 3 puntos non colineares están nun total de 6 rectas. Todo isto vese inmediatamente na imaxe do plano de Fano.

O plano de Fano... útil?

Pero deixemos de dar voltas e centrémonos no problema. Basta con que Audrey mostre o plano de Fano etiquetando os puntos cos números do 1 ao 7, anunciando que as súas cartas se corresponden cunha das rectas. Quedan 4 puntos correspondentes aos outros dous xogadores. Os tres puntos de Boris non poden estar aliñados xa que, nese caso a súa recta cortaría á recta de Audrey e, polo tanto terían unha carta en común, o que é imposible. Xa que logo, eses tres puntos de Boris determinan 6 rectas que conteñen a algún deles. A recta que falta é a de Audrey, polo que Boris xa pode anunciar o valor da carta do incauto Sergey.

O xogo euclidiano

O xogo xeométrico 

Para  este xogo cómpre que teñamos un xeoplano de Gattegno no que delimitaremos un rectángulo. Por poñer un exemplo, consideremos o seguinte de dimensións 14×4

 

Participan dous xogadores. O primeiro pode pintar tantos cadrados da menor das dimensións como queira. No noso caso trátase de marcar cadrados 4×4. O primeiro xogador podería pintar 1, 2 ou 3 cadrados. Na seguinte partida marca os 3 cadrados polo que sobra un rectángulo de 2×4. É a quenda do segundo xogador que agora poderá marcar cadrados 2×2. Como marcou os dous cadrados vermellos gañará, pois o outro non pode continuar a partida.

Velaquí outra partida nun taboleiro 14×9 na que volve a gañar o segundo xogador

Estas imaxes están sacadas de Cut the Knot

O xogo aritmético

Tamén temos a posibilidade de xogar partidas usando unicamente os valores das dimensións do rectángulo. Deste xeito comezamos cun par de números naturais (a,b) En cada paso o xogador pode restar o menor do maior cantas veces queira, sempre que o resultado sexa estritamente positivo. Se supoñemos, por exemplo, que a<b unha xogada consistirá en pasar de (a,b) a (a, b-pa) sendo tamén b-pa un enteiro estritamente positivo. Gañará aquel que consiga que os dous números sexan iguais. Na seguintes series desenvólvense as partidas anteriores e tamén se ofrece un exemplo doutro par de novas partidas. Indícase o comezo da partida en negro, o primeiro xogador fai as xogadas marcadas en azul e o segundo as marcadas en vermello. A última cor é a do gañador.

Partida 1: (14,4) ⟶ (2,4) ⟶ (2,2)

Partida 2: (14,9) ⟶ (5,9) ⟶ (5,4) ⟶ (1,4) ⟶ (1,1)

Partida 3: (300,105) ⟶ (195, 105) ⟶ (90, 105) ⟶ (90, 15) ⟶ (15, 15)

Partida 4: (97, 352) ⟶ (97, 139) ⟶ (97, 42) ⟶ (42, 55) ⟶ (42, 13) ⟶ (16, 13) 

                                ⟶ (3, 13) ⟶ (3, 4) ⟶ (3,1) ⟶ (1,1)

Unha proposta para a aula consistiría en presentar unha boa colección de pares de números e invitar ao alumnado, formando parellas, a escoller un un deses pares establecendo cal dos dous comeza a partida.

Despois de algo de práctica é o momento de preguntar se alguén ve algunha relación entre os números de partida e o número final.

Estou seguro de que calquera que dea lido ata aquí xa se terá decatado de que, aínda que sexa con outra aparencia, o que estamos a facer é aplicar o algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo común divisor de dous números. Velaquí temos unha boa oportunidade de introducir un aspecto completamente esquecido pola LOMCE e os libros de texto.

Unha estratexia xeométrica

Unha profundización que en certa medida escapa das aulas de secundaría consistiría na elaboración dunha estratexia para gañar. Presentaremos dúas. Comprobarase que ningunha delas remite a unha receita simple. Ademais involucran algo, nun principio, inesperado, que o número áureo Φ interveña ineludiblemente nas mesmas. Lembrémoslle algunhas propiedades: $$\Phi =\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 } =1+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 1+.... }  } =[1;1,1,1,1,...]\quad \quad \quad \quad \quad \Phi -\frac { 1 }{ \Phi  } =1$$

Consideremos a rede formada polos puntos do plano con dúas coordenadas enteiras estritamente positivas. Cada partida comeza nun punto desa rede. En cada movemento trasladaremos un punto (a,b) desa rede a outro. Ademais en cada quenda haberá que facer un desprazamento ben horizontal cara a esquerda, cando a>b, ben vertical cara abaixo, cando a<b. Gañará aquel que consiga trasladar o punto á diagonal (a=b). Cómpre ter presente que un movemento válido será aquel no que á coordenada maior lle restemos un múltiplo da menor. Na seguinte imaxe aparece representada a segunda partida:

 

Neste contexto gañará aquel que consiga levar o punto á diagonal. Podemos asegurarnos a vitoria? Nese caso, cal debe ser a estratexia? Todo aparece explicado na seguinte imaxe na que nos aparecen dúas rectas de pendentes Φ e 1/Φ. Teñamos en conta que Φ é irracional polo que estas rectas non pasarán por ningún punto da rede de enteiros.

Distinguimos pola cor dúas zonas. Se nos toca mover e estamos nun punto da zona verde, gañaremos. Bastará con que movamos o punto a outro da zona vermella. Pola contra, se cando nos toca a quenda partimos dun punto da zona central, non teremos ningunha oportunidade. Para comprobalo, supoñamos que a partida está nun  punto (a, b) da zona verde cando nos toca xogar e que o noso movemento consiste en trasladar verticalmente o punto (a<b). A cuestión é: será posible que poidamos trasladar ese punto á zona vermella? Basta con que nos decatemos de que a intersección da recta vertical x=a coa zona vermella é un segmento de lonxitude a, polo tanto debe existir polo menos un punto ao cal facer o movemento (a,b) ⟶ (a,b-pa) : $$lonxitude\quad do\quad segmento\quad =\quad \Phi a-\frac { 1 }{ \Phi  } a=\left( \Phi -\frac { 1 }{ \Phi  }  \right) a=1\cdot a=a$$

No caso de termos que facer o movemento en horizontal (a>b), por simetría,  o argumento sería o mesmo. Pola contra, e precisamente pola mesma razón (a lonxitude do segmento vermello ser a), se nos toca xogar a partir dun punto da zona central, calquera movemento nos levará fóra dela, pois debemos trasladar o punto unha lonxitude p・a. 

 

Unha estratexia aritmética

Consideremos a fracción a/b cando a>b (respectivamente b/a cando b<a). Escribamos esa fracción na súa forma continua: [a₀, a₁, a₂, a₃,..., a_n ]. Un movemento consistirá, ben en eliminar o primeiro elemento: [a₀, a₁, a₂, a₃,..., a_n ] ⟶  [a₁, a₂, a₃,..., a_n ], ben en diminuílo: [a₀, a₁, a₂, a₃,..., a_n ] ⟶  [a₀ - k, a₁, a₂, a₃,..., a_n ]. Gañará o que poida reducir esta expresión a [1]

Poñamos por caso que nos presentan o seguinte par: (442, 193) asociarémoslle a fracción $$\frac { 442 }{ 193 } =2+\frac { 1 }{ 3+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 4+\frac { 1 }{ 6 }  }  }  } =[2,3,2,4,6]$$

Neste caso hai unha estratexia ben simple, que consiste en reducir o primeiro elemento a un 1 xa que isto forza a que o contrincante só teña a posibilidade de eliminar ese primeiro elemento.

[2,3,2,4,6] ⟶ [1,3,2,4,6] ⟶ [3,2,4,6] ⟶ [1,2,4,6] ⟶ [2,4,6] ⟶ [1,4,6] ⟶ [4,6] ⟶ [1,6] ⟶ [6]  ⟶ [1]

Poderiamos seguir este procedemento sempre que os elementos da fracción continua fosen todos maiores que 1. Pero que facer de non ser este o caso? Hai que modificar a táctica anterior. Xa enxergamos que o número áureo pode ter, outra vez, o seu papel debido a que a súa expresión en fración contínua é [1, 1, 1, ...]. 

Teremos asegurada a vitoria para o primeiro xogador no caso de que o primeiro valor a_k distinto de 1 teña subíndice par. Sexa  e_k+1 =[a_k+1, a_k+2,..., a_n  ] . Temos dúas posibilidades

• Se  e_k+1 < Φ   faremos a xogada [a_k , a_k+1, a_k+2,..., a_n] ⟶  [a_k+1, a_k+2,..., a_n ]=[1, a_k+2,...a_n]   pois neste suposto  a_k+1=1.
  
• Se e_k+1 > Φ    faremos a xogada [a_k , a_k+1, a_k+2,..., a_n] ⟶  [1, a_k+1, a_k+2,..., a_n]
  

Nas dúas alternativas forzamos a que o contrincante teña só un posible movemento, ten que eliminar o primeiro elemento da fracción continua xa que é un 1.

Os detalles tanto destas estratexias pódense consultar, no volume 41, número 4, da publicación The Fibonacci Quaterly , concretamente no artigo de Tamás Lengyel, "A Nim-Type Game and Continued Fractions" 

Preguntas inesperadas

Ao seu xeito, os problemas son relatos que rematan nunha pregunta. Poderiamos dicir que nos problemas tipo sería escusado escribir explicitamente a pregunta pois esta é tan obvia que se sobreentende cal é. Aínda cando se nos presenta un problema interesante e retador, o desenvolvemento do seu enunciado vainos levando cara a cuestión final. Pero hai algunhas ocasións nas que a pregunta é completamente inesperada. Velaquí algúns exemplos.

Vou comezar cun clásico. Recólloo da curiosa escolma feita por Vladimir Igorevich Arnold (1937-2010), Problemas para mozos de 5 a 15 anos, que se pode consultar no web do Imaginary

As dúas velliñas. Dúas velliñas partiron respectivamente desde A cara a B e desde B cara A ao amencer dirixíndose unha cara á outra (pola mesma estrada). Atopáronse ao mediodía pero non pararon, e cada unha continuou o seu camiño á mesma velocidade. A primeira señora chegou (a B) ás 4 p. m., e a segunda (a A) ás 9 p. m. A que hora amenceu aquel día?

O seguinte vai camiño de ser un clásico pois foi publicado por ese gurú arxentino da divulgación matemática, Adrián Paenza, quen non só foi o condutor de diversos programas televisivos de carácter científico (Alterados por pi,  Científicos. Industria Argentina ) senón que leva anos escribindo artigos de matemáticas nalgúns xornais como Página/12 ou Cohete a la luna. Ademais podemos acceder libremente aos seus libros de divulgación. Nun deles, Detectives, presenta esta cuestión. 

O ping-pong. Tres amigos (digamos A, B e C) pasan a tarde xogando ao ping-pong co método "o que perde vaise e entra a xogar o que está fóra". Ao acabar a tarde, a cantidade de partidos que xogou cada un foron as seguintes: A=10, B=15, C=17. A pregunta é: Quen perdeu o segundo partido?

Seguindo con Adrián Paenza, pero agora recollendo un problema doutro libro, ¡Un matemático ahí, por favor!, achamos outra proposta cun sabor semellante; tan semellante que a miña primeira intención, a de achegar problemas con preguntas sorprendentes, agora, case se ve frustrada.

Atletismo para o cerebro. Hai uns meses efectuouse unha competición de atletismo cunha curiosidade: soamente participaron tres mulleres: Alicia (á que vou chamar A), Beatriz (B) e Carme (C). Elas (e só que elas) interviñeron en todas as disciplinas e non participou ningunha outra atleta.

Os puntos que se obtiñan en cada un dos tres postos era a mesma cantidade: x por quedar de primeira, y por quedar segunda e z por quedar terceira. Os tres números (x, y, z) son números naturais (maiores ou iguais que 1), e naturalmente verifícase tamén: x > y > z.

Unha vez finalizadas todas as competición, estes son os datos que se obtiveron:

A obtivo 22 puntos en total
B gañou os 100 metros lisos e en total obtivo 9 puntos
C tamén terminou con 9 puntos.

Agora si, a pregunta: quen quedou segunda en salto de altura?

Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.2

Despois de repasar a axiomática de Euclides e Hilbert, pasamos á de Tarski.

Os axiomas de Tarski

Finalmente chegamos ao que foi orixe de toda esta entrada, aos axiomas de Tarski, que puiden coñecer a partir do artigo de António Bívar do libro Treze viagens pelo mundo da matemática (U. Porto Edições, 2010). Alén deste artigo o libro é moi recomendable pois trata desde unha perspectiva case divulgativa trece aspectos moi diversos e interesantes das matemáticas a un nivel dos primeiros cursos universitarios.

A axiomática de Alfred Tarski (1901-1983) é destacable pola súa economía de recursos. Trátase dun sistema elaborado nunha linguaxe de primeira orde, polo que polo teorema de Löwenheim-Skolem,baixo a hipótese de consistencia, sabemos que terá un modelo contable. Como nota aparte non me resisto a contar unha anécdota dunha clase da materia de Lóxica en 4º-5º de carreira. Foi o caso de que o profesor nos foi presentando o que pretendía ser un conxunto de axiomas para os números reais nunha linguaxe de primeira orde. Outra vez, usando o teorema de Löwenheim-Skolem, demostrounos que o cardinal do conxunto dos número reais era ℵ₀. A ningún dos alumnos nos estrañou, non sei se foi porque a esas alturas da carreira xa tragabamos con todo ou porque a clase era un día de calor ás catro da tarde.

Volvendo ás características das axiomática de Tarski para a xeometría, destacar que só emprega dúas operacións elementais, a igualdade e a pertenza, unicamente un obxecto primitivo (os puntos) e dúas relacións primitivas (congruencia e "estar entre"). Así escribiremos xy≡zw para indicar que os segmentos zy e zw teñen a mesma lonxitude e Bxyz co significado de que "y está entre x e z". Imos alá cos primeiros axiomas:

• T.1. (Reflexividade simétrica) xy≡yx

• T.2. (Transitiva)   xy≡zw∧xy≡uv ⟶ zw≡uv

A partir destes axiomas obtense a reflexividade da congruencia: xy≡xy e a transitividade na súa versión usual: xy≡zw∧xy≡uv ⟶ zw≡uv . De aí que a congruencia sexa unha relación de equivalencia. Con todo aínda cómpre o seguinte axioma:

• T.3. (Identidade da equidistancia) xy≡zz ⟶ x=y

Comencemos a introducir os axiomas de ordenación. O seguinte garante que en calquera semirecta ox podemos construír un segmento xy congruente cun uv prefixado.

• T.4. ∀o, x, u, v  ∃y (Boyx ∧ uv≡yx)

Con este novo axioma pódese demostrar que xx≡yy ou que Bxyy

O seguinte axioma establece que no segmento xx só existe un punto:

• T.5. Bxyx ⟶ x=y

Tal e como sucedía na proposta de Hilbert, Tarski tamén precisa do axioma de Pasch. Velaquí a súa versión:

• T.6.  (Axioma de Pasch) Bxuy ∧ Bvwy ⟶  ∃z (Buzy ∧ Bwzx) 

Agora pódese demostrar a simetría na relación "estar entre": Bxyz ⟶ Bzxy . Tamén se verificará o teorema de intercalación:   Bxyw ∧ Byzw  ⟶  Bxyz. Coas mesmas hipóteses que as deste teorema esperamos poder obter tamén Bxzw. Mais cos axiomas dados ata aquí iso aínda non é posible.

Este é o momento no que António Bivar explica as razóns para introducir o sétimo axioma, que ten que ver coa necesidade de establecer cando dous ángulos son iguais.

• T.7. (Axioma dos cinco segmentos) (ox≡o'x'∧oy≡o'y'∧xy≡x'y'∧o ≠ y ∧ Bxyz ∧Bx'y'z' ∧ yz≡y'z') ⟶  xz≡x'z''

Este axioma dá lugar a varios resultados importantes. O primeiro deles é que permite realizar sumas de segmentos. Concretamente:  (Bxyz  ∧  Bx'y'z' ∧ xy≡x'y'∧yz≡y'z' ) ⟶  xz≡x'z'

En segundo lugar, temos tamén a unicidade do transporte de segmentos:

(x ≠ y ∧ Bxyu ∧ Bxyv ∧ yu≡yv) ⟶  u=v

En terceiro lugar, preséntase o chamado teorema de concatenación: 

(Bxyz ∧ Byzu ∧ y ≠ z)  ⟶ (Bxzu ∧ Bxyu )
Finalmente, o seguinte resultado, o teorema de conectividade, foi incluído nun principio como axioma ata que despois de varias décadas  Haragauri Narayan Gupta (1925-2016) demóstrao no 1965 a partir dos sete axiomas anteriores.

(Bxyz ∧ Bxyu ∧ x ≠ y)  ⟶ (Bxzu ⋁ Bxuz )

Con todo o establecido ata aquí podería haber modelos lineares para esta xeometría. Para facela máis rica pódese engadir un novo axioma que asegure unha dimensión maior ou igual a 2, isto é, que existen tres punto non colineares.

• T.8. (Axioma da dimensión inferior)  ∃ x, y, z (ㄱBxyz ∧ ㄱByxz ∧ ㄱByzx)

Unha vez chegados a este punto faise unha avaliación do estado desta xeometría básica. Para iso bota man do teorema I.10 de Euclides, que é o que establece como achar o punto medio de calquera segmento. Euclides usa un resultado non explicitado por el en ningures, o que a segura que dúas circunferencias no plano se intersecan en dous puntos sempre que a distancia entre os centros sexa menor que a suma dos raios e maior que a súa diferenza. Resulta que os oito axiomas de Tarski tampouco garanten este resultado. Para estarmos certos desta intersección cómpre introducirse no pantanoso mundo da continuidade, é aquí onde hai que introducir xa non só un axioma, senón todo un esquema de axiomas para poder realizar os cortes de Dedekind. Esta idea está presentada na entrada da Galipedia sobre os axiomas de Tarski, porén António Bivar, nun principio, non vai por este camiño. Como punto de referencia, na axiomática de Hilbert resólvese a cuestión grazas aos axiomas sobre ángulos.

A cuestión que propón António Bívar pasa precisamente polo concepto de ángulo. Normalmente consideramos un ángulo ∠xoy como a rexión do plano entre as semirectas ox e oy. Aquí xurde o seguinte problema. Cos oito axiomas establecidos ata o momento pódese demostrar que se Bxuy (u é un punto entre x e y) e Bozu (z está entre o e u), entón existirá un punto y' no segmento oy tal que Bxzy'. Porén, se z está máis alá de u, isto é, se Bouz, entón non se pode asegurar a existencia de puntos x' e y' na semirectas ox e oy respectivamente de forma que Bx'zy'. Isto é, que o ángulo ∠xoy non está formado polas semirectas que parten de o. Así que se introduce este resultado como axioma.

Necesidade do axioma de Euclides

• T.9. (Axioma de Euclides) (Bxuy ∧ u≠o ∧Bouz) ⟶ ∃ x', y' (Boxx' ∧ Boyy' ∧ Bozz')

Agora estamos en disposición de demostrar o teorema de Playfair, o de Desargues e o de Pascal. Todo isto permite desenvolver unha teoría de proporcións e construír un corpo pitagórico, isto é, un corpo no que a suma de dous cadrados é tamén un cadrado. Un modelo podería ser o conxunto Ω de Hilbert presentado máis arriba. O propio Hilbert comentaba que pola estrutura deste conxunto, o conxugado de calquera elemento de Ω tamén está en Ω . Se agora quixeramos construír un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 e con un cateto $$\sqrt { 2 } - 1 $$, o outro cateto debería medir $$\omega=-2+2\sqrt {  2  } $$ Se ω∈Ω entón tamén debería estar o seu conxugado, pero este é $$\sqrt{-2-2\sqrt {  2  } }$$, un número imaxinario, cando resulta que Ω está contido dentro dos reais. Polo tanto esta construción non pode realizarse en Ω, mais si se podería facer con regra e compás.

Para sermos máis concretos, Hilbert estudara que construcións xeométricas eran as que podían realizarse en Ω e concluíra que eran aquelas nas que se podían usar a regra e o transportador de unidades (un instrumento que fai posible o transporte do segmento unidade).

Con todo isto aínda non teriamos uns sistema axiomático para a recta real pois ficaría orfa a propiedade da completitude. As sucesións de Cauchy ou as de intervalos encaixados non teñen límite. Co fin de aseguralo pódese aínda introducir un axioma de continuidade pero, iso sí, non poderemos redactalo nunha linguaxe de primeira orde porque se fai referencia a conxuntos arbitrarios de puntos X e Y.

• T.10. (Axioma de continuidade) [∀ X, Y /  ∃ o (x∊X ∧ y ∊Y ⟶ Boxy)] ⟶ [ (x∊X ∧ y ∊Y) ⟶ ∃ p / Bxpy ]

Velaquí que cada vez que temos dous puntos colineares con o dos conxuntos X e Y, vai haber un punto intermedio entre eles.

Con estes vimbios pódese demostrar o que neste contexto xa sería o teorema de Arquímedes, así como a e a isomorfía entre todos os modelos verificando estes dez axiomas.

Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.1

Un libro do espazo
pero non espacial

Sempre me pareceu moi divertido que na librería "Follas Novas" colocasen o libro Ideas de espacio de Jeremy Gray (Mondadori 1992) entre os de viaxes espaciais e non entre os de xeometría. Téñolle moito cariño a este volume pois foi o primeiro de certa entidade que lin ao acabar a carreira. Lembro moi ben que o fixera durante unha semana de acampada nun monte próximo a Mombuey. Tamén me había de servir como guía para preparar un dos temas das oposicións, o da historia da xeometría. En efecto, Jeremy Gray fai un percorrido polos avances da xeometría tomando como eixo vertebrador o V postulado euclidiano. Aquí non pretendo tanto, só ir saltando polos principais sistemas axiomáticos da xeometría euclidiana; isto é, o sistema do propio Euclides, o de Hilbert e o de Tarski.

Os postulados de Euclides

Elementos, en galego

É ben coñecido que o paradigma dos sistemas axiomáticos son os Elementos. Despois dunha lista de 23 definicións, Euclides (III a.C.) establece os seus cinco postulados:

• E.1. Trazar unha liña recta dende un punto calquera ata un punto calquera
• E.2. E prolongar en liña recta de forma continua unha recta finita
• E.3. E debuxar un círculo con calquera centro e distancia.
• E.4. E que todos os ángulos rectos son iguais entre si.
• E.5. E que, se unha recta ó incidir en dúas rectas fai os ángulos do interior e do mesmo lado menores que dous ángulos rectos, as dúas rectas, prolongadas ó infinito, atópanse no lado no que están os ángulos menores que dous rectos.

Recollinos tal e como aparecen na tradución ao galego que fixeron Ana Gloria Rodríguez e Celso Rodríguez, publicada pola USC

Despois de establecer estas raíces, e sen máis adobíos que algunha que outra definición máis, a árbore crece durante 13 libros ata formar a primeira enciclopedia sistemática das matemáticas.

Críticas a Euclides

A pesar da grandeza dos Elementos, co tempo acharíanse varias fendas no sistema euclidiano. Xa na primeira proposición do primeiro libro suponse que dúas circunferencias con centros nos extremos do segmento AB e compartindo o raio AB teñen que cortarse nun punto Γ. O  postulado E.5 establece unha condición para que se corten dúas rectas. Retrospectivamente podemos enxergar que se precisaría tamén outro postulado que establecese o corte de circunferencias. O que cómpre é garantir a continuidade das liñas. Quen habían de profundar neste tópico serían Richard Dedekind (1831-1816) e Georg Cantor (1845-1918) entre outros.

Tamén o primeiro postulado foi obxecto de crítica pois Euclides asumiu en varios lugares a unicidade da recta que se asegura pasa por calquera par de puntos dados cando o que se enuncia neste postulado é unicamente a súa existencia.

O segundo postulado só garante o carácter ilimitado dunha recta, non a súa infinitude. Quen estableceu para sempre esta distinción había de ser Bernhard Riemann (1826-1866) na súa disertación perante Gauss. Euclides emprega o carácter infinito da recta en I.16, a proposición que establece que un ángulo exterior dun triángulo é maior que calquera dos interiores opostos.

Na proposición I.21 Euclides toma como certo que se unha recta corta a un dos vértices dun triángulo, ten por forza que cortar o lado oposto. Mais este resultado nin se demostra, nin se podía demostrar baixo a axiomática dos Elementos pois nela non hai ningunha referencia á ordenación (o concepto "estar entre"). Quen incidiu neste aspecto sería Morlitz Pasch (1843-1930). Este matemático alemán propuxo a primeira axiomática moderna da xeometría, precursora da de David Hilbert (1862-1943)

Os axiomas de Hilbert

O reinado dos Elementos esténdese ata o XIX, momento no que xorden tanto as xeometrías non euclidianas como os proxectos de axiomatización nas matemáticas, especialmente a aritmética. Nesta altura estaban de moda os estudos sobre os fundamentos e non foron poucos os traballos adicados aos da xeometría. De entre todos eles destaca o de Hilbert, quen elabora un profundo tratado sobre a axiomatización desta área, Fundamentos da xeometría. Para iso establece cinco grupos de axiomas. Poño algúns exemplos:

• Algúns axiomas de enlace:

H.I.1. Dados dous puntos A e B, sempre existe unha recta a que os contén.

H.I.2. Dados dous puntos A e B, só existe unha recta que pase por eles

H.I.3. Nunha recta hai polo menos dous puntos. Tamén existen polo menos tres puntos  non aliñados.

• O seguinte grupo de axiomas son os de ordenación:

H.II.1. Cando B está entre os puntos A e C, e son distintos puntos dunha recta, B tamén está entre C e A.

H.II.2. Dados dous puntos A e C, sempre existirá outro punto B na recta AC tal que B está entre A e C.

H.II.3, Dados tres puntos nunha recta, como moito un deles está entre os outros dous.

H.II.4. (Axioma de Pasch) Dados tres puntos A, B e C non aliñados e unha recta a no plano ABC que non contén a ningún dos puntos, se a corta a AB, entón corta tamén a AC ou a BC

• Axiomas de congruencia de Hilbert:

H.III.1. Dados os puntos A e B e o punto A' da recta a', existe un único B' nun dos lados da recta a' determinado por A' de forma que AB é congruente con A'B' (AB≡A'B')

H.III.2. Se os segmentos A'B' e A''B'' son congruentes a AB, tamén serán congruentes entre si.

H.III.3. Se AB≡A'B' e BC≡B'C', entón AC≡A'C'

H.III.4. Dado un ángulo definido polas semirectas h e k ∠(hk), e dada outra semirecta h', existe unha única semirecta k' tal que ∠(hk) ≡ ∠(h'k')

H.III.5. Se dous triángulos ABC e A'B'C' verifican que AB≡A'B' e AC≡A'C' e ∠BAC ≡ ∠B'A'C', entón tamén ∠ABC ≡ ∠A'B'C'.

Este último axioma é a proposición I.IV dos Elementos, o coñecido teorema de congruencia de triángulos LAL.

• O cuarto grupo de axiomas hilbertiano é ben reducido, tanto que se reduce a un único postulado, o das paralelas:

H.IV.1. (Axioma de Playfair) Sexa a unha recta e A un punto exterior á recta, entón existe como moito unha recta paralela a a pasando por A.

• Os últimos axiomas son os de continuidade. O primeiro deles é o que abre a porta á aritmetización da xeometría.

H.V.1. (Axioma de Arquímedes) Dados AB e CD, existen n puntos  puntos A₁, A₂ , A,...., A_n   con A₁=A,  A_iA_j≡ CD de forma que o punto B queda entre A₁e A_n

Axioma de Arquímedes

H.V.2. (Axioma de completitude) Os puntos dunha recta forman un sistema tal que non se pode ampliar baixo os axiomas H.I.1, H.1.2, H.II, H.III.1 e H.V.1

Este último axioma é o único deste sistema que non pode ser formalizado nunha linguaxe de primeira orde e ten claramente un enunciado ben distinto dos anteriores. Prima facie non o parece, pero é o que introduce a continuidade dentro da axiomática de Hilbert. Se excluímos H.V.2 poderían ser modelos desta xeometría estruturas "descontinuas" tales como o conxunto dos números racionais ou o conxunto Ω, que introduce Hilbert no principio do capítulo II dos Fundamentos e que estaría formado por todos os números que poden obterse a partir do 1 mediante sumas, restas, produtos divisións e unha quinta operación dada por $$\sqrt { 1+{ \omega  }^{ 2 } } $$

Tendo en conta a seguinte relación o conxunto de Hilbert estaría formado, ademais das combinacións das catro operacións, polas raíces cadradas das sumas de cadrados $$\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } =a\sqrt { 1+{ \left( \frac { a }{ b }  \right)  }^{ 2 } } $$

Quizais na lectura do axioma de completitude enxérgase máis facilmente outra interpretación que tamén se verifica, a de que este axioma asegura a categoricidade, isto é, que todos os modelos deste sistema axiomático son isomorfos.

Unha cuestión interesante é a de preguntarse polas razóns que levaron a Hilbert a introducir o axioma de completitude para caracterizar a continuidade cando tiña alternativas coñecidas tales como a dos cortes de Dedekind, a dos intervalos encaixados de Cantor, ou o teorema de Bolzano-Weierstrass. Hilbert tiña como obxectivo fundamentar una xeometría asentada sobre o corpo dos números reais, de aí que botase man do axioma de Arquímedes. Este axioma facilita o establecemento dunha medida. Entón Hilbert avísanos de que "o axioma de completitude que só esixira a conservación deses axiomas [os dos grupos I, II e III], pero non o de Arquímedes ou outro que lle corresponda, encerraría unha contradición"

Ben sei que ler esta entrada custa traballo. Se ben o estudo desde o punto de vista da lóxica de partes das matemáticas é moi instrutivo e revelador, cómpre manter un certo nivel de esforzo e concentración para aprehender os contidos. Tendo en conta o anterior e que a entrada xa vai tendo unha lonxitude considerable, deixamos a abordaxe da perspectiva de Tarski para outra entrada.

Grandes ideas da astronomía

Agora que estamos a prácticamente un ano da celebración das 19 JAEM, véñenme á memoria as IX JAEM, as de Lugo no ano 1999. Foi a raíz destas últimas que acabei creando e impartindo a materia de Astronomía na ESO no CPI Aurelio Marcelino Rei García (Cuntis). Trataba de facer fronte a un problema educativo cando tiña que impartir aulas en 4º da ESO. Unha e outra vez comprobaba o rexeitamento e as dificultades coas que o alumnado presentaba ao enfrontarse ao estudo da trigonometría.

Un mantra que se repite sempre en relación co ensino das matemáticas o que se ensina, ou a forma de ensinar "non ten aplicación práctica". Disto derívase unha consecuencia fatal, a desmotivación e ábrese o camiña cara o fracaso educativo. Curiosamente a trigonometría ten unha aplicación práctica inmediata, a de permitir obter medicións nun principio inaccesibles. O único atranco sería, en todo caso, que para conseguir este premio cómpre traballar durante algún tempo nun campo presuntamente máis árido, o das ideas básicas da trigonometría: medición de ángulos, semellanza, a definición das razóns trigonométricas, as razóns de determinados ángulos, algunhas propiedades das razóns,...

Quizais un bo punto de partida podería ser a astronomía. As raíces da trigonometría están na ciencia dos ceos. As primeiras referencias trigonométricas son as do libro I do "Almaxesto". O "De Revolutionibus" copernicano comenza como un tratado de trigonometría. Ter certa perspectiva histórica sobre a evolución da astronomía e coñecer algunhas das cuestións coas que se enfrontaba podería ser unha boa base sobre a que asentar a necesidade do estudo da trigonometría na secundaria.

De aquí xurdiu a elaboración dunha programación dunha materia optativa para a ESO, Astronomía, que impartín durante dous cursos no CPI de Cuntis. Tempo despois quixen levar esa materia ao IES de Silleda pero a loita pola defensa a toda costa do seu pombal por parte departamento frustrou o intento. No meu actual centro, no IES Antón Losada (A Estrada) volvín a facer o intento hai un par de anos, agora como materia optativa de unha hora en 1º de bacharelato (vs. a de Relixión). Aquí foi a estulticia da inspectora o que o impediu. O argumento para denegar a solicitude era que o Departamento xa tiña 73 horas de docencia e que se debían priorizar os reforzos ou afondamentos.

Toda esta introdución foi quizais para xustificar un tépedo interese pola astronomía de alguén que, podendo cursar esta materia na facultade, non o fixo. O interesante é o que vén de seguido, un documento ao que lle poden dar bo uso aqueles poucos que teñan a posibilidade de impartir astronomía nalgún centro de ensino do país.

A finais de febreiro deste ano a Agrupación Astronómica Io publicaba a primeira tradución mundial da publicación da Unión Astronómica Internacional,  “Big Ideas in Astronomy: A Proposed Definition of Astronomy Literacy” . Trátase dun texto cunha serie ordenada de conceptos chave da astronomía que deberían formar parte da cultura xeral de calquera persoa ben informada nesta materia

A tradución foi obra de Martin Pawley e a deseñadora gráfica Marta Cortacans adaptou o formato orixinal.

 

Grandes ideas da astronomía from Agrupación Astronómica Coruñesa Ío

O nº 3 do "Marco Numérico"

Marco Numérico é a revista de matemáticas que publica o IES do Marco do Camballón (Vila de Cruces) desde hai tres anos. O primeiro número publicouse en xuño do 2018 e a súa novidosa proposta fixo que fose noticia en varios medios como GCiencia ou Praza Pública. Neste último destacaban que a publicación nacía nun marco e prohibicións establecido polo funesto decreto 79/2010 segundo o que nin se pode impartir docencia de matemáticas en galego nin usar materiais desta materia nesa lingua. O proxecto partira das aulas dunha materia optativa de 2º de bacharelato, Métodos Estatísticos e Numéricos.

Un ano despois aparecía o segundo número, no que se lle abriu a porta a que colaborasen outros centros de ensino. Finalmente, e con puntualidade britática, temos acceso ao terceiro volume, que saiu do prelo a pesar das dificuldades derivadas da pandemia da COVID-19. Na súa presentación destácase que esta revista

quere recoller traballos de investigación realizados por alumnado de secundaria e bacharelato de centros de ensino galegos que teñan as matemáticas como eixo central

Velaquí o seu carácter distintivo entre a curta, pero gorentosa, tradición de revistas de matemáticas dos centros de ensino, (por certo, todas elas en galego; boa mostra do compromiso social do mundo do ensino fronte ao radicalismo dunha Xunta racista coa lingua de noso e os seus utentes)

Neste terceiro número, entre outros artigos, volveremos a encontrar un traballo que contribúe ao proxecto MARUMASAT, hai unha nova achega sobre a lei de Bendford, e varios estudos estatísticos sobre a distribución dos números primos.

Non quería finalizar sen darlle as grazas ao promotor deste proxecto, Xosé Díaz, non só por poñelo en pé e mantelo, senón por unha razón máis persoal que non é outra que a de que me invitara a prologar o terceiro volume do Marco Numérico.