sábado, 22 de novembro de 2014

GAMMA 13

Desde que se presentou a finais de setembro tiven a intención de escribir unha referencia ao número 13 de  Gamma, a revista da Asociación Galega do Profesorado de Educación Matemática (AGAPEMA). Por primeira vez esta revista publícase dixitalmente e sen restricción de acceso aos seus contidos. Un acerto desde o meu punto de vista pois é unha excelente oportunidade de achegar aos non profesionais do ensino das matemáticas os traballos e intereses destes. Artigos Seguro que a moitos lles sorprenderá que o primeiro dos artigos comence cunha referencia a Uxío Novoneyra.  Tamén teño a certeza de que será un artigo do que calquera persoa allea ás matemáticas pode gozar. Moi distinto é o que repasa algunhas das aportacións de Euler á teoría de números. O seu autor foi profesor meu de matemáticas e nas súas liñas podo achar o que para min é o seu inconfundible estilo, cargado dunha beleza precisa e núa. Posiblemente o único artigo que non recomendaría a quen non teña ansia polas materia. Hai tamén un artigo adicado ao xogo do Mancala, que eu descubrira naquelas revistas Cacumen, outro sobre os números nos billetes, no NIF, no IBAN e nos códigos de barras, un máis que relata unha experiencia educativa dentro do marco e-Twining e para rematar unha oferta ben diversa, o cuarto e último capítulo dun dicionario de matemática escolar.

 Seccións
O apartado PRENSAndo as matemáticas recolle noticias de prensa desde unha mirada matemática. A blogosfera matemática achéganos unha lista de 37 blogues con referencias matemáticas, 8 deles en galego, toda unha heroicidade. No apartado audiovisual ofrécenos unha recompilación de momentos da serie de debuxos Os Simpsons con cortes matemáticos. A arte do origami vén cun relato que nos leva a construir unha rá saltarina.

Actividades
Na caixa das actividades atopamos unha serie de concursos (Olimpíada, Rebumbio), encontros (Feira, Seminario federal, xornadas) e congresos que dan boa medida do interese do profesorado de matemáticas pola mellora profesional e o achegamento deste tantas veces deostado saber ao resto da poboación, especialmente ao alumnado. Unha das achegas "Léxico matemático galego en Secundaria" fai referencia a unhas xornadas celebradas hai case un ano na Facultade de Matemáticas na que se fixo unha primeira aproximación ao estado da cuestión.

sábado, 15 de novembro de 2014

O Chinn-Steenrod

O libro editado por Alhambra, Primeros conceptos de topología, foi o primeiro que comprei cando fixen a carreira e por iso lle teño un aquel especial. Os seus autores son W. G. Chinn e N. E. Steenrod.
O certo é que daquela non chegara a ler máis que unha pequena parte. Comenzárao coa ansia desaber ben en que consistía iso da topoloxía, unha materia que desde a súa propia denominación xa era esotérica. Por fin, trinta anos despois, desfruteino enteiro.
O libro está dividido en dúas partes, unha adicada sobre todo a desenvolver un teorema de existencia na dimensión un e outro na segunda parte para a dimensión dous.

A primeira parte
A estrutura do libro non é estándar. No canto de desenvolver conceptos e teoremas de forma ordenada (de menos a máis), comenza por un teorema e establécense as dificultades para a súa demostración para proceder a resolvelas e estudalas. O teorema principal desta primeira parte é o seguinte, referenciado en moitos manuais como teorema de Weierstrass:
Se unha función f, continua e definida nun intervalo cerrado [a,b], entón existe un valor mínimo m e un valor máximo M para a función. Ademais para cada valor y do intervalo [m,M], a ecuación f(x)=y ten polo menos unha solución no intervalo [a,b].
Con esta referencia como punto de partida pásase a facer un percorrido pola definición de distancia euclídea, a de conxunto aberto e cerrado, demostrar a completitude do conxunto dos números reais, o estudo da conexión ou a compacidade. Foi todo un gusto volver a repasar esas demostracións de propiedades nun conxunto compacto nas que xa se vía vir como ao construir unha colección, presumiblemente infinita, recubrindo o conxunto xurdía finalmente a propiedade ao escoller un subrecubrimento finito. E, por suposto, tamén aparece o teorema do punto fixo: toda aplicación continua f dun intervalo cerrado en si mesmo ten polo menos un punto no intervalo tal que f(x)=x.
Un toque de orixinalidade do libro é a inclusión deste par de teoremas:
Toda aplicación continua dunha circunferencia na recta ten algún par de puntos diametralmente opostos coa mesma imaxe
Teorema da tarta. Dados dous trozos de tarta colocados nunha bandexa é posible dividilos en dúas partes iguais con só un corte

O final da primeira parte é curioso para un libro de topoloxía pois fai referencia a un teorema puramente alxébrico: todo polinomio de grao impar ten polo menos unha raiz real. Non é un capricho, terá a súa xustificación.

Segunda parte
De xeito paralelo ao realizado na primeira parte vaise propoñer un teorema principal e desenvolveranse todos os pasos necesarios para poder demostralo. Velaquí o teorema:
Sexa f unha función dun disco D no plano, C a fronteira de D e y un punto do plano que non pertence a f(C).Se o número de voltas de f|C respecto de y é distinto de cero, entón y forma parte da imaxe do disco D.


Homotopía, da Wikipedia
Para abordar este teorema hai que definir estrictamente a difusa, pero intuitiva idea de "número de voltas dunha curva arredor dun punto". Tamén haberá que facer un parada no mundo das homotopías. Unha homotopía, tal e como se aprecia no gif da esquerda non é outra cousa que unha transformación continua entre dúas curvas. Resulta que o número de voltas respecto a un punto que non sexa varrido polo feixe de curvas da homotopía consérvase por esa homotopía.
Este repaso permite a demostración do teorema principal desta segunda parte do libro. Pero non remata aí. Sobre esta base chégase aos seguintes resultados:
Se f é unha aplicación continua dun disco D en sí mesmo, entón existe polo menos un punto x de D que f deixa fixo: f(x)=x.
Toda función continua da esfera sobre o plano aplica algún par de antípodas no mesmo punto.
Teorema do sándwich de xamón. Sexan A, B, C tres conxuntos limitados e coonexos do espazo. Existe un único plano que divide o volume destes tres conxuntos pola metade.

Nos últimos capítulos introdúcense os campos vectoriais e abórdase o célebre teorema da bóla cabeluda para rematar ofrecendo unha demostración orixinal do teorema fundamental da álxebra.
En definitiva, un texto ideal para mergullarse nas matemáticas nestas tardes de invernía.

terça-feira, 11 de novembro de 2014

O teorema de Xavier Queipo

No número 120 do Sermos Galiza o escritor Xavier Queipo escribía unha columna titulada "A política galega e o segundo teorema de Mikami-Kobayashi"
Pasaba o escritor a explicar como visualizar o teorema:
Vailles soar unha chisca excéntrico, mais pídolles que se armen de lapis e papel, contando con que se teñen unha boa visión tridimensional (non é o meu caso) non van precisar deses aparellos
Esa falta de visión espacial tampouco debería ser un problema para Xavier Queipo porque o resultado é de xeometría plana. Chéganos polo tanto cun par de dimensións. De todas formas explica moi ben o seu teorema:
Tracen un círculo e inscriban nel un cuadrilátero non regular. Si xa teñen os catros puntos e as liñas  que os unen debuxadas, daquela xa poden trazar as diagonais do cuadrilátero. Ben. Xa imos avanzando. Agora deberán inscribir un círculo en cada un dos catro triángulos que resultaron ao trazar as diagonais.[...] Agora chega o momento curcial, marquen o centro deses catro círculos inscritos en cadnseu triángulo, xunten os centros deses círculos e obterán, sen dúbida, un rectángulo.
 Así o fixen. Ou polo menos iso foi o que entendín. Pero, oh, sorpresa! non aparecía rectángulo por ningures:

Que é o que pasa? Xavier Queipo referíase ao chamado segundo teorema de Mikami-Kobayashi, que di que nun cuadrilátero cíclico os incentros dos triángulos formados ao trazar unha diagonal xunto cos incentros dos outros dous triángulos de trazar a outra diagonal, forman sempre un rectángulo. Podemos ver unha demostración aquí.

O teorema de Xavier Queipo
De todas formas é interesante saber para que usou no seu artigo Xavier Queipo o nomeado teorema de Mikami-Kobayashi. Queipo recolle unha idea xeométrica como argumento para trazar as liñas da xeometría política galega. Os catro incentros son
os puntos cardinais das catro tendencias políticas que están na mente de todos, a saber, os conservadores cirtiano-demócratas (PP), os socialistas (PS), os galeguistas (BNG, ANOVA e outros) e os partidos de esquerda ou centro esquerda estatalista (EU, Podemos ou outros) [...] O miolo da cuestión é que siginifica ese rectángulo en toda esta trama unha chisca estraña. Pois o rectángulo significa a correlación de forzas do poder: as ideas que marcan unha época.
Continuando co paralelismo, cada vez que temos eleccións muda a configuración do esquema; uns círculos vólvese máis grandes e outros minguan. Pero tal e como nos di o teorema,  os marcos referenciais fican ortogonais.

Anotacións finais.
Se no artigo do Sermos Galiza non se fixera ningunha referencia á xeometría, seguramente eu non o lería agora non tería na cabeza a idea explicada sobre o retrato do panorama político. Gustoume moito que nun artigo lonxano ao mundo das matemáticas se fixera uso das mesmas.
Vemos como unha persoa allea ao mundo das matemáticas retomou momentáneamente o seu interese polas mesmas ao escoitar unha conversa. En efecto, Queipo oe por azar como dúas persoas falan do teorema de Carnot. A curiosidade lévao a profundizar no tema e, tirando do fío chega a un grupo de resultados que teñen que ver cunha curiosa tradición xaponesa, o sangaku. Trátase neste caso dunhas tabliñas dos séculos XVIII e XIX  con problemas de carácter xeométrico onde abundan construcións con figuras tanxentes e normalmentes con cículos ou polígonos inscritos uns dentro doutros. O importante é que as matemáticas non lle producen o que a moitos, rexeitamento. Non ten medo de achegarse a elas, incluso de empregalas para facer unha análise da estrutura política galega. E isto é moi bo.
Se hai algo do que o mundo das matemáticas, especialmente o seu ensino,  está moi necesitado, é dunha relación máis fluída coa sociedade. E iso é o que fai Xavier Queipo.Cómpre romper prexuízos, sobre todo nun momento no que as liñas directrices da política educativa van por camiños pouco desexables. O papel que a LOMCE asigna á materia de matemáticas dentro co currículo é estarrecedor. Aparecen claramente como a máquina perfecta de etiquetaxe e discriminación no contexto escolar. Por iso cómpre, máis que nunca tecer liñas de reforzo doutra visión das matemáticas. Temos que potenciar un achegamento integrado, amable, próximo, útil e usable. Artigos como o de Queipo son exemplos deste labor. Por certo, esas liñas do número 120 do Sermos Galiza son as únicas impresas en papel que puden ler en galego neste ano. Significativo, non si?