Neuse anónima

Nunca reparara nas construcións neuse ata que comecei a remexer no recomendable blogue Regra e compás de Paulo González Ogando. Polas súas máis de 200 entradas podemos navegar por un sistemático estudo das construcións da xeometría plana que son factibles segundo diversos procedementos. Facendo honra ao nome do blogue, moitas delas poden realizarse con regra e compás. Lembremos que neste caso suponse que o compás colapsa nada máis se fixo uso del, polo que non nos serve como transportador de lonxitudes. Tampouco podemos trasladar lonxitudes coa regra pois enténdese que non ten marcas; a súa utilidade consistirá en trazar rectas entre dous puntos calquera do plano. A xeometría euclidiana clásica só facía uso destas ferramentas. Baixo estes supostos moitas construcións non serían posibles. Porén, se no canto da regra clásica permitimos usar unha regra con dúas marcas Q e R a unha distancia QR=a (diastema), seremos quen de trisecar ángulos (seguindo ben a Arquímedes, ben a Conway), duplicar o cubo, construir un heptágono  un eneágono e moitos outros polígonos regulares. O uso da regra marcada tamén é coñecido como neuse, segundo a súa denominación clásica. Vexamos en que consiste.

Os seguintes parágrafos describen o que se pode ver na applet de Geogebra.

Supoñamos que temos un punto P, dúas rectas r e s e unha distancia Q'R'=a. Imaxinemos que cravamos en P unha punta. Agora colocamos a regra marcada pasando por P e xirámola mantendo o punto Q' na recta s ata que o outro extremo do segmento, R', fique sobre r. Así obtemos a recta buscada que pasa por A, B (distantes a unidades) e P.

Se partimos dun punto P e dúas circunferencias c e d, volvemos a colocar a punta en P e sobre ela xiramos a regra marcada mantendo o punto Q na circunferencia c ata que o outro extremo, R, fique en d. Así achamos os segmentos AB e CD, ambos aliñados con P e de lonxitude igual á do diastema QR.

Finalmente dado P, unha circunferencia c e unha recta r, colocando a punta en P e movendo sobre ela a recta marcada co punto Q na circunferencia, obteremos AB e CD, ambos aliñados con P e de lonxitude igual á do diastema QR.

A neuse para resolver a duplicación do cubo

Os libros de historia das matemáticas afirman que nesta ciencia houbo un cambio substancial na época da Grecia clásica. Anteriormente, en Exipto e Babilonia as matemáticas aparecían sempre como técnica aplicadas para a resolución de determinados problemas prácticos. Non hai constancia dunhas matemáticas entendidas como un saber dedutivo que trata sobre teorías abstractas. Consideremos, por exemplo, un dos problemas clásicos, o 

Problema da duplicación do cubo. Dado un cubo de aresta AB, achar (con regra e compás) a aresta CD doutro cubo que duplique o volume do de aresta AB.

Parece ser que Eratóstenes de Cirene (276 a.C - 194 a.C.) é o autor dunha carta que contén, non unha, senón dúas versións do problema. Aquí xa comezamos a enxergar que pouco importa o contexto do problema. Un dos enunciados ten como protagonista ao mítico rei Minos ao que as dimensións da tumba do seu fillo Glauco lle parecían demasiado pequenas e ordenaba construir unha co dobre de capacidade. A outra versión relata que os atenienses consultaron como facerlle fronte a unha devastadora epidemia ao  oráculo de Apolo en Delos. A resposta foi que debían duplicar o altar de Apolo, de forma cúbica. Velaquí que este problema tamén recibe o nome de problema délico.

A restricción das ferramentas a usar, en exclusiva a regra e o compás, é o que fan imposible a resolución do problema tal e como demostrou en termos alxébricos Pierre Wantzel no 1837. Porén, se permitimos outros métodos de construción si podemos resolver o problema. En particular, podémolo facer empregando a neuse 

Paulo R. Ogando reproduce a construción do clásico de Henrich Dörrie (1873-1955), 100 Great Problems of Elementary Mathematics que é esencialmente unha versión simplificada da de Nicomedes (ca. 280 a.C- ca 210 a.C)  debida a Newton (1642/3-1727). Velaquí a ligazón a esa entrada en Regra e compás.

A neuse anónima

Vou presentar outra construción con regra marcada para a duplicación do cubo, coa particularidade de que non sei de onde a saquei. Tíñaa entre as notas da lectura do libro Tales of impossibility de David S. Richeson, que trata, en boa medida os mesmos temas que o blogue Regra e compás. Pero despois dunha rápida revisión comprobei que non estaba nese libro e non podo dicir a quen se lle debe atribuir esta neuse anónima. 

Partimos dun segmento AB de lonxitude 1. O noso obxectivo será determinar outro segmento AE que mida $\sqrt[3]{2}$. Para iso comezamos prolongando a recta AB e despois trazamos unha circunferencia de centro B e raio AB que corta á recta en C. Tomando este novo punto como centro trazamos outra circunferencia do mesmo raio que cortará a outra en D. A recta BD formará un ángulo de 60º coa outra. Trazamos tamén a perpendicular a AB polo punto B.

Agora aplicamos a construción coa regra marcada en dous puntos que disten 1. Colocando a punta en A movemos a marca da regra pola perpendicular BE ata que o outro extremo da marca se encontre sobre a recta BD no punto F. Temos pois a recta AEF onde EF mide 1 e AE será a solución buscada. Para comprobalo trazamos finalmente desde F a perpendicular á recta AB.

Chamémoslle α ao ángulo comprendido entre AF e AB. O seu coseno nos triángulos rectángulos ABE e AGF dan lugar a que $$cos\alpha =\frac{1}{x}=\frac{1+BG}{1+x} \Rightarrow BG=\frac{1}{x}$$

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triángulo ABE temos que $BE=\sqrt{x^{2}-1}$

Agora, calculando o coseno de 60º: $$cos60=\frac{BG}{BF}=\frac{1/x}{BF} \Rightarrow BF=\frac{2}{x}$$

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triángulo BGF obtemos $FG=\frac{\sqrt{3}}{x}$

Como as rectas EB e FG son paralelas podemos aplicar o teorema de Tales:$$\frac{AE}{AF}=\frac{EB}{FG}\Rightarrow \frac{x}{1+x}=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{3}/x}$$

Unhas poucas contas transforman esta última igualdade na ecuación: $$x^{4}+2x^{3}-2x-4=0\\\left ( x^{3}-2 \right )\left ( x+2 \right )=0$$

Descartamos a solución negativa x=-2 e quedámonos con que o valor de $x=\sqrt[3]{2}$