A fórmula de Lehmer

De revisarmos as etiquetas das entradas deste blogue, comprobariamos que hai moitas con referencias ao número aúreo ou á sucesión de Fibonacci. A razón é ben evidente. Aquí tratamos matemáticas bonitas e non difíciles. Resulta que eses temas están adornados con estas condicións, consecuentemente volvemos a eles unha e outra vez. Sendo isto así estaría tentado a recoller ducias de resultados dalgún libro que trata estas cuestións como é o caso de Fibonaccci and Lucas Numbers with Applications (Wiley, 2011), escrito por Thomas Koshy e do que xa se editou un segundo tomo. Así e todo voume centrar nunha única fórmula polo extraordinaria que resulta ser. Koshy atribúella a D. H. Lehmer (1905-1991), incluso nos informa que data concretamente do 1936, cando Lehmer estaba na Universidade de Lehigh. Todos coñecemos a relación entre a sucesión de Fibonacci $\left\{ f_{n} \right\}$ e o número áureo $\phi$. No entanto a fórmula de Lehmer pon en relación a sucesión de Fibonacci con outro número ubicuo, o número $\pi$:

Fórmula de Lehmer. $$\sum_{n=1}^{\infty }arctan\frac{1}{f_{2n+1}}=\frac{\pi}{4}$$

Recordemos, unha vez máis, en que consiste a sucesión de Fibonacci:

$f_0$	$f_1$	$f_2$	$f_3$	$f_4$	$f_5$	$f_6$	$f_7$	$f_8$	$f_9$	$f_{10}$	$f_{11}$	$f_{12}$	$...$	$f_n$
$0$	$1$	$1$	$2$	$3$	$5$	$8$	$13$	$21$	$34$	$55$	$89$	$144$	$...$	$f_{n-1}+f_{n-2}$

Para poder deducir a fórmula precisaremos de dous lemas. O primeiro deles é ben coñecido, e xa o temos usado noutras entradas deste blogue. Trátase do:

Lema 1. Fórmula de Cassini. $f_{k+1}\cdot f_{k-1}-f_{k}^{2}=\left( -1 \right)^{n}$

A fórmula de Cassini é un lema do lema 2, pois empregarémola para demostralo. Trátase doutra fórmula:

Lema 2. $arctan\frac{1}{f_{2n+1}}=arctan\frac{1}{f_{2n}}-arctan\frac{1}{f_{2n+2}}$

A demostración é bastante natural. Calcularemos a tanxente do segundo membro e veremos que é $\frac{1}{f_{2n+1}}$. Para iso aplicamos a fórmula da tanxente dunha resta (lembrade as clases de 1º de bacharelato)

$$tan\left( \alpha-\beta \right)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha \cdot tan\beta}$$

$$tan\left( arctan\frac{1}{f_{2n}}-arctan\frac{1}{f_{_{2n+2}}} \right)=\frac{\frac{1}{f_{2n}}-\frac{1}{f_{2n+2}}}{1+\frac{1}{f_{2n}}\cdot \frac{1}{f_{2n+2}}}=$$

$$=\frac{f_{2n+2}-f_{2n}}{f_{2n}f_{2n+2}+1}=\frac{f_{2n+1}}{f_{2n}f_{2n+2}+1}=(*)$$

Agora simplifaremos o deniminador por medio da fórmula de Cassini. Efectivamente, tomando $k=2n+1$ a fórmula de Cassini queda:

$$f_{2n+2}\cdot f_{2n}-f_{2n+1}^{2}=\left( -1 \right)^{2n+1}=-1$$

Despexando $f_{2n+1}^{2}$:

$$f_{2n+1}^{2}=f_{2n+1}\cdot f_{2n}+1$$

Continuamos e rematamos coa demostración do lema 2:

$$(*)=\frac{f_{2n+1}}{f_{2n+1}^{2}}=\frac{1}{f_{2n+1}}$$

Co lema 2 na faltriqueira a obteción da fórmula de Lehmer é un xogo infantil. En primeiro lugar calcularemos a serie de sumas parciais, que se simplifica moito porque se cancelan todos os termos agás o primeiro e mais o último:

$$\sum_{n=1}^{m}arctan\frac{1}{f_{2n+1}}=\sum_{n=1}^{m}\left( arctan\frac{1}{f_{2n}}-arctan\frac{1}{f_{2n+2}} \right)=$$ $$=arctan\frac{1}{f_{2}}-arctan\frac{1}{f_{2m+2}}=\frac{\pi}{2}-arctan\frac{1}{f_{2m+2}}$$

Para obter a suma da serie bastará con aplicar límites:

$$\sum_{n=1}^{\infty }arctan\frac{1}{f_{2n+1}}=\lim_{m \to \infty }\left( \sum_{n=1}^{m}arctan\frac{1}{f_{2n+1}} \right)= \lim_{m \to \infty } \left( \frac{\pi}{4}-arctan\frac{1}{f_{2m+2}} \right)=\frac{\pi}{4}-arctan \, 0=\frac{\pi}{4}$$

A serie comeza con $m=1$, isto significa que o primeiro sumando é o arcotanxente do inverso de $f_3$. Porén, se quixermos obter a suma de todos os arcotanxentes dos inversos dos termos impares da sucesión de Fibonacci só teriamos que engadir un termo, $arctan\frac{1}{f_{1}}=arctan1=\frac{\pi}{4}$. Deste xeito, a suma completa daría $\frac{\pi}{2}$:

$$\frac{\pi}{2}=arctan\frac{1}{1}+arctan\frac{1}{2}+arctan\frac{1}{5}+arctan\frac{1}{13}+arctan\frac{1}{34}+arctan\frac{1}{89}+...$$