Conway en Vila de Cruces

É enorme a cantidade de vídeos de matemáticas subidos á canle de You Tube Tales no Camballón Films, do IES Marco do Camballón (Vila de Cruces). Había tempo que tiña ganas de falar dela e este vídeo que comparto aquí ofreceume a escusa perfecta. Aproveito para felicitar con verdadeira ansia aos autores da canle polo seu fantástico traballo e voume a atrever a engadir unha recomendación e unha petición. A recomendación é a de que fagan uso dunha lingua de calidade, como por exemplo o uso da denominación xe no canto da incorrección *equis. A petición é a de que continúen o seu labor.
Para quen non saiba do tema que se trata no vídeo quizais lle conveña, antes de darlle ao play, ler antes esta entrada.

Un libriño de Miguel de Guzmán

O problema dos soldados no deserto coñecíao dun libriño de Miguel de Guzmán, Cuentos con cuentas (Labor bolsillo Juvenil, 1984). Custárame 520 pesetas. Con bastante optimismo, penso eu, o texto estaba recomendado "a partir de 12 anos". Tempo despois foi reeditado en Nivola.
Neste texto  preséntase a cuestión como a do xogo da "ra saltadora". Unha excelente explicación do xogo tamén a temos nun artigo de Adrián Paenza.
Partimos dun taboleiro cuadriculado todo o grande que queiramos, cunha liña horizontal destacada ou fronteira que divide a rexión superior da rexión inferior. En cada cela da rexión inferior podemos colocar unha ficha. Os movementos permitidos recordan ao xogo das damas cando se come: saltamos por enriba dunha ficha e movémonos ata a seguinte cela baleira. Só podemos movernos en horizontal ou vertical.

movementos

O reto consiste en colocar todas as fichas que queiramos por debaixo da fronteira co obxectivo de alcanzar a fila máis alta posible por enriba da fronteira realizando os movementos permitidos. Vemos de seguido un exemplo cunha disposición inicial de 4 fichas, coa cal o resultado final dos movementos pode ser a cela marcada cunha ficha clara.

Con 4 fichas podemos
alcanzar a segunda fila

Cantas fichas necesitamos (e como debemos colocalas) para alcanzar a fila 1 da rexión superior?
E para a fila 2? e para a 3? e para a 4? e para a n-ésima?
Un bo exercicio consiste en desentrañar estas cuestións. Para obter a resposta a algunha delas podes premer aquí abaixo, aínda que, como é habitual nestes casos, antes recoméndase reflexionar un pouco.



A solución de Conway
É fácil ver que:
para chegar á primeira fila basta con 2 fichas
para chegar á segunda fila basta con 4 fichas
para chegar á terceira fila basta con 8 fichas
Xa máis espiñenta é a cuestión da cuarta fila. Non son 16 como cabería esperar, senón 20 as fichas necesarias para que haxa unha ra que poida chegar a pegar catro chimpos por enriba da fronteira. Pero o relamente sorprendente é que alcanzar a quinta fila é imposible. Aínda máis sorprendente é a marabillosa solución que achegou John Horton Conway e que ten que ver co ubicuo número áureo (!).
Aquí fago unha paréntese por unha cuestión notacional. Se un consulta libros ou webs sobre o número áureo verá que esta cantidade se denota por veces como φ e outras como Φ e en non poucos casos (e isto rebéntame) mestúranse sen criterio as dúas notacións. Para enlear máis a cuestión, o número ao que se refiren non é sempre o mesmo.
Noutras entradas nas que utilicei o número áureo empreguei a seguinte notación, que vou seguir respectando:
$$\Phi =\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 } \quad \quad \varphi =\frac { 1-\sqrt { 5 }  }{ 2 } $$
Conway non emprega o número Φ nin tampouco o φ, senón x= -φ=Φ - 1=1/Φ=0,6180339887... que denotaremos por x nesta entrada para seguir a terminoloxía do vídeo. O valor x verifica:
$${ x }^{ 2 }+x=1$$  $${ x }^{ n+2 }+{ x }^{ n+1 }={ x }^{ n }$$
Consideremos o taboleiro de xogo etiquetado coas seguintes potencias do número x:

Velaquí a xenial idea de Conway. Agora os desprazamentos da ra pódense estudar alxébricamente mediante as sumas de celas. Teremos dúas posibilidades. Pode ser que un movemento poida codificarse mediante unha igualdade. Por exemplo:
$${ x }^{ 8 }+{ x }^{ 7 }={ x }^{ 6 }$$
A segunda posibilidade daría lugar a unha desigualdade. Engado outro exemplo:
$${ x }^{ 8 }+{ x }^{ 9 }={ x }^{ 7 }>{ x }^{ 10 }$$
Isto é: en cada movemento eliminamos as fichas de dúas celas consecutivas e quedámonos con outra que terá como valor etiquetado un que é igual ou menor ao da suma das fichas eliminadas. En cada movemento imos reducindo o valor correspondente ao da suma de todos os elementos da configuración de partida.
Calculemos agora a suma de todas as (infinitas) celas que quedan por debaixo da fronteira. Sumando cada columna obtemos unha colección de infinitas series en progresión xeométrica:
$$S=({ x }^{ 5 }+{ x }^{ 6 }+{ x }^{ 7 }+....)+2\left( { x }^{ 6 }+{ x }^{ 7 }+{ x }^{ 8 }+... \right) +2\left( { x }^{ 7 }+{ x }^{ 8 }+{ x }^{ 9 }+... \right) +........=\\ =\frac { { x }^{ 5 } }{ 1-x } +2\frac { { x }^{ 6 } }{ 1-x } +2\frac { { x }^{ 7 } }{ 1-x } +........=\frac { { x }^{ 5 } }{ { x }^{ 2 } } +2\frac { { x }^{ 6 } }{ { x }^{ 2 } } +2\frac { { x }^{ 7 } }{ { x }^{ 2 } } +..........=\\ ={ x }^{ 3 }+{ 2x }^{ 4 }+2{ x }^{ 5 }+...=\left( { x }^{ 3 }+{ x }^{ 4 }+{ x }^{ 5 }+... \right) +\left( { x }^{ 4 }+{ x }^{ 5 }+{ x }^{ 6 }+... \right) =\\ =\frac { { x }^{ 3 } }{ 1-x } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 1-x } ={ x }+{ x }^{ 2 }=1$$
Isto significa que calquera disposición inicial (finita) de fichas terá unha suma menor que 1.
Agora ben, se fósemos quen de chegar á cela etiquetada co número 1, iso significaría que poderiamos facelo sumando celas adxacentes. A etiquetaxe de Conway está feita precisamente con este criterio. Pero xusto acabamos de ver que esa etiquetaxe nunca conseguiría unha suma suficiente como para alcancar a cela 1.

O traer a Conway ao primeiro plano, sobre todo nun contexto coma éste, no que se está a falar de contos, algún día teriamos que tratar dos fantásticos números surreais.