Algúns resultados de trigonometría esférica

Os teoremas planos

O teorema do seno e o do coseno forman parte do temario de Matemáticas I de 1º de bacharelato. Son fórmulas válidas para calquera triángulo plano. 

O teorema do coseno

É unha xeralización do teorema de Pitágoras:

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cosA$$ $$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot cosB$$ $$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot cosC $$ 

O teorema dos senos

Consiste na seguinte igualdade entre proporcións que, por certo, ten como valor o diámetro da circunferencia circunscrita 

$$\frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}$$

Hai unhas fórmulas análogas para triángulos esféricos pero que non teñen cabida no currículo de secundaria. Eu mesmo nunca a estudei, nin tan siquera nos anos de universidade. Claro que isto é debido a non ter escollido a optativa de Astronomía. Estrañamente acabaría impartindo eu esta optativa na ESO durante dous cursos. Non foron máis debido a circunstancias bastante miserables que prefiro non comentar. 

Para poder preparar o temario desta materia entendía que debía coñecer os seus fundamentos cunha profundidade bastante maior que a que se debe abordar despois na aula. Un dos textos que máis me axudou foi o Curso de astronomía general de Bakulin, P. I., Kononovich, E. V. e Moroz, V.I, (Editorial MIR- Ribiños-1860, S.A., 1992). Daquela tomara algúns apuntes que transcribo hoxe aquí. 

Teorema do coseno para un triángulo esférico

Consideremos tres planos que pasen polo centro dunha esfera. Así determinaremos tres circunferencias máximas sobre a esfera e formarase un ángulo triedro con vértice no centro O da esfera. Xa que logo obtemos o triángulo esférico ABC onde OA=OB=OC=r, o raio da esfera. Temos ademais as seguintes igualdades:

O lado a =∠BOC, o lado b=∠AOC e o lado c=∠AOB

As rectas AD e AE, tanxentes á esfera, son perpendiculares a OA. Construímos así o triángulo ADE  que ten en A o mesmo ángulo que o ángulo correspondente do triángulo esférico. 

Aplicando o teorema do coseno aos triángulos ADE e OEM e igualando:

$$DE^{2}=AE^{2}+AD^{2}-2AE\cdot ADcos$$ $$DE^{2}=OE^{2}+OD^{2}-2OE\cdot ODcosa$$ $$AE^{2}+AD^{2}-2AE\cdot ADcosA=OE^{2}+OD^{2}-2OE\cdot ODcosa$$

A última igualdade tamén a podemos escribir así: $$2OD\cdot OEcosa=OE^{2}-AE^{2}+OD^{2}-AD^{2}+2AE\cdot ADcosA$$

Como os triángulos OAE e OAD son rectángulos, as dúas diferenzas do segundo membro pódense substituir por OA². Despois dividimos por 2ME・MD: $$2OD\cdot OEcosa=2OA^{2}+2AE\cdot ADcosA$$ $$cosa=\frac{OA}{OE}\frac{OA}{OD}+\frac{AE}{OE}\frac{AD}{OD}cosA$$

Finalmente substituímos polas razóns trigonométricas correspondentes e obtemos a fórmula coñecida como 

Teorema do coseno do triángulo esférico: $$cosa=cosb\cdot cosc+senb\cdot senc\cdot cosA$$

Se agora despexamos cosA temos unha expresión coa que calcular os ángulos a partir dos lados dun triángulo esférico: $$cosA=\frac{cosa-cosb\cdot cosc}{senb\cdot senc}$$

Teorema do seno para un triángulo esférico

Continuemos. Elevando ao cadrado e restando de 1, obtense o sen² A: $$sen^{2}A=1-cos^{A}=1-\frac{\left ( cosa-cosb\cdot cosc \right )^{2}}{sen^{2}b\cdot cos^{2}c}=\frac{sen^{2}b\cdot sen^{2}c-\left (cosa-cosb\cdot cosc  \right )^{2}}{sen^{2}b\cdot sen^{2}c}$$

Dividindo por sen²a e simplificando chegamos a: $$\frac{sen^{2}A}{sen^{2}a}=\frac{1-cos^{2}a-cos^{2}b-cos^{2}c+2cosa\cdot cosb\cdot cosc}{sen^{2}a\cdot sen^{2}b\cdot sen^{2}c}$$

O segundo membro desta fórmula é moi curioso, se permutamos os valores de a, b e c permanece invariante. De aí que ese valor sexa a constante das seguintes razóns: $$\frac{sen^{2}A}{sen^{2}a}=\frac{sen^{2}B}{sen^{2}b}=\frac{sen^{2}C}{sen^{2}c}=cte$$

Inmediatamente temos as seguintes fórmulas que se coñecen como o 

Teorema do seno para o triángulo esférico: $$\frac{senA}{sena}=\frac{senB}{senb}=\frac{senC}{senc}$$ $$\frac{sena}{senb}=\frac{senA}{senB}\quad\quad \frac{senb}{senc}=\frac{senB}{senC}\quad\quad \frac{senc}{sena}=\frac{senC}{senA}$$