Algúns resultados de trigonometría esférica

Os teoremas planos

O teorema do seno e o do coseno forman parte do temario de Matemáticas I de 1º de bacharelato. Son fórmulas válidas para calquera triángulo plano. 

O teorema do coseno

É unha xeralización do teorema de Pitágoras:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cosA$$ $$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cosB$$ $$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cosC$$ 

O teorema dos senos

Consiste na seguinte igualdade entre proporcións que, por certo, ten como valor o diámetro da circunferencia circunscrita 

$$\frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}$$

Hai unhas fórmulas análogas para triángulos esféricos pero que non teñen cabida no currículo de secundaria. Eu mesmo nunca a estudei, nin tan siquera nos anos de universidade. Claro que isto é debido a non ter escollido a optativa de Astronomía. Estrañamente acabaría impartindo eu esta optativa na ESO durante dous cursos. Non foron máis debido a circunstancias bastante miserables que prefiro non comentar. 

Para poder preparar o temario desta materia entendía que debía coñecer os seus fundamentos cunha profundidade bastante maior que a que se debe abordar despois na aula. Un dos textos que máis me axudou foi o Curso de astronomía general de Bakulin, P. I., Kononovich, E. V. e Moroz, V.I, (Editorial MIR- Ribiños-1860, S.A., 1992). Daquela tomara algúns apuntes que transcribo hoxe aquí. 

Teorema do coseno para un triángulo esférico

Consideremos tres planos que pasen polo centro dunha esfera. Así determinaremos tres circunferencias máximas sobre a esfera e formarase un ángulo triedro con vértice no centro O da esfera. Xa que logo obtemos o triángulo esférico ABC onde OA=OB=OC=r, o raio da esfera. Temos ademais as seguintes igualdades:

O lado a =∠BOC, o lado b=∠AOC e o lado c=∠AOB

As rectas AD e AE, tanxentes á esfera, son perpendiculares a OA. Construímos así o triángulo ADE  que ten en A o mesmo ángulo que o ángulo correspondente do triángulo esférico. 

Aplicando o teorema do coseno aos triángulos ADE e OEM e igualando:

$$D{E}^2=A{E}^2+A{D}^2-2AE\cdot ADcos$$ $$D{E}^2=O{E}^2+O{D}^2-2OE\cdot ODcosa$$ $$A{E}^2+A{D}^2-2AE\cdot ADcosA=O{E}^2+O{D}^2-2OE\cdot ODcosa$$

A última igualdade tamén a podemos escribir así: $$2OD\cdot OEcosa=O{E}^2-A{E}^2+O{D}^2-A{D}^2+2AE\cdot ADcosA$$

Como os triángulos OAE e OAD son rectángulos, as dúas diferenzas do segundo membro pódense substituir por OA². Despois dividimos por 2ME・MD: $$2OD\cdot OEcosa=2O{A}^2+2AE\cdot ADcosA$$ $$cosa=\frac{OA}{OE}\frac{OA}{OD}+\frac{AE}{OE}\frac{AD}{OD}cosA$$

Finalmente substituímos polas razóns trigonométricas correspondentes e obtemos a fórmula coñecida como 

Teorema do coseno do triángulo esférico: $$cosa=cosb\cdot cosc+senb\cdot senc\cdot cosA$$

Se agora despexamos cosA temos unha expresión coa que calcular os ángulos a partir dos lados dun triángulo esférico: $$cosA=\frac{cosa-cosb\cdot cosc}{senb\cdot senc}$$

Teorema do seno para un triángulo esférico

Continuemos. Elevando ao cadrado e restando de 1, obtense o sen² A: $$se{n}^{2}A=1-co{s}^A=1-\frac{{(cosa-cosb\cdot cosc)}^2}{se{n}^{2}b\cdot co{s}^{2}c}=\frac{se{n}^{2}b\cdot se{n}^{2}c-{(cosa-cosb\cdot cosc)}^2}{se{n}^{2}b\cdot se{n}^{2}c}$$

Dividindo por sen²a e simplificando chegamos a: $$\frac{se{n}^{2}A}{se{n}^{2}a}=\frac{1-co{s}^{2}a-co{s}^{2}b-co{s}^{2}c+2cosa\cdot cosb\cdot cosc}{se{n}^{2}a\cdot se{n}^{2}b\cdot se{n}^{2}c}$$

O segundo membro desta fórmula é moi curioso, se permutamos os valores de a, b e c permanece invariante. De aí que ese valor sexa a constante das seguintes razóns: $$\frac{se{n}^{2}A}{se{n}^{2}a}=\frac{se{n}^{2}B}{se{n}^{2}b}=\frac{se{n}^{2}C}{se{n}^{2}c}=cte$$

Inmediatamente temos as seguintes fórmulas que se coñecen como o 

Teorema do seno para o triángulo esférico: $$\frac{senA}{sena}=\frac{senB}{senb}=\frac{senC}{senc}$$ $$\frac{sena}{senb}=\frac{senA}{senB}\frac{senb}{senc}=\frac{senB}{senC}\frac{senc}{sena}=\frac{senC}{senA}$$