O cartel da Olimpíada Matemática Galega 2018 (e 2)

Cartel da Olimpíada Matemática Galega 2018

A anterior entrada, coma esta, estaba inspirada no cartel da Olimpíada Matemática Galega 2018. Alí consideramos a demostración euclidiana do teorema de Pitágoras, tamén fixemos referencia a determinadas xeneralizacións do resultado pitagórico e a outros resultados que gardan algunha relación coa chamada configuración de Vecte tales como o coñecido teorema de Napoleón ou o menos coñecido teorema de Finsler-Hadwiger.

Triángulos coa mesma área

Daquela rematabamos cunha cuestión que paso a repetir aquí. Consideremos unha configuración de Vecten construída a partir dun triángulo calquera. Xa comentaramos a demostración visual de Steven L. Snover sobre a igualdade das áreas dos triángulos que se forman ao unir os vértices dos cadrados levantados sobre o triángulo de partida.
Se continuamos levantando cadrados sobre esta configuración iremos construíndo a figura que ilustra o cartel da Olimpíada Matemática Galega 2018. Resulta que estes cadrados comenzan a delimitar trapecios. Que podemos afirmar sobre eles? Os tres trapecios que se forman  terán tamén a mesma área? No caso de ser a mesma, terá algunha relación coa do triángulo orixinal?

Trapecios na configuración de Vecten

Máis preguntas. Se continuamos levantando cadrados sobre a configuración volverán a aparecernos máis trapecios. Podemos determinar a súa área e relacionala co triángulo de partida? Eses novos tres trapecios terán a mesma área? E os trapecios do seguinte levantamento, terán algunha relación cos do paso anterior. En caso afirmativo, cal será?
Se algunha vez liches algún texto de Adrián Paenza, saberías que neste momento, despois de establecer as cuestións,  recomendaríche que gozases coa abordaxe do problema. Non sigas lendo. Pénsao durante uns momentos. Adícalle o tempo necesario antes de seguir facendo scroll...

Si, alá no fondo está o triángulo, onde comenzou todo

Para ver algunhas respostas ás que cheguei bastará con mirar o seguinte applet de geogebra, aínda que para saber de que vai cómpre seguir algunhas instrucións. Seguramente se podería construír outro mellor elaborado pero para comunicar algunhas ideas poida que serva.
Instrucións para manexar a applet:
Paso 0.Podes modificar o triángulo a partir dos seus vértices. Vai ao paso 1.
Paso 1.Move o esvarador azul e comproba o que pasa
Paso 2.Aparecerá un esvarador laranxa. Móveo e volve a observar.
Paso 3. Fíxate no valor do esvarador laranxa. Aparecerá outro esvarador azul. Conviña que afastaras algo a imaxe co Zoom (última das ferramentas; pódese usar o botón do rato) e quizais que a centraras. Vai ao paso 1.
Mágoa que no applet só aparezan un pequeno número de pasos.
Unha pregunta máis: quen vén sendo ese punto gris no interior do triángulo?




Pon unha homotecia na  túa vida.
Un dos aspectos que nunca tratei en ningunha aula, nin como docente nin como alumno, curiosamente aparecía nun dos temas das oposicións. Estou a falar das homotecias. Quen me ía dicir que me servirían de axuda neste problema!

Baricentro trisecando un triángulo

As tres medianas dividen a un triángulo T₀ calquera en 6 trianguliños coa mesma área (t₀/6). En particular, os segmentos que unen os vértices co baricentro trisecan a área do triángulo noutros 3 triángulos: X₀, Y₀ e Z₀

Por outra banda, se aplicamos sotre o triángulo T₀ unha homotecia desde o seu baricentro obteremos triángulos semellantes a T₀ e co mesmo baricentro.

As áreas dos trapecios son iguais

Na configuración de Vecten denominarei X_n, Y_n e Z_n aos trapecios levantados despois de n pasos. Podemos ver, por exemplo, que X₁, Y₁ e Z₁ completan o triángulo inicial T₀ determinando así un novo triángulo T₁ mediante unha homotecia de razón 4 centrada no baricentro común. X₂, Y₂ e Z₂ volven a facer o mesmo sobre T₁, agora cunha homotecia de razón 19; e así sucesivamente.

Mediante homotecias centradas no baricentro expandimos o triángulo inicial

Usarei o signo "+"co significado de unión disxunta. Como X₀ (respectivamente Y₀ e Z₀) é a terceira parte de T₀, X₀+X₁ tamén é un terzo de T₁. De aí que se verifique a igualdade X₁=Y₁=Z₁ e, en xeral, por indución, X_n=Y_n=Z_n. Ou dito máis literiamente: os 3 trapecios que levantamos en cada paso da configuración de Vecten teñen a mesma área.
As homotecias que nos dan os novos triángulos T₁, T₂, T₃, T₄ son de razóns:

h_o=1           h₁=4            h₂=19           h₃=91               h₄=436

Quizais incluso non cómpre acudir ao portal de referencia das sucesións para ver que ésta é A004253,  isto é,  a que vén dada pola lei:

h_o=1           h₁=4             h_n=5・h_n-1-h_n-2 

Todo o anterior permítenos determinar a área dos trapecios (os corchetes indican a área da figura, así [T₀ ] será a área do triángulo T₀):
$$3{ [X }_{ 1 }]+{ t }_{ 0 }={ h }_{ 1 }^{ 2 }{ [T }_{ 0 }]$$
$${ [X }_{ 1 }]=\frac { \left( { h }_{ 1 }^{ 2 }-1 \right) { [T }_{ 0' }] }{ 3 } =5[{ T }_{ 0 }]$$
E en xeral: $${ [X }_{ n }]=\frac { \left( { h }_{ n }^{ 2 }-{ h }_{ n }^{ 2 } \right) { [T }_{ 0 }] }{ 3 } $$

Máis trapecios, máis preguntas
Acabouse? Afortunadamente as ciencias, en particular as matemáticas, nunca se esgotan. Cada problema resolto é fonte da que beben novas cuestións.
Ao repasarmos o que estiven chamando configuración de Vecten, isto é ao levantamento reiterado de cadrados sobre un triángulo calquera, ademais dos trapecios X_n, Y_n e Z_n , que son os que aparecen marcados en azul na seguinte imaxe, quedan entre medias outros trapecios como os marcados en vermello. Volven a xurdir as mesmas preguntas que se propoñían antes: cada un destes grupos estará formado por tres trapecios coa mesma área? terán algunha relación coa área do triángulo inicial, e coa área dos trapecios azuis? Intrigantes cuestións.

Hai trapecios azuis e trapecios vermellos