A derivada e a inversa. Unha conexión dourada

Entre os meus terrores didácticos está esa famosa táboa de derivadas. Nunca entreguei aos meus alumnos un espanto dese tipo. Seguramente non o fixen porque tiven a sorte de que a min, como alumno, tampouco ma entregaran. Unha das aberracións que son consecuencia desta práctica consiste en expulsar a regra da cadea do ensino. Así convertemos o cálculo de derivadas nun algoritmo sen sentido, cunhas regras tan arbritarias que se pode calcular a derivada dunha composición de funcións sen ter nin a máis mínima idea do que é a composición de funcións. Elimínase así a dedución das propiedades e das fórmulas de derivación. Algúns pensarán que é un alivio pois así non perderemos un tempo que sempre anda escaso pola sobredimensión dos currículos. Daquela, para que estudar os límites? Quizais para outro cálculo absurdo con outras regras absurdas. 

Xa que a mencionamos anteriormente, enunciarémola:

A regra da cadea. Dadas dúas funcións $f$ e $g$ a derivada da composición $g_{\circ }f$ será 

$${\left(g_{\circ }f\right)}^{\prime }(x)=g^{\prime }\left[f\left(x\right)\right]\cdot f^{\prime }(x)$$

Unha consecuencia inmediata deste mesmo resultado é a derivación da inversa dunha función. 

Teorema da derivada da función inversa. $${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }\left[f^{-1}\left(x\right)\right]}$$

Noutra ocasión, abordando o tema dos erros achegáramonos a este teorema pois dá lugar a que a súa compresión sexa dificultosa por usarmos o termo inversa, un termo que pode ter outras acepcións. A isto engádeselle que a notación de derivada dunha función $f^{\prime }$ e o de inversa dunha función $f^{-1}$ son tipograficamente moi semellantes. 

A demostración deste ultimo resultado aséntase, necesariamente, no concepto de función inversa. Lembremos que a inversa dunha función $f$, que denotaremos por $f^{-1}$ é aquela función que composta con $f$ nos dá a función identidade $I(x)=x$. Poderemos escribir, xa que logo, $f_{\circ }^{-1}f=f_{\circ }{f}^{-1}=I$. Non teño claro que procedo ben, pero atendendo ás anteriores consideracións, para demostrar na clase este resultado, renomeo a función inversa coa letra grega $\phi =f^{-1}$. Así a propiedade definitoria da función inversa transcribiriamola agora $\phi \circ f=f_{\circ }\phi =I$. Aplicándolle a regra da cadea á igualdade $({\phi }_{\circ }f)(x)=I(x)$ teremos:

$$({\phi }_{\circ }f{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }\left[\phi \left(x\right)\right]\cdot {\phi }^{\prime }\left(x\right)=1$$

$${\phi }^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{f^{\prime }\left[\phi \left(x\right)\right]}$$

Volvendo á notación orixinal para a inversa temos o resultado buscado:

$${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }\left[f^{-1}\left(x\right)\right]}$$

Quixo a azarosa casualidade da navegación pola arañeira de internet que todas estas consideracións ás que me achegara en moitas ocasións, se conectaran dunha forma realmente brillante mediante a seguinte cuestión:

Problema. Achar a función $f$ tal que $f^{\prime }$=$f^{-1}$

A azarosa casualidade foi este vídeo de Michael Penn que vou seguir de aquí en diante para dar a solución. 

Algo de traballo sumado a un todo e nada de intuición pode levarnos polo bo camiño se conxecturamos que a solución ten a forma $f\left(x\right)=a{x}^n$.

Escribamos a función da forma $y=a{x}^n$ e intercambiemos $x$ con $y$ para calcular a inversa. Obtemos $x=a{y}^n$. Despexando $y$: $f^{-1}(x)=y=\sqrt[n]{\frac{x}{a}}$

Por outra banda, calculemos a derivada: $f^{\prime }\left(x\right)=a\cdot n{x}^{n-1}$

Igualamos $f^{\prime }$ a $f^{-1}$: 

$$a\cdot n{x}^{n-1}=\sqrt[n]{\frac{x}{a}}$$

Elevando a $n$ os dous membros e operando:

$$a^n{n}^n{x}^{n^2-n}=\frac{x}{a}$$

$$a^{n+1}{n}^n{x}^{n^2-n-1}=1[1]$$

$$x^{n^2-n-1}=\frac{1}{n^n{a}^{n+1}}$$

O segundo membro é unha constante, de aí que o expoñente da variable $x$ teña que ser $0$, isto é $n^2-n-1=0$. Pero esta é unha ecuación moi famosa, que ten como solucións o número áureo e o seu inverso cambiado de signo:

$$n_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi n_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1}{\varphi }$$

Quizais, pecando de pesado, vou volver a lembrar algunhas das propiedades básicas do número $\varphi$ e que poderemos usar en calquera momento, sen outro aviso engadido.

$${\varphi }^2=\varphi +1\varphi =1+\frac{1}{\varphi }\varphi -1=\frac{1}{\varphi }$$

Con todo o deducido nas últimas liñas e escollendo a primeira solución $n_1$ podemos volver a reescribir a expresión [1] con esta nova fasquía:

$${\varphi }^{\varphi }{a}^{\varphi +1}\cdot 1=1$$

$${\varphi }^{\varphi }{a}^{{\varphi }^2}=1$$

Tomando a raíz $\varphi$-ésima nos dous membros:

$$\varphi a^{\varphi }=1$$

$$a={\left(\frac{1}{\varphi }\right)}^{\frac{1}{\varphi }}$$

Velaí que a función buscada é $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{\varphi }\right)}^{\frac{1}{\varphi }}{x}^{\varphi }={(\varphi -1)}^{\varphi -1}{x}^{\varphi }$

A expresión da función brilla con luz propia.

Outro método

Sempre resulta agradable resolver un problema seguindo camiños distintos. Xa que tratamos un pouco antes o teorema da función inversa, quizais non sería mala idea empregalo. De facérmolo así, escribindo na fórmula que no dá o teorema da función inversa $f‘$ no canto de $f^{-1}$ teremos:

$${\left(f^{\prime }\right)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }\left[f^{\prime }\left(x\right)\right]}$$

Agora ben, se por unha banda o que nos aparece no primeiro membro é a segunda derivada, ${\left(f^{\prime }\right)}^{\prime }(x)=f^{″}(x)$, a expresión do segundo membro non o é. Aclarámolo todo nas seguintes liñas.

Como no caso anterior, partimos de que $f\left(x\right)=a{x}^n$ polo que $f^{\prime }(x)=na{x}^{n-1}$

$$f^{″}(x)=n(n-1)a{x}^{n-2}$$

$$f^{\prime }[f^{\prime }(x)]=na{(f^{\prime }(x))}^{n-1}=na{\left(na{x}^{n-1}\right)}^{n-1}=n^n{a}^n{x}^{(n-1{)}^2}$$

O produto das anteriores expresións ten que dar $1$

$$n^{n+1}{a}^{n+1}(n-1)x^{n^2-n+1}=1$$

As mesmas consideracións feitas na anterior dedución implican que o expoñente da variable debe ser $0$ e así obtemos a mesma ecuación cuadrática para $n$. Ademais así eliminamos a variabe na anterior expresión e quédannos unicamente as constantes. Tomando $n_1=\varphi$ teremos:

$${\varphi }^{\varphi +1}{a}^{\varphi +1}(\varphi -1)=1$$

$${\varphi }^{\varphi +1}{a}^{\varphi +1}\frac{1}{\varphi }=1$$

$${\varphi }^{\varphi }{a}^{\varphi +1}=1$$

$${\varphi }^{\varphi }{a}^{\varphi }a=1$$

Tomando a raíz $\varphi$-ésima e despexando:

$$\varphi a{a}^{\frac{1}{\varphi }}=1$$

$$\varphi a^{1+\frac{1}{\varphi }}=\varphi a^{\varphi }=1$$

E así, outra vez

$$a={\left(\frac{1}{\varphi }\right)}^{\frac{1}{\varphi }}$$

Un último apuntamento

Nos cálculos anteriores estivemos usando sempre o valor $n_1=\varphi$ pero resulta que a ecuación da que o obtivemos ese valor tiña outra solución: $n_2=-\frac{1}{\varphi }$. Neste caso chegaremos a outra función que tamén é solución do problema, $f\left(x\right)={(1-\varphi )}^{\varphi }{x}^{1-\varphi }$. Reto ao lector, se o houber, a que faga el mesmo a dedución.