Tres cadrados, moitas solucións.2

Na anterior entrada presentaba este problema que aparecía no libro Circo matemático (Alianza Editorial) de Martin Gardner.

Tres cadrados. Demostra que $\alpha$ é a suma dos ángulos $\beta$ e $\gamma$

Alí xa indicaba  que $\alpha =45$, polo que o problema é equivalente a demostrar que $\alpha +\beta +\gamma =90$. Tamén daba cinco solucións ao mesmo. Continuamos (e rematamos) a serie de solucións

6. Sen palabras

Quizais esta sexa a demostración máis simple

7. Números complexos

Despois da demostración máis simple, a máis complexa.

Os ángulos $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ son os argumentos dos números complexos $1+i$, $2+i$ e $3+i$:

$$\begin{gathered} 1+i=r_1{e}^{\alpha } \\ 1+2i=r_2{e}^{\beta } \\ 1+3i=r_3{e}^{\gamma } \end{gathered}$$

$$(1+i)(1+2i)(1+3i)=r_1{r}_2{r}_3{e}^{\alpha +\beta +\gamma }$$

$$\alpha +\beta +\gamma =arg\left[(1+i)(2+i)(3+i)\right]=arg\left(10i\right)=90$$

8. Ángulo inscrito

Tanto este resultado como o seguinte recollinos dese país das marabillas que é Cut the Knot. Como se verá, dúas pedras preciosas.

Por construción o ángulo ∠QTR é igual ao ángulo ∠RPS.

∠RPS é un ángulo inscrito na circunferencia que abrangue o mesmo arco que ∠RQS, polo que son iguais. Xa na solución 5 a este mesmo problema vimos que $\alpha$ é a suma de $\beta$ e $\gamma$ por ser exterior ao triángulo QRS.

9. Circunferencia inscrita nun cadrado

Isto é unha adaptación de Cut of de Knot

Sobre unha circunferencia de raio 5 trazamos todos os segmentos que se poden ver na imaxe. Consideremos o triángulo isóscele de ángulos $2\gamma$, $\theta$ e $\theta$. Como a súa suma é de 180º debe verificarse que $\theta =90-\gamma$. De aí que as denominacións dos ángulos $\gamma$, $2\gamma$, $\beta$ e $2\beta$ sexan coherentes. Nótese que continuamos coa mesma denominación para $\gamma$ e $\beta$ que nos apartados anteriores.

Como $2\gamma +2\beta =90$ tamén se verifica a igualdade que buscamos: $\gamma +2\beta =45$

10. As arcotanxentes

Foi esta solución a que me moveu a escribir estas entradas no blogue. Nalgunha outra ocasión xa presentara esta atractiva fórmula ([1], [2])protagonizada por arcotanxentes, de apariencia completamente inútil. 

$$arctan1+arctan2+arctan3=180$$

Está claro que $arctan1=90-\alpha$, $arctan2=90-\beta$ e que $arctan3=90-\gamma$ de aí que

$$90-\alpha +90-\beta +90.\gamma =180\Rightarrow \alpha =90-\alpha =\beta +\gamma$$

11, As arcocotanxentes

Teño que confesar que esta solución é esencialmente igual á anterior, pero apetecíame introducir un este termo practicamente desaparecido da linguaxe matemática: arcocotanxente. Veremos que non é a derradeira vez que o utilice pois a iso estará adicada a seguinte entrada deste blogue.

$\alpha =arctan\left(a\right)\Rightarrow 90-\alpha =arccot\left(a\right)$ polo tanto $arctan\left(a\right)=90-arccot\left(a\right)$

Recollo outra vez a atractiva fórmula do apartado anterior 

$$arctan1+arctan2+arctan3=180$$

E escríboa en función de arcocotanxentes para obter unha nova e non menos atractiva fórmula:

$$\begin{gathered} (\Rightarrow 90-arccot1)+(\Rightarrow 90-arccot2)+(\Rightarrow 90-arccot3)=180 \\ arccot1+arccot2+arccot3=90 \end{gathered}$$

Pero resulta que $arcotan1=\alpha$, $arcotan2=\beta$ e $arcotan3=\gamma$, o que significa que $\alpha +\beta +\gamma =90$, que era o que queriamos demostrar.