Un novo método para as ecuacións cuadráticas

A finais do 2019 espallábase unha nova bastante peculiar sobre a resolución da ecuación cadrática. Por ter a súa orixe nos EEUU alcanzou unha gran difusión e debeu chegar a todo aquel que tiña que ver coas matemáticas, especialmente co ensino das matemáticas. Anunciábase como "un novo método para abordar a resolución das ecuacións cuadráticas" no que se evita o doloroso esforzo de memorización da fórmula. O máis sorprendente era que ese inédito método, que podía entender calquer escolar, foi ignorado durante 4000 anos. Como se pode ver, a cousa non tiña traza. O peor de todo é que houbo quen lle fixo caso. Con 8000 millóns de persoas paseando polo planeta non é de estrañar que haxa unha boa manchea de crédulos.

Cómpre moita fachenda para realizar esas afirmacións. A miña impresión era que se trataba dun proxecto puramente crematístico. Se hoxe imos á páxina do presunto descubridor poderemos inscribirnos nunha chea de cursos on-line de matemáticas por un prezo duns 399$ cada un. A educación para quen a poida pagar. Unha bonita materialización da competencia emprendedora (da LOMCE ou da LOMLOE, tanto me ten). Tamén é un excelente exemplo de como contribuír a edificar unha educación discriminatoria. 

Sobre o contido da publicación que prometía evitar a fórmula da ecuación cuadrática, pouco se pode dicir. Calquera que teña un mínimo de experiencia docente sabe que o que menos importa é a fórmula. É mentira que esta sexa un impedimento para a aprendizaxe. Incluso aqueles alumnos con máis dificultades acábana aprendendo sen ningún doloroso esforzo de memorización. Basta con facer unha boa colección de exercicios na que a teñan que aplicar. Usar o algoritmo argallado por Po-Shen Loh, que así se chama o autor desta argallada, non melloraría as cousas. O que si é importante é enfrontar ao alumnado a diversos achegamentos a este tópico. Convén que recoñezan como usar as identidades notables para resolver algunhas ecuacións cuadráticas. Tamén é importante que aprendan a estudalas sistemáticamente. Por exemplo deben recoñecer a relación entre o discriminante e o número de solucións reais así como as fórmulas de Viète que relacionan os coeficientes da ecuación coa suma e o produto das solucións. Convén que saiban manipular este tipo de expresións para que o coeficiente de $x^2$ sexa a unidade. Teñen que comprender a relación entre as solucións e os polinomios irreducibles que descompoñen a expresión alxébrica. Cómpre que interioricen a relación entre os coeficientes e a gráfica da parábola asociada e que identifiquen os puntos de corte do eixo de abscisas como as solucións da ecuación. Deberían discernir o eixo de simetría desa parábola, o vértice da mesma e saber a súa relación tanto cos coeficientes como coas solucións da ecuación. É unicamente sobre este aspecto sobre o que se centra o artigo de Po-Shen Loh, claro que el non fai referencia ningunha ás parábolas pois xoga todo no campo alxébrico e só se centra na dedución da maldita fórmula, como se o estudo das ecuacións cuadráticas se limitara a iso. Pola contra, critica o métido de completar o cadrado por ser máis incómodo e menos directo. Resulta que o que se vende como novo tamén ten o defecto de ser máis incómodo e menos directo... que a fórmula.

Vexamos e comparemos ese *novo método co arcaico de completar o cadrado

Un *novo método

Partimos da ecuación xeral de segundo grao:   $a{x}^2+bx+c=0$

Sabemos que se dividimos por $a$ obteremos unha expresión na que o coeficiente de $x^2$ pasará a ser a unidade: $$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

Por outra banda, se $x_1$ e $x_2$ son as solucións, poderemos descompoñer a anterior expresión nun produto:

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+\left(x_1{x}_2\right)=x^2-Sx+P$$

Disto podemos concluir que buscar as solucións é equivalente a pescudar dous números que sumen $S=-\frac{b}{a}$ e que teñan como produto $P=\frac{c}{a}$. Agora ben, dous números que sumen $S$ deben ter media $\frac{S}{2}$, de aí que serán da forma $\frac{S}{2}\pm z$ e o seu produto será:

$$(\frac{S}{2}+z)(\frac{S}{2}-z)={\left(\frac{S}{2}\right)}^2-z^2=P$$

Despexando $z$

$$z=\sqrt{{\left(\frac{S}{2}\right)}^2-P}$$

Unha vez calculado $z$ xa temos as dúas solucións:

$$x=\frac{S}{2}\pm z=\frac{S}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{S}{2}\right)}^2-P}$$

Aínda que noutra orde e con outra presentación todas estas cousas téñoas contado ducias de veces na aula. U-la a novidade?

O método de completar o cadrado

Agora si que vou compartir algo que presento na clase desta maneira, normalmente en 3º da ESO. 

Al-Jwarizmi (IX) foi un matemático que traballou na Casa da Sabiduría, un centro de estudos en Bagdad, único no mundo nesta época. É o autor do libro Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala. Tal é a súa importancia que o vocablo al-jabr é o que lle dá nome a unha enorme rama das matemáticas: a álxebra. 

Vexamos como Al-Jwarizmi nos explica a resolución das ecuacións de segundo grao. Debemos ter en conta que daquela aínda non se desenvolvera a notación que usamos actualmente, polo que tiña  que presentar todas as ecuacións en forma literal. Ademais nunca usaba números negativos; pensemos que ata finais do século XIX non se aceptan plenamente. Por exemplo, cando presenta a ecuación $x^2+10x-39=0$ prefire facelo na forma $x^2+10x=39$, con todos os valores positivos. Claro que Al-Jwarizmi escribe no seu lugar algo así como " un cadrado máis dez raíces é igual a trinta e nove". O orixinal da súa visión é que imaxina esta ecuación en forma xeométrica. Algo semellante a isto:

Agora cortamos o rectángulo pola metade, tal e como está indicado. Pegamos eses dous anacos ao cadrado, obtendo a seguinte figura en forma de L invertido e de área 39.

Finalmente completamos a figura construíndo un cadrado. Para iso temos que engadir un cadrado 5x5, de área 25. De aí que a área do cadrado grande sexa $x^2+10x+25=39+25=64$

Entón o lado do cadrado grande será $8=x+5$. De aí que $x=3$

As vantaxes desta representación son a súa contextualización histórica e a relación que se establece entre a álxebra e a xeometría. A primeira delas amósanos unha ciencia en construción fronte a un resultado aparentemente caído do ceo. Achéganos así un saber máis próximo e humano. Tamén se identifican algunhas debilidades que se irían superando con tempo e esforzo como a inexistencia dunha notación matemática ou a incapacidade para traballar con números negativos. A segunda das vantaxes é unha conexión da que non podemos prescindir nin na práctica das matemáticas nin no seu ensino, a de poder abordar un problema desde mundos aparentemente distintos, neste caso o xeométrico e o alxébrico. 

Un novo método para as ecuacións cuadráticas

Agora si, despois dos parágrafos anteriores que non contiñan ningunha novidade, por fin vou presentar o motivo para elaborar esta entrada. Trátase dun problema tan anódino coma o seguinte:

Problema. Resolve $\sqrt{x+5}=5-x^2$

Non parece nada apaixonante. Un coma tantos deses exercicios que se propoñen para practicar a resolución de ecuacións irracionais. "Nada que me poida chamar a atención", pensei e equivoqueime. 

A resolución que propoñen no libro La matemática elegante (URSS 2007) é encantadora. Comeza, como é de esperar, elevando ambos membros ao cadrado: 

$$x+5=5^2-2\cdot 5x^2+x^4[1]$$

O habitual é que continuemos operando e simplificando a expresión ata obter unha ecuación polinomial de grao 4:

$$x^4-10x^2-x+20=0$$

Pero esta ecuación non ten raíces enteiras, nin tan siquera racionais. De aí que pensemos que debemos intentar botar man dalgún método que nos aproxime algunha delas... ou, e aquí está a novidade, escribir a expresión [1] deste outro xeito:

$$5^2-(2x^2+1)5+(x^4-x)=0$$

Para aplicarlle a maldita fórmula a esta forma cuadrática en función do $5$, no canto de facelo en función de $x$!:

$$5=\frac{2x^2+1\pm \sqrt{{(2x^2+1)}^2-4(x^4-4x)}}{2}=\frac{2x^2+1\pm (2x+1)}{2}$$

Que dá lugar a un par de ecuacións de segundo grao, agora en $x$;

$$10=2x^2+1\pm (2x+1)$$

Se escollemos o signo positivo obtemos a ecuación $$\begin{gathered} 2x^2+2x-8=0 \\ {x}^2+x-4=0 \end{gathered}$$

Que ten como solucións $$x=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}$$

Para o signo negativo obremos a ecuación $$\begin{gathered} 2x^2-2x-10=0 \\ {x}^2-x-5=0 \end{gathered}$$

Que ten como solucións $$x=\frac{1\pm \sqrt{21}}{2}$$