Segundo o principio da selección natural, aqueles organismos mellor adaptados ao medio serán os que sobrevivan fronte a outros que acaban desaparecendo. Do mesmo xeito aqueles exercicios que aparecen nos libros de texto son o que teñen máis posibilidades de reproducirse nas aulas de Matemáticas. En particular, como as aulas de 2º de bacharelato só en parte están orientadas ao ensino, na medida en que funcionan como unha academia para preparar a selectividade, os exercicios destas probas teñen asegurado o seu espazo. Daquela, dependendo da orientación que lle vaian dando os grupos de traballo, veremos tamén como cambian os tipos de exercicios que o profesorado levamos á aula.
PAAU 2020. Convocatoria ordinaria. Exercicio 3. Determine os valores de b e c para que a función $$f(x)= \left\{ \begin{array}{cl} e^{2x} & se \ x \leq 0 \\ x^{2}+bx+c & se \ x > 0 \end{array} \right.$$ sexa primeiro continua e logo derivable, en x=0
Imos dar a solución do exercicio seguindo as indicacións do grupo de traballo das PAU.
Como $\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}e^{2x}=1=e^{0}=1$. para que $f$ sexa continua en $x=0$ o límite pola dereita ten que ser so mesmo: $\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}x^{2}+bx+c=c=1$. Daquela $f$ será continua cando $c=1$ 
Á esquerda da imaxe vemos a gráfica de $f$ limitada polas funcións punteadas $\pm x^2$ e á dereita a gráfica da derivada, $f'$
En canto á derivabilidade, como para que $f$ o sexa en $x=0$, debe ser necesariamente continua, partiremos de que $c=1$: $$f(x)= \left\{ \begin{array}{cl} e^{2x} & se \ x \leq 0 \\ x^{2}+bx+1 & se \ x > 0 \end{array} \right.$$ Derivamos: $$f'(x)= \left\{ \begin{array}{cl}2 e^{2x} & se \ x < 0 \\ 2x+b & se \ x > 0 \end{array} \right.$$ Pasemos a calcular os límites laterais da derivada na orixe:$\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}} f'(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}2e^{2x}=2$. Como o $\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} f'(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}2x+b=b$, para que a función sexa derivable no cero, $b=2$ (e $c=1$).
Unha vez rematado este repaso pode que haxa quen quede satisfeito pero a min quédame unha molestia no corpo, unha intranquilidade que vén do ensino das matemáticas que eu mesmo recibín. Aquí hai algo que proe: dá a impresión que se unha función $f$ é derivable, parece que esta derivada, $f'$, ten que ser necesariamente continua e resulta que isto non é certo. A mellor forma de certificalo é dando un deses marabillosos contraexemplos dos que está inzado o cálculo diferencial.
As inconsistencias e os exemplos mostruosos que comezaron a abrollar no cálculo no transcurso do XIX acabaron derivando nunha análise moito máis profunda e demorada desta rama das matemáticas. É o cocñecido proceso histórico da aritmetización do cálculo da que Karl Weierstrass foi figura destacada. Agora aquí toca traer un deses exemplos cos que no primeiro ano da carreira se comeza a enxergar a profunza fermosura das matemáticas.$$ f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2sen(\frac{1}{x}) \ se\quad x\neq 0 \\0 \quad \quad se \ x=0
\end{matrix}\right.$$
Podemos comprobar que a seguinte expresión é a súa derivada:$$ f'(x)=\left\{\begin{matrix}
2xsen(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x}) \ se\ x\neq 0 \\0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad se \ x=0
\end{matrix}\right.$$
En efecto, $f$ é derivable en $x=0$:
$$f'(0)=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x^{2}sen\left ( \frac{1}{x} \right )}{x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}xsen(\frac{1}{x})=0$$
Porén $f'$ non pode ser continua na orixe porque $cos(\frac{1}{x}) $ oscila brutalmente no entorno do $0$.
En conclusión, o profesorado de matemáticas de 2º de bacharelato estamos contribuíndo a espallar unha idea falsa entre o alumnado por traballar un tipo de exercicios que se desde a CIUG puxeron de moda desde hai uns poucos anos.
Fronte a isto vou contrapoñer outro modelo de exercicios que nunca vin nin na selectividade, nin tan sequera nos libros de texto. Non vou ser orixinal, porque recollo o exercicio de entre os que me propuxeran a min cando era estudante de 3º de BUP. Lembro perfectamente que me impresionara moi positivamente, en primeiro lugar pola súa dificultade. Non fóra quen de abordalo. Con todo, quedara encantado con el porque me decatara inmediatamente de que usando a mesma técnica podía calcular o ángulo que forman dúas curvas que se cortan nun punto.
Exercicio de 3º de BUP. Determina o ángulo que forman as funcións $f(x)=x^2$ e $g(x)=\sqrt{x}$ no punto $(1,1)$
Un debuxo axuda a explicar o método de resolución.
Está claro que o ángulo buscado vén dado pola seguinte diferenza: $ \gamma =\beta -\alpha $. O que nos convén é usar unha fórmula trigonométrica, a da tanxente dunha diferenza de ángulos, que forma parte do currículo de 1º de bacharelato e que daquela, cando se introduce na aula, parece deses típicos ítems dos que nunca se vai botar man, unha desas cousas inútiles que fai máis difícil a existencia cando non forman parte do noso coñecemento e que nos levan a afirmar: que triste é a vida do que non sabe matemáticas!
$f'(x)=2x; \quad f'(1)=2=tan \alpha$
$g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}; \quad g'(1)=\frac{1}{2}=tan\beta$ É o momento de usar a citada fórmula:
$$tan\gamma=tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha \cdot tan\beta}=\frac{2-\frac{1}{2}}{1+2\frac{1}{2}}=\frac{3}{4}$$
Curiosamente o ángulo buscado é un ángulo agudo do triángulo pitagórico máis sinxelo, o de lados 3, 4 e 5, e que coñece todo albanel.
Para rematar deixo como regalo outro exercicio deste mesmo estilo que foi o que me moveu a escribir esta entrada pois ten unha pequena alfaia gardada.
Se teño folgos, na seguinte entrada paso o traballo de escribir o $\LaTeX{}$ da solución; claro que, a quen chege ata aquí non lle paga a pena agardar pois calquera que entenda as anteriores liñas ben pode facelo por si mesmo.
Exercicio 1. Determina o ángulo que forman as funcións $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ e $f'(x)$ no seu punto de corte.