Paga a pena ler as anotacións da biografía de Jakob Steiner (1796-1863) do portal MacTutor da Universidade de St. Andrews (Escocia) para enterármonos dos avatares da súa vida. Alí cóntase que non aprendeu a ler nin a escribir ata os 14 anos e que os seus pais non querían que estudase. Foi pola súa propia iniciativa que ingresou na escola de Pestalozzi e só despois de estar varios anos gañándose a vida como profesor particular de matemáticas, chegou a ter a atención doutros matemáticos do seu tempo como Jacobi, Abel ou Crelle. De feito xa no primeiro número do famoso Xornal de Crelle aparece un artigo de Steiner no que desenvolve a súa teoría da potencia dun punto respecto dunha circunferencia. En relación con estas ideas o matemático suízo inventa no ano 1830 unha cuasi-transformación do plano (afecta a todo o plano agás a un punto). Estamos a falar da inversión. Presentaremos dous métodos equivalentes de construír unha inversión.
Metodo 1. Dado un punto no círculo de centro e raio trazamos a semirecta e a súa perpendicular polo punto . Esta perpendicular cortará en dous puntos á circunfenrencia. A tanxente nun destes puntos cortará a semirecta nun punto que será a inversión de
No caso de que fique fóra do círculo a obtención de sería semellante. Desde trazamos unha das tanxentes á circunferencia . Despois trázase a perpendicular a por e obtemos
Nesta applet pódese comprobar que o segundo método é equivalente ao primeiro.
Método 2. Se está dentro do círculo de centro e raio trazamos a semirecta e o diámetro ortogonal a . Desde un destes extremos do diámetro, diagamos , trazamos a semirecta que cortará á circunferencia en . Trazamos entón a semirecta que cortará a no punto buscado .
Se está fóra do devandito círculo bastará con trazar que corta á circunferencia en . Entón cortará a en .
En ambos casos a inversión dun punto da circunferencia é o propio punto
Formulación alxébrica da inversión
Coa finalidade de obter unha caracterización máis alxébrica, repasemos cada un destes métodos.
Os triángulos e son semellantes, de aí que
Vexamos como aplicando o outro método obtemos o mesmo resultado
Os triángulos e son semellantes, de aí que
Así podemos definir o inverso dun punto respecto dunha circunferencia de centro e raio como outro punto na semirecta tal que
Con esta observación fica claro que o inverso do inverso é o propio punto.
Consideremos o plano e nel unha circunferencia de centro e raio , con o raio da esfera tanxente a en
Dado un punto de , mediante a inversa da proxección esteriográfica obtemos na esfera o punto . Sexa entón o punto diametralmente oposto a nesa esfera. A proxección estereográfica deste punto será .
Como é un diámetro o ángulo en é recto. Velaí que o triángulo é rectángulo. Polo teorema da altura
Como se verifica a condición [1] (equivalentemente [1']) dada anteriormente, o punto sería o inverso de P respecto da circunferencia de centro e raio se non fose por un pequeno detalle: que non está na semirecta . Por esta razón aínda teremos que aplicarlle unha simetría respecto de a ese punto para obter, por fin, o inverso .
En resumo, a inversión dun punto nun plano respecto dunha circunferencia de centro e raio pode obterse mediante a seguinte serie de transformacións:
A inversa da proxección estereográfica
O punto diametralmente oposto respecto do centro da esfera
A proxección estereográfica
A simetría respecto do centro na circunferencia
De todo isto conclúese que as propiedades que viramos na anterior entrada sobre a proxección estereográfica esténdense á inversión pois son propiedades que tamén se conservan polas simetrías aplicadas. Isto é:
Como a proxección estreográfica leva circunferencias que pasan polo Polo Norte en rectas, a inversión transformará circunferencias que pasan polo centro da circunferencia de inversión en rectas.
Como a proxección esterográfica leva circunferencias que non pasan polo Polo Norte en circunferencias, a inversión transformará circunferencias que non pasan polo centro da circunferencia de inversión en circunferencias.
Como a proxección estereográfica conserva os ángulos, a inversión conservará os ángulos.
Con toda esta bagaxe de certo que a nosa visión do seguinte vídeo será máis profunda, e gozaremos máis del. Que vídeo? Pois un, en concreto o primeiro, dos do marabilloso proxecto Dimensions, no que as imaxes xogan coa proxección estereográfica e a inversión no plano proxectado. Sóavos de algo?
Ningún comentario:
Publicar un comentario