luns, 12 de febreiro de 2024

A inversión proxectada

Paga a pena ler as anotacións da biografía de Jakob Steiner (1796-1863) do portal MacTutor da Universidade de St. Andrews (Escocia) para enterármonos dos avatares da súa vida. Alí cóntase que non aprendeu a ler nin a escribir ata os 14 anos e que os seus pais non querían que estudase. Foi pola súa propia iniciativa que ingresou na escola de Pestalozzi e só despois de estar varios anos gañándose a vida como profesor particular de matemáticas, chegou a ter a atención doutros matemáticos do seu tempo como Jacobi, Abel ou Crelle. De feito xa no primeiro número do famoso Xornal de Crelle aparece un artigo de Steiner no que desenvolve a súa teoría da potencia dun punto respecto dunha circunferencia. En relación con estas ideas o matemático suízo inventa no ano 1830 unha cuasi-transformación do plano (afecta a todo o plano agás a un punto). Estamos a falar da inversión. Presentaremos dous métodos equivalentes de construír unha inversión.

Metodo 1. Dado un punto P no círculo de centro O e raio R=OT trazamos a semirecta OP e a súa perpendicular polo punto P. Esta perpendicular cortará en dous puntos á circunfenrencia. A tanxente nun destes puntos cortará a semirecta OP nun punto P que será a inversión de P

No caso de que P fique fóra do círculo a obtención de P sería semellante. Desde P trazamos unha das tanxentes á circunferencia PT. Despois trázase a perpendicular a OP por T e obtemos P

 
Nesta applet pódese comprobar que o segundo método é equivalente ao primeiro.
Método 2. Se P está dentro do círculo de centro O e raio R=OU trazamos a semirecta OP e o diámetro RS ortogonal a OP. Desde un destes extremos do diámetro, diagamos R, trazamos a semirecta RP que cortará á circunferencia en V. Trazamos entón a semirecta SV que cortará a OP no punto buscado P.
Se P está fóra do devandito círculo bastará con trazar RP que corta á circunferencia en V. Entón SV cortará a OP en P.
En ambos casos a inversión dun punto da circunferencia é o propio punto P=P

Formulación alxébrica da inversión
Coa finalidade de obter unha caracterización máis alxébrica, repasemos cada un destes métodos.
Os triángulos OTP e OTP son semellantes, de aí que OPOT=OTOP OPOP=OT2=R2[1]

Vexamos como aplicando o outro método obtemos o mesmo resultado






 Os triángulos UOP e VOP son semellantes, de aí que OPOU=OVOP OPOP=OUOV=R2[1]
Así podemos definir o inverso dun punto P respecto dunha circunferencia de centro O e raio R como outro punto P na semirecta OP tal que OPOP=R2
Con esta observación fica claro que o inverso do inverso é o propio punto.

A inversión proxectada
Curiosamente a proxección estereográfica, da que falamos na anterior entrada,  está conectada coa inversión. En concreto, podemos definir a inversión mediante a proxección estereográfica. 
Consideremos o plano σ e nel unha circunferencia de centro S e raio R=2r, con r o raio da esfera NPπS tanxente a σ en S


Dado un punto P de σ, mediante a inversa da proxección esteriográfica obtemos na esfera o punto Pπ. Sexa entón Pπ o punto diametralmente oposto a Pπ nesa esfera. A proxección estereográfica deste punto será Pπ.
Como PπPπ é un diámetro o ángulo en N é recto. Velaí que o triángulo PNPπ é rectángulo. Polo teorema da altura
PSPπS=NS2=(2r)2=R2
Como se verifica a condición [1] (equivalentemente [1']) dada anteriormente, o punto Pπ sería o inverso de P respecto da circunferencia de centro S e raio R se non fose por un pequeno detalle: que non está na semirecta SP. Por esta razón aínda teremos que aplicarlle unha simetría respecto de S a ese punto para obter, por fin, o inverso P.
En resumo, a inversión dun punto P nun plano σ respecto dunha circunferencia de centro S e raio R pode obterse mediante a seguinte serie de transformacións:
  • A inversa da proxección estereográfica
  • O punto diametralmente oposto respecto do centro da esfera
  • A proxección estereográfica
  • A simetría respecto do centro na circunferencia
De todo isto conclúese que as propiedades que viramos na anterior entrada sobre a proxección estereográfica esténdense á inversión pois son propiedades que tamén se conservan polas simetrías aplicadas. Isto é:
  • Como a proxección estreográfica leva circunferencias que pasan polo Polo Norte en rectas, a inversión transformará circunferencias que pasan polo centro S da circunferencia de inversión en rectas.
  • Como a proxección esterográfica leva circunferencias que non pasan polo Polo Norte en circunferencias, a inversión transformará circunferencias que non pasan polo centro S da circunferencia de inversión en circunferencias.
  • Como a proxección estereográfica conserva os ángulos, a inversión conservará os ángulos.
Con toda esta bagaxe de certo que a nosa visión do seguinte vídeo será máis profunda, e gozaremos máis del. Que vídeo? Pois un, en concreto o primeiro, dos do marabilloso proxecto Dimensions, no que as imaxes xogan coa proxección estereográfica e a inversión no plano proxectado. Sóavos de algo?

Ningún comentario:

Publicar un comentario