1, 2, 3, 4, 5, parábola! (primeira parte)

Un

Imaxe roubada de aquí

As orixes desta entrada están nunha imaxe da anotación "Outro problema de grellas" de J.J. na que se pedía o reconto do número de cadrados polos que pasa ben a función cadrática, ben a función radical, unindo os vértices dun rectángulo de dimensións enteiras.
A min chamoume a atención outra cuestión bastante máis fundamental. Do enunciado despréndese que só hai unha cuadrática pasando por cada punto do plano. Concretamente, dado (x₁, y₁) calquera só hai unha función da forma y=ax² pasando por el. Será aquela para a que
$$a=\frac{y_1}{x_1^2}$$
Isto é, cada punto do plano determinará unha parábola, ou non?

Dous
A resposta sería afirmativa, dentro do contexto proposto, no que o extremo inferior do rectángulo coincida co vértice da parábola. Mutatis mutandis, dados dous puntos (x₀, y₀) e (x₁, y₁), sendo o primeiro o vértice, tamén queda determinada unívocamente unha parábola. Na seguinte expresión trasladamos a parábola y=ax² ao vértice (x₀, y₀)
$$y=a{(x-x_0)}^2+y_0$$
Polo que para determinar a parábola bastaría tomar $$a=\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2}$$

Tres
Isto tróuxome á memoria algo que lera hai tempo nos boletíns de ENCIGA. Así que fun ao faiado na procura daquel recordo. O que achei alí é, ao meu ver,  un dos capítulos máis interesantes na longa historia desta publicación. Trátase dun diálogo público ente dous autores arredor da seguinte cuestión de xeometría plana: 

Por tres puntos (non aliñados) pasa sempre unha parábola? En caso afirmativo, é única?

O tratamento desta cuestión desenvolveuse nos seguintes artigos:

• Unha aplicación das matrices ó estudio da parábola, por Antón Labraña, Boletín das Ciencias Nº 21 Xaneiro 1995.
• Unha aplicación da simetría ó estudio da parábola, por Antonio Gregorio  Montes, Boletín das Ciencias Nº 42, Febreiro 2000.
• Unha aplicación da escala ó estudio da parábola, por Antón Labraña, Boletín das Ciencias Nº 43, Outubro 2000

O primeiro atranco co que fun bater é que non tiña o artigo do nº 21. Con todo vou aventurar, a partir da información contida nos outros dous, algunhas ideas que se podían tratar nel.
Partamos da función parabólica $$y=a{x}^2+bx+c[1]$$
Parece ser que daquela estaban de moda problemas do tipo:

Determina a parábola que pasa polos puntos P₁(-1,6), P₂(2,3) e P₃(3,10)

No canto de resolver este problema, vou tratar o problema xeral para tres puntos  P₁(x₁, y₁),
P₂(x₂, y₂), P₃(x₃, y₃). Substituíndo estes tres puntos en [1] obteriamos un sistema de tres ecuacións lineares con tres incógnitas, un dos tópicos a tratar en 2º de bacharelato.
$$\begin{array}{c}a{x}_1^2+b{x}_1+c=y_1\\ a{x}_2^2+b{x}_2+c=y_2\\ a{x}_3^2+b{x}_3+c=y_3\end{array}$$
Sexa A a matriz de coeficientes do sistema e A* a matriz ampliada cos termos independentes. A discusión do sistema parte de establecer se o determinante de A é nulo o non.
$$detA=\left|\begin{array}{ccc}{x}_1^2& x_1& 1\\ x_2^2& x_2& 1\\ x_3^2& x_3& 1\end{array}\right|$$Estamos fronte ao famoso determinante de Vandermonde, que era moi habitual atopar descontextualizado nas páxinas dos libros de texto do último curso da secundaria. Porén esta forma de presentalo é completamente natural.

$$\begin{gathered} detA=\left|\begin{array}{ccc}{x}_1^2& x_1& 1\\ x_2^2& x_2& 1\\ x_3^2& x_3& 1\end{array}\right|\begin{array}{c}=\\ \begin{array}{c}{C}_1-x_1{C}_2\\ C_2-x_1{C}_3\end{array}\end{array}\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ x_2^2-x_1{x}_2& x_2-x_1& 1\\ x_3^2-x_3{x}_2& x_3-x_1& 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}{x}_2(x_2-x_1)& x_2-x_1\\ x_3(x_3-x_1)& x_3-x_1\end{array}\right|= \\ =-(x_2-x_1)(x_3-x_1)\left|\begin{array}{cc}{x}_2& 1\\ x_3& 1\end{array}\right|=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2) \end{gathered}$$Cando este determinante non se anule, polo teorema de Rouché-Fröbenius, existirá unha única solución, isto é, teremos unha única parábola pasando por P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) e P₃(x₃, y₃)
Se o detA=0, polo menos un par deses puntos estarán na mesma vertical. Neste caso o sistema será incompatible, pois presupoñemos que os tres puntos dados son distintos,  o cal significa que non existe ningunha parábola pasando por eses tres puntos.
E ata aquí a miña  aventurada reconstrución do artigo de Labraña do Boletín das Ciencias nº 21

Tres?
Claro que isto non significa que tres puntos determinen unha única parábola. Isto era certo únicamente no contexto anterior, no que restrinximos o concepto de "parábola" ao de funcións da forma [1], isto é, parábolas de eixo vertical. Pero que pasaría se traballásemos cunha idea máis xeral de "parábola", admitindo calquera parábola no plano, con calqueira eixo posible? Este é o problema que aborda Antonio Gregorio no seu artigo do nº 42 do Boletín das Ciencias. Faino ofrecendo un contraexemplo. Consideremos os vértices do triángulo equilátero sobre a circunferencia unidade$$P_1(0,-1)P_2(\frac{-\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})P_3(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$$As seguintes tres parábolas pasan por eses tres puntos:$$\begin{gathered} y-2x^2+1=0 \\ \frac{-y}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}x-2{(\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y)}^2+1=0 \\ \frac{-y}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}x-2{(\frac{-1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y)}^2+1=0 \end{gathered}$$
E velaquí a fermosa representación gráfica das mesmas:

Entendendo que para cada dirección que escollamos para o eixo teriamos unha parábola pasando por eses tres mesmos puntos, acabariamos cunha familia infinita de parábolas para eses mesmos tres puntos. Nese caso, supuxen eu,  deberiamos ser capaces de obter a colección completa de parábolas a partir dun parámetro.
A ecuación xeral dunha cónica ven dada pola forma cuadrática xeral:$$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0[2]$$
Consideremos o discriminante B²-4AB. Se é negativo a cónica será unha elipse, se é positivo será unha hipérbole e cando o seu valor é cero teremos a ecuación dunha parábola. Mediante o cambio $$\begin{array}{c}{a}^2=A\\ c^2=C\end{array}entón{B}^2=4AC={\left(2ac\right)}^2$$Teremos a seguinte forma para as parábolas coa que poderiamos obter ecuacións practicamente calcadas ás que presentou Antonio Gregorio no Boletín nº 21.
$${(ax+cy)}^2+Dx+Ey+F=0[3]$$
Pasemos a substituir nesta expresión as coordenadas dos puntos  P₁, P₂ e P₃ .
$$\begin{gathered} c^2-E+F=0 \\ \frac{3}{4}{a}^2-\frac{\sqrt{3}}{2}ac+\frac{1}{4}{c}^2-\frac{\sqrt{3}}{2}D+\frac{1}{2}E+F=0[4] \\ \frac{3}{4}{a}^2+\frac{\sqrt{3}}{2}ac+\frac{1}{4}{c}^2+\frac{\sqrt{3}}{2}D+\frac{1}{2}E+F=0 \end{gathered}$$Sumando as dúas últimas:$$\frac{3}{2}{a}^2+\frac{1}{2}{c}^2+E+2F=0$$
Restando a metade desta última expresión da primeira liña de [4] : $$\begin{gathered} \frac{-3}{4}{a}^2+\frac{3}{4}{c}^2+\frac{3}{2}E=0 \\ E=\frac{1}{2}(a^2+c^2) \end{gathered}$$
Substituíndo outra vez na primeria liña de [4]: $$F=E-c^2=\frac{1}{2}(a^2+c^2)-c^2=\frac{1}{2}(a^2-c^2)=0$$
Finalmente, restando as dúas últimas expresións de [4]: $$D=-ac$$Así [3] pasaría a escribirse: $${(ax+cy)}^2-acx+\frac{1}{2}(a^2+b^2)+\frac{1}{2}(a^2-b^2)$$Se agora dividimos esta expresión por a² e substituímos t=c/a, quédanos$${(x+ty)}^2-tx+\frac{1}{2}(1+t^2)+\frac{1}{2}(1-t^2)=0$$Que é, tal e como queriamos, a familia de parábolas pasasndo por P₁, P₂ e P₃ en función dun único parámetro t. Toda esta farramalla alxébrica terá un aspecto visual máis agradable.





Ben, ata o momento só obtivemos as infinitas parábolas que pasan por eses tres puntos concretos. Poderemos estudar o problema de obter todas as parábolas que pasan por tres puntos dados calquera (non aliñados)? Aí é onde nos esperan as sorpresas máis agradables. Xa adianto que na cerna da solución desta cuestión está a deltoide de Steiner! (da que temos falado aquí). Pero isto xa o trataremos noutra entrada.