A recta de Simson: a película.1

Trevor Fletcher foi un profesor de matemáticas londinense que se atreveu a realizar varias películas matemáticas na década dos 50 e 60 do pasado século. Fletcher foi un defensor deste tipo de materiais, chegando a afirmar que se estas películas eran da calidade suficiente, cambiarían os temarios de matemáticas que se ensinarían no futuro. Aquí presento unha desas obras de Fletcher,  "A recta de Simson", un filme subxugante. A miña intención nesta entrada é intentar explicalo. Comencemos cun resultado que xustifica a definición do que será o noso obxecto de estudo:

Teorema de Wallace-Simson. Dado un triángulo ABC, se desde un punto P trazamos perpendiculares aos lados, obteremos o triángulo pedal formado polos tres puntos de corte desas perpendiculares cos lados. Estes tres puntos serán colineares se e só se P está na circunferencia circunscrita ao triángulo ABC.

Na aplicación visulizamos o teorema. Pódense mover os vértices do triángulo. [minuto 0:00]


Na honra do matemático escocés Robert Simson (1687-1768), á recta que contén eses tres pés das perpendiculares chámaselle recta de Simson. A pesar da denominación parece ser que Simson non ten nada que ver coa recta que leva o seu nome e quen realmente publicou (no ano 1799) o primeiro artigo sobre este tópico foi William Wallace (1768-1843), tamén escocés e tamén matemático. Por esta razón, no canto de aludir á devandita recta como atribuída únicamente a Simson, faise referencia a ela normalmente como a recta de Wallace-Simson. Velaquí un primeiro teorema:

As rectas de Wallace-Simson de dous puntos P e P' sobre a circunferencia circunscrita a un triángulo ABC forman un ángulo igual á metade do arco determnado por P e P'

[min 0:40]
A circunferencia dos 9 puntos

Imaxe do libro de Feuerbach
que ilustra o teorema  máis
fermoso da xeometría elemental

Á vista do anterior resultado temos o seguinte corolario:

Se P e P' son dous puntos diametralmente opostos sobre a circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, as súas rectas de Wallace-Simson serán perpendiculares. 

Pero o máis curiososo de todo é que o punto de corte destas rectas, M, estará nunha circunferencia moi particular: a circunferencia dos 9 puntos. Esta circunferencia tamén recibe o nome de circunferencia de Feuerbach, en referencia a Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834), irmán do filósofo Ludwing Feuerbach. Aínda que o historiador Morris Kline se refire a el como un mestre, Karl Feuerbach, despois de obter o doctorado exerce como profesor nos Gymnasium alemáns. Foi detido na campaña represiva dos Demagogenverfolgung. Durante a súa estadía na prisión intentou suicidarse dúas veces con graves consecuencias, pois quedou eivado de por vida. Unha vida corta, pero tamén desgraciada, pois padeceu serios transtornos mentais que o incapacitaron para a impartición de clases. Un día acudiu ao Gymnasium coa espada en alto ameazando con cortarlle a cabeza a todos aqueles que non fosen quen de resolver as ecuacións que escribira no encerado. Este terrorífico episodio determinaría a súa retirada definitiva do ensino e a reclusión nos últimos seis anos da súa vida completamente asolado pola enfermidade mental.
Se a crcunferencia dos 9 puntos se identifica con Feuerbach é debido (en palabras de J. Cooldige (1873-1954)) ao "teorema máis fermoso da xeometría elemental que se descubriu desde a época de Euclides". Feuerbach no ano 1822 publicou un traballo que contiña o ese fermoso resultado:

A circunferencia que pasa polos tres pés das alturas dun triángulo tamén é tanxente ás  tres circunferencias exinscritas e á circunferencia inscrita.

Este mesmo resultado foi publicado no 1820 nun traballo de Brianchon (1783-1864) e Poncelet (1788-1867), aínda que parece demostrada a prioridade de Feuerbach no descubrimento do resultado. En todo caso, teñamos en conta que no relativo á denominación de teoremas e obxetos matemáticas, cada caso ten a súa historia particular. En Francia a circunferencia dos 9 puntos coñécese como circunferencia de Euler. Neste caso seguramente a desculpa é que o centro desa circunferencia é o punto medio do ortocentro e o circuncentro e polo tanto está na recta de Euler. Outra propiedade máis que se pode ver na película de Fletcher é que o raio da circunferencia de Feuerbach é a metade do da circunferencia circunscrita.