Relación entre series infinitas, fraccións continuas teito e constantes. Aplicacións (Parte I)

por Andrés Ventas

$$

As fraccións continuas teito (que podemos abreviar como fct) son fraccións continuas que se obteñen aplicando o algoritmo de Euclides usando a función teito en vez da función chan, que é o habitual. Isto produce unha fracción continua onde cada nova fracción da fracción continua resta da anterior.

A propiedade útil é que dela pódese obter sinxeliñamente para un número irracional unha suma de infinitos recíprocos e viceversa, dada unha suma de infinitos recíprocos obtemos unha fracción continua e o seu valor ou os seus converxentes.

Deste modo temos unha terna que se transforma de xeito doado entre si: fraccións continuas, series e constantes irracionais.

A parte onde comento que "dada unha serie de recíprocos obtemos o seu valor pasando pola fracción continua" non é tan feituco como parece porque o cálculo do valor, salvo que a fracción continua sexa periódica dalgún xeito, é un cálculo tan longo como o propio de ir sumando as fraccións unitarias da serie. Non se dá conseguido unha forma pechada salvo de raro en raro.

Entre as aplicacións veremos:

1. Un uso en modo finito para a conxectura de Erdős-Straus como un novo algoritmo para obter fraccións exipcias (Vaia por diante que aplicación non quere dicir solución, e só outro xeito de afrontar o problema)
2. Fraccións continuas de series de potencias
3. Un método directo de obtención de fraccións continuas para as series hiperxeométricas
4. Obtención de novas series e fraccións continuas de constantes irracionais
5. Expansión de Engel (ver Advanced problems H-936 Fibonacci Quarterly. 62-2 (2024) p-181 )

Base teórica do algoritmo

Definición $$ Unha fracción continua teito, $\lceil c_0,c_1,c_2,c_3,\cdots \rceil =c_0-\frac{1}{c_1-\frac{1}{c_2-\frac{1}{c_3-\ddots }}}$, é unha fracción continua obtida co algoritmo de Euclides usando a función teito, e ten converxentes con fraccións ${\displaystyle \frac{p_i}{q_i}}$ cuxos numeradores $p_i$ e denominadores $q_i$ satisfán unha recorrencia de resta,

$p_i=c_i{p}_{i-1}-p_{i-2};p_0=c_0;p_{-1}=1$.

$q_i=c_i{q}_{i-1}-q_{i-2};q_0=1;q_{-1}=0$.

Escribiremos unha $fct$ como unha enumeración dos seus coeficientes entre os símbolos da función teito, $\lceil c_0,c_1,c_2,c_3,\cdots \rceil$.

Pode ser tentador escribir unha $fct$ do mesmo xeito que unha fracción continua regular con coeficientes negativos, mais é fácil comprobar que non representan o mesmo valor.

Nota: ás veces escribiremos a fracción continua mediante unha forma de tamaño intermedio $x=c_0-\frac{1}{c_1}\genfrac{}{}{0ex}{}{}{-}\frac{1}{c_2}\genfrac{}{}{0ex}{}{}{-}\frac{1}{c_3}\genfrac{}{}{0ex}{}{}{-\cdots }$

Teorema: Suma por pares $$ Sexa ${\displaystyle \frac{1}{x}}\in \mathbb{R}$ un número con unha fracción continua teito ${\displaystyle \frac{1}{x}}=\lceil c_0,c_1,c_2,\dots \rceil$, entón o seu recíproco $x$ é a suma dos recíprocos da multiplicación de pares sucesivos de numeraderes $p_i$ dos seus converxentes, $\begin{array}{r}x=\frac{1}{p_0}+\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{p_i\cdot p_{i+1}}}.\end{array}$
Proba:

Dada a suma de Euler $x=a_0+a_0{a}_1+a_0{a}_1{a}_2+\dots$ e a súa fracción continua [p.159, Khrushchev] $x=a_0-\frac{a_1}{1+a_1}\genfrac{}{}{0ex}{}{}{-}\frac{a_2}{1+a_2}\genfrac{}{}{0ex}{}{}{-}\frac{a_3}{a+a_3}\genfrac{}{}{0ex}{}{}{-\cdots }$

transformámola para que os numeradores sexan $1$,

$\begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{a_0}}}\genfrac{}{}{0ex}{}{}{-}\frac{1}{\frac{(1+a_1)a_0}{a_1}}\genfrac{}{}{0ex}{}{}{-}\frac{1}{\frac{(1+a_2)a_1}{a_2{a}_0}}\genfrac{}{}{0ex}{}{}{-}\frac{1}{\frac{(1+a_3)a_2{a}_0}{a_3{a}_1}}\genfrac{}{}{0ex}{}{}{-\cdots }\\ & \text{e por definición de }fct\\ {\displaystyle \frac{1}{x}}& =\lceil {\displaystyle \frac{1}{a_0}},{\displaystyle \frac{(1+a_1)a_0}{a_1}},\cdots ,{\displaystyle \frac{(1+a_i)a_{i-1}{a}_{i-3}\cdots }{a_i{a}_{i-2}{a}_{i-4}\cdots }},\cdots \rceil .\end{array}$

Denotamos esta fracción continua como ${\displaystyle \frac{1}{x}}=\lceil c_0,c_1,\cdots ,c_i,\cdots \rceil$, igualamos os coeficientes e resolvemos para os $a_i$,
$\begin{array}{rl}& a_0=\frac{1}{c_0},a_1=\frac{a_0}{c_1-a_0},a_2=\frac{a_1}{c_2{a}_0-a_1},a_3=\frac{a_2{a}_0}{c_3{a}_1-a_2{a}_0},\cdots \\ & a_i=\frac{a_{i-1}{a}_{i-3}\cdots }{c_i{a}_{i-2}{a}_{i-4}...-a_{i-1}{a}_{i-3}\cdots }.\end{array}$

Usando a identidade dos numeradores dos converxentes $p_i=c_i{p}_{i-1}-p_{i-2}$, temos $\begin{array}{rl}{a}_0& ={\displaystyle \frac{1}{c_0}}={\displaystyle \frac{1}{p_0}}.\\ p_1& =c_1{p}_0-1,a_1=\frac{a_0}{c_1-a_0}={\displaystyle \frac{1/c_0}{c_1-(1/c_0)}}={\displaystyle \frac{1}{c_1{c}_0-1}}=\frac{1}{c_1{p}_0-1}={\displaystyle \frac{p_{-1}}{p_1}}.\\ a_i& =\frac{a_{i-1}{a}_{i-3}...}{c_i{a}_{i-2}{a}_{i-4}...-a_{i-1}{a}_{i-3}...}=\frac{p_{i-2}}{p_i}.\end{array}$

Agora substituimos en $x$ e usamos suma telescópica

$\begin{array}{rl}x& =a_0+a_0{a}_1+a_0{a}_1{a}_2+a_0{a}_1{a}_2{a}_3+\cdots \\ & ={\displaystyle \frac{1}{p_0}}+{\displaystyle \frac{1}{p_0}}{\displaystyle \frac{1}{p_1}}+{\displaystyle \frac{1}{p_0}}{\displaystyle \frac{1}{p_1}}{\displaystyle \frac{p_0}{p_2}}+{\displaystyle \frac{1}{p_0}}{\displaystyle \frac{1}{p_1}}{\displaystyle \frac{p_0}{p_2}}{\displaystyle \frac{p_1}{p_3}}+\cdots \\ & =\frac{1}{p_0}+\frac{1}{p_0}{\displaystyle \frac{1}{p_1}}+{\displaystyle \frac{1}{p_1}}\frac{1}{p_2}+{\displaystyle \frac{1}{p_2}}{\displaystyle \frac{1}{p_3}}+\cdots \\ & ={\displaystyle \frac{1}{p_0}}+\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{p_i}}{\displaystyle \frac{1}{p_{i+1}}}.\end{array}$

Fin da proba.

Nota: Oskar Perron (1957) e Gautam Gopal (2016) mostran unha fórmula similar para series alternas tendo en conta os denominadores dos converxentes dunha fracción continua regular (recorrencia dos converxente con signo positivo): $x=[a_0,a_1,a_2,\dots ]=a_0+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{q_n{q}_{n+1}}}.$

Vese ben a partir do teorema da suma por pares que dada unha serie infinita podemos obter mediante o reverso deste método unha fracción continua co valor recíproco da suma.

Corolario 1: Dado $S={\displaystyle \frac{1}{a_0}}+{\displaystyle \frac{1}{a_0{a}_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_1{a}_2}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2{a}_3}}+\cdots$, temos $p_i=\{a_0,a_1,a_2,a_3\dots \}$

e por tanto temos a $fct$: ${\displaystyle \frac{1}{S}}=\lceil a_0,{\displaystyle \frac{a_1+1}{a_0}},{\displaystyle \frac{a_2+a_0}{a_1}},{\displaystyle \frac{a_3+a_1}{a_2}},{\displaystyle \frac{a_4+a_2}{a_3}},\cdots \rceil$

Se os denominadores non van multiplicados en cadea sempre se pode forzar do seguinte xeito

Corolario 2: Dado $S={\displaystyle \frac{1}{a_0}}+{\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+{\displaystyle \frac{1}{a_3}}+\cdots$, temos $p_i=\{a_0,{\displaystyle \frac{a_1}{a_0}},{\displaystyle \frac{a_2{a}_0}{a_1}},{\displaystyle \frac{a_3{a}_1}{a_2{a}_0}},\dots \}$

e por tanto temos a $fct$: ${\displaystyle \frac{1}{S}}=\lceil a_0,{\displaystyle \frac{\frac{a_1}{a_0}+1}{a_0}},{\displaystyle \frac{a_0+\frac{a_2{a}_0}{a_1}}{\frac{a_1}{a_0}}},{\displaystyle \frac{\frac{a_1}{a_0}+\frac{a_3{a}_1}{a_2{a}_0}}{\frac{a_2{a}_0}{a_1}}},\cdots \rceil$

Para as series de potencias imos definir unha nomenclatura similar ao duplo factorial que se aplique aos índices. Imos denotar $a_{i!!}=a_i{a}_{i-2}{a}_{i-4}{a}_{i-6}\dots$ sendo $a_{-1}=1$ e para o resto $i\ge 0$.

Se temos unha serie que sexa de tipo Taylor ou Maclaurin con factoriais no denominador e coeficientes e potencias de $x$ no numerador. teríamos:

Corolario 3: Dado $S_T={\displaystyle \frac{a_0}{0!}}+{\displaystyle \frac{a_{1}x}{1!}}+{\displaystyle \frac{a_2{x}^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{a_3{x}^3}{3!}}+\cdots$, temos $p_i=\{{\displaystyle \frac{1}{a_0}},{\displaystyle \frac{a_0}{a_{1}x}},{\displaystyle \frac{2!!a_1}{a_2{a}_{0}x}},{\displaystyle \frac{3!!a_2{a}_0}{a_3{a}_1{x}^2}},\dots \}=\{{\displaystyle \frac{n!!a_{(n-1)!!}}{a_{n!!}{x}^{\lceil n/2\rceil }}},\dots \}$

e coma sempre temos a $fct$: ${\displaystyle \frac{1}{S_T}}=\lceil p_0,{\displaystyle \frac{p_i+p_{i-2}}{p_{i-1}}},\cdots \rceil$ con $p_{-1}=1$.

Nota: veremos en publicacións posteriores unha expresión máis simple destas últimas fórmulas na forma de fracción continua xeneralizada )

Exemplos

Exemplo 1. Serie a partir de fracción continua.

Como primeiro exemplo usaremos a miña constante favorita, a constante Pena Trevinca, $\tau =\lceil 3,3,3,3,\cdots \rceil$, que ten valor $2.618033\dots =\varphi +1={\varphi }^2$ (ver Mathematical Student problema 8). Así temos os converxentes $p_i/q_i$

$c_i$		3	3	3	3	$\cdots$
$p_i$	1	3	8	21	55	$\cdots$
$q_i$	0	1	3	8	21	$\cdots$

Aplicando o Teorema de suma por pares

${\displaystyle \frac{1}{\tau }}=(\lceil 3,3,3,\dots \rceil {)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 8}}+{\displaystyle \frac{1}{8\cdot 21}}+{\displaystyle \frac{1}{21\cdot 55}}+\cdots$.

(non sería necesario calcular os denominadores dos converxentes, pero facémolo por completar)

${\displaystyle \frac{1}{\tau }}=0.38196\dots$ e truncando a suma infinita no cuarto sumando temos ${\displaystyle \frac{1}{\tau }}={\displaystyle \frac{21}{55}}=0.3818\dots$

Exemplo 2. Fracción continua a partir de serie.

Como segundo exemplo imos calcular unha fracción continua para ${\displaystyle \frac{1}{e^x}}$ e concretando para ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}$ Temos que $e^x={\displaystyle \frac{1}{0!}}+{\displaystyle \frac{x}{1!}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+\cdots$

Que seguindo o corolario 3, os numeradores dos converxentes son $p_i=\{1,{\displaystyle \frac{1}{x}},{\displaystyle \frac{2}{x}},{\displaystyle \frac{3}{x^2}},{\displaystyle \frac{2\cdot 4}{x^2}},{\displaystyle \frac{3\cdot 5}{x^3}},{\displaystyle \frac{2\cdot 4\cdot 6}{x^3}},\dots \}$

E igualmente polo corolario 3 obtemos os coeficientes da $fct$ sumando alternos e dividindo polo do medio, ${\displaystyle \frac{1}{e^x}}=\lceil 1,{\displaystyle \frac{1}{x}}+1,x+2,{\displaystyle \frac{x+3}{2x}},{\displaystyle \frac{2x+4\cdot 2}{3}},\cdots \rceil$

Imos mostrar unha táboa completa para $e^{-1/2}=0.60653\dots$

$c_i$ de $e^{-1/2}$		1	3	${\displaystyle \frac{5}{2}}$	${\displaystyle \frac{7}{2}}$	3	$\cdots$
$p_i$	1	1	2	4	12	32	$\cdots$
$q_i$	0	1	3	${\displaystyle \frac{13}{2}}$	${\displaystyle \frac{79}{4}}$	${\displaystyle \frac{211}{4}}$	$\cdots$
converxentes		1	${\displaystyle \frac{2}{3}}$	${\displaystyle \frac{8}{13}}$	${\displaystyle \frac{48}{79}}$	${\displaystyle \frac{128}{211}}$	$\cdots$
valor		1	$0.66\dots$	$0.61\dots$	$0.607\dots$	$0.60663\dots$	$\cdots$

Os converxentes das fraccións continuas teito aproximan o valor só por un lado ao contrario que as fraccións continuas regulares que o aproximan alternativamente por valores superiores decrecentes e valores inferiores crecentes.

Exemplo 3. Valor da suma a partir da fracción continua.

Existen moitas probas de que a suma dos recíprocos dos números oblongos (o duplo dos triangulares) vale 1 (ver A002378 Oblong (or promic, pronic, or heteromecic) numbers: a(n) = n*(n+1).. )

Imos dar unha nova proba:

$S_{ob}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{20}}+\cdots$

$p_i=\{2,3,4,5,\dots \}$

$c_i=\{2,(3+1)/2=2,(4+2)/3=2,(5+3)/4=2,\dots \}$ e por tanto $S_{ob}=(\lceil 2,2,2,2,\dots \rceil {)}^{-1}$

$c_i$		2	2	2	2	2	$\cdots$
$p_i$	1	2	3	4	5	6	$\cdots$
$q_i$	0	1	2	3	4	5	$\cdots$

Dai temos, polos converxentes, que $S_{ob}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{q_i}{p_i}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n}{n+1}}=1$.

Exemplo 4. Unha serie para $4-\pi$.

A serie de Leibniz para $\frac{\pi }{4}$ é

a serie alternada ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{1}{1}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{7}}+\cdots -\cdots$.

Se sumamos de dous en dous temos a serie non alternada ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{2}{1\cdot 3}}+{\displaystyle \frac{2}{5\cdot 7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2}{(4n+1)(4n+3)}}$.

Se o levamos ao noso terreno podemos construír a serie con multiplicación por pares $S_{imp}={\displaystyle \frac{1}{1\cdot 3}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 5}}+\cdots$ que ten $p_i=\{3,5,7,9,11,\dots \}$ e por tanto $c_i=\lceil 3,2,2,2,2,2,\dots \rceil$ agora se calculamos os converxentes:

$c_i$		3	2	2	2	2	$\cdots$
$p_i$	1	3	5	7	9	11	$\cdots$
$q_i$	0	1	2	3	4	5	$\cdots$

E con isto temos que $S_{imp}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{q_i}{p_i}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n}{2n+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Como puxemos numerador $1$ dividimos por $2$ e restamos no lado esquerdo os valores e restamos no dereito as series

${\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{8}}={\displaystyle \frac{4-\pi }{8}}={\displaystyle \frac{1}{3\cdot 5}}+{\displaystyle \frac{1}{7\cdot 9}}+{\displaystyle \frac{1}{11\cdot 13}}+\cdots$.

E finalmente multiplicando por $8$ temos $4-\pi =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{8}{(4n+3)(4n+5)}}$.

P.E: Non teño atopado moita literatura sobre este tipo de fraccións continuas mais parece ser que nalgures refírense a elas como "slow continued fractions". Usualmente aproximan ao número máis lentamente que as fraccións continuas regulares, cando relamente debería ser ao revés pois só aproximan por un lado. Na miña experiencia isto ven sendo debido a que se atoan moitas veces no número $2$ como coeficiente. Iso tamén implica que non cumpran coa constante de Khinchin .

Bibliografia

1. Gautam Gopal, Continued Fractions, Theorem 4.7 p-17
2. Sergey Khrushchev, Orthogonal Polynomials and Continued Fractions Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press 122 (2008), 159
3. Perron, Oskar, Die Lehre von den Kettenbrüchen.Teubner Verlag. 2 (1957) p-17.
4. Ventas, A., Advanced problems H-936 Fibonacci Quarterly. 62-2 (2024) p-181
5. Ventas, A., Mathematical Student. 93 (3-4) (2024) Problem 8. p-213