Viète e a ecuación de van Roomen: primeiro membro e solución

Na anterior entrada xa expuxéramos o reto que Adriaan van Roomen propuxera aos matemáticos de finais do XVI. Tratábase de resolver a seguinte ecuación:$$x^{45}-45x^{43}+945x^{41}-12300x^{39}+111150x^{37}-740259x^{35}+3764565x^{33}\\-14945040x^{31}+46955700x^{29}-117679100x^{27}+236030652x^{25}-378658800x^{23}\\+483841800x^{21}-488494125^{19}+384942375x^{17}-232676280x^{15}+105306075x^{13}\\-34512075x^{11}+7811375x^{9}-1138500x^{7}+95634x^{5}-3795x^{3}+45x=K$$

Con $K=\sqrt{\frac{7}{4}-\sqrt{\frac{5}{16}-\sqrt{\frac{15}{8}-\sqrt{\frac{45}{64}}}}}$

Tamén sabemos que $K=2\cdot sen12$ (outra vez entrada anterior) O noso propósito será traballar o primeiro membro da ecuación e resolvela seguindo as liñas mestras trazadas por Viéte. Eli Maor explica que Viéte foi o precursor dos métodos alxébricos na trigonometría. Con procedementos recursivos foi quen de obter as razóns trigonométricas para un ángulo $n\,\theta$ en función do $sen\theta$ e o $cos\theta$. Consideremos as seguintes fórmulas.

$$sen\;n\alpha =2cos\alpha \cdot sen(n-1)\alpha -sen(n-2)\alpha \;\;\;[1]$$

$$cos\;n\alpha =2cos\alpha \cdot cos(n-1)\alpha -cos(n-2)\alpha \;\;\;[1']$$

Delas demostraremos a primeira. A segunda derivaríase de forma semellante.

Partimos das fórmulas do seno dunha suma e dunha resta e despois sumámolas:

$$sen(A+B)=senA \cdot cosB+cosA\cdot senB\\sen(A-B)=senA \cdot cosB-cosA\cdot senB$$

$$sen(A+B)+sen(A-B)=2\cdot senA\cdot cosB$$

Fagamos $A=(n-1)\alpha$   e $B=\alpha$. Substituíndo na identidade anterior:

$$sen\,n\alpha+sen(n-2)\alpha =2\cdot sen(n-1)\alpha \cdot cos\,\alpha $$

E inmediatamente tense [1]

Viète obtén as fórmulas das razóns trigonométricas ata n=10, resultado do que di sentirse moi orgulloso. Velaquí as primeiras:

$$sen2\theta  =2\,cos\,\theta \cdot sen\theta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[2]\\sen3\theta  =3\,sen\,\theta -4sen^{3}\theta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[3]\\sen4\theta  =4\,sen\,\theta\cdot cos\theta -8sen^{3}\theta\cdot cos\theta \;\;\;\;\;[4]\\sen5\theta  =5\,sen\,\theta-20\,sen^{3}\theta + 16\,sen^{5}\theta\;\;\;\;[5]$$

Pasemos agora a repasar o método, xa explicado noutra ocasión, usado por Viète para obter a solución de ecuacións polinomiais por medio da trigonometría. Sexa a ecuación:

$x^{3}-3x+1=0$  

 $1=3x-x^{3}$           con $x=2y$

$1=6y-8y^{3}$ 

$\frac{1}{2}=3y-4y^{3}$        comparando con [3]

$sen3\,\theta=\frac{1}{2}$   e   $x=2y=2\cdot sen\,\theta$

$3\,\theta _{k}=30+360k\;\;\;\; k=0,1,2\\ \theta _{k}=10+120k\;\;\;\; k=0,1,2\\x_{0}=2\cdot sen(10)=0,3472...\\x_{1}=2\cdot sen(130)=1,5320...\\x_{3}=2\cdot sen(250)=-1,8793...$

Resolución da ecuación de van Roomen

Se miramos o primeiro membro da ecuación de van Roomen observamos que só aparecen as potencias impares con signos alternados. O mesmo sucede nas fórmulas de $sen\,n\theta$ para valores impares de $n$. Miremos por exemplo as fórmulas [3] e [5]. Viète debeu sospeitar que ese polinomio de grao 45 era o desenvolvemento do $sen\,45\theta$. Escribamos pois así a ecuación:

$K=2\cdot sen\,45\theta$     se  $\alpha=15\theta$  e usando [3]:

$K=2 sen\,45\theta= 2 sen\,15\alpha= 6sen\alpha -8sen^{3}\alpha =$ 

$=6sen 15\theta -8sen^{3} 15\theta=3y-3y^{3}$      sendo $y=2sen 15\theta$

Agora tomando $\beta =5\theta$ e usando outra vez [3]

$y=2 sen\,15\theta= 2 sen\,3\beta= 6sen\beta -8sen^{3}\beta =$ 

$=6sen 5\theta -8sen^{3} 5\theta=3z-3z^{3}$    sendo $z=2\,sen5\theta$. Se agora usamos [5]:

$z=2\,sen5\theta=10sen\theta -4sen^{3}\theta +32sen^{5}\theta =$

$=5x-5x^{3}+x^{5}$ onde $x=2sen\theta$

Agora temos $K=2sen45\theta=2sen12$    polo que    $sen45\theta=sen12$

$45\theta _{k}=12+360k\;\;\;\;k=0, 1,2,....,44$  

$\theta _{k}=\theta _{0}+4k\;\;\;\;k=0, 1,2,....,44$  con $\theta _{0}=\frac{12}{45}=0^{^{\circ}}4'$ 

$x_{k}=2sen \theta _{0}+8k\;\;\;\;k=0, 1,2,....,44$

Por suposto Viète só considerou as solucións positivas, aquelas para as que $\theta _{0}+8k< 180$, isto é, as 23 primeiras.