Viète e a ecuación de van Roomen: primeiro membro e solución

Na anterior entrada xa expuxéramos o reto que Adriaan van Roomen propuxera aos matemáticos de finais do XVI. Tratábase de resolver a seguinte ecuación:$$\begin{gathered} x^{45}-45x^{43}+945x^{41}-12300x^{39}+111150x^{37}-740259x^{35}+3764565x^{33} \\ -14945040x^{31}+46955700x^{29}-117679100x^{27}+236030652x^{25}-378658800x^{23} \\ +483841800x^{21}-{488494125}^{19}+384942375x^{17}-232676280x^{15}+105306075x^{13} \\ -34512075x^{11}+7811375x^9-1138500x^7+95634x^5-3795x^3+45x=K \end{gathered}$$

Con $K=\sqrt{\frac{7}{4}-\sqrt{\frac{5}{16}-\sqrt{\frac{15}{8}-\sqrt{\frac{45}{64}}}}}$

Tamén sabemos que $K=2\cdot sen12$ (outra vez entrada anterior) O noso propósito será traballar o primeiro membro da ecuación e resolvela seguindo as liñas mestras trazadas por Viéte. Eli Maor explica que Viéte foi o precursor dos métodos alxébricos na trigonometría. Con procedementos recursivos foi quen de obter as razóns trigonométricas para un ángulo $n\theta$ en función do $sen\theta$ e o $cos\theta$. Consideremos as seguintes fórmulas.

$$senn\alpha =2cos\alpha \cdot sen(n-1)\alpha -sen(n-2)\alpha [1]$$

$$cosn\alpha =2cos\alpha \cdot cos(n-1)\alpha -cos(n-2)\alpha [1^{\prime }]$$

Delas demostraremos a primeira. A segunda derivaríase de forma semellante.

Partimos das fórmulas do seno dunha suma e dunha resta e despois sumámolas:

$$\begin{gathered} sen(A+B)=senA\cdot cosB+cosA\cdot senB \\ sen(A-B)=senA\cdot cosB-cosA\cdot senB \end{gathered}$$

$$sen(A+B)+sen(A-B)=2\cdot senA\cdot cosB$$

Fagamos $A=(n-1)\alpha$   e $B=\alpha$. Substituíndo na identidade anterior:

$$senn\alpha +sen(n-2)\alpha =2\cdot sen(n-1)\alpha \cdot cos\alpha$$

E inmediatamente tense [1]

Viète obtén as fórmulas das razóns trigonométricas ata n=10, resultado do que di sentirse moi orgulloso. Velaquí as primeiras:

$$\begin{gathered} sen2\theta =2cos\theta \cdot sen\theta [2] \\ sen3\theta =3sen\theta -4se{n}^3\theta [3] \\ sen4\theta =4sen\theta \cdot cos\theta -8se{n}^3\theta \cdot cos\theta [4] \\ sen5\theta =5sen\theta -20se{n}^3\theta +16se{n}^5\theta [5] \end{gathered}$$

Pasemos agora a repasar o método, xa explicado noutra ocasión, usado por Viète para obter a solución de ecuacións polinomiais por medio da trigonometría. Sexa a ecuación:

$x^3-3x+1=0$  

 $1=3x-x^3$           con $x=2y$

$1=6y-8y^3$ 

$\frac{1}{2}=3y-4y^3$        comparando con [3]

$sen3\theta =\frac{1}{2}$   e   $x=2y=2\cdot sen\theta$

$$\begin{gathered} 3{\theta }_k=30+360kk=0,1,2 \\ {\theta }_k=10+120kk=0,1,2 \\ {x}_0=2\cdot sen(10)=0,3472... \\ {x}_1=2\cdot sen(130)=1,5320... \\ {x}_3=2\cdot sen(250)=-1,8793... \end{gathered}$$

Resolución da ecuación de van Roomen

Se miramos o primeiro membro da ecuación de van Roomen observamos que só aparecen as potencias impares con signos alternados. O mesmo sucede nas fórmulas de $senn\theta$ para valores impares de $n$. Miremos por exemplo as fórmulas [3] e [5]. Viète debeu sospeitar que ese polinomio de grao 45 era o desenvolvemento do $sen45\theta$. Escribamos pois así a ecuación:

$K=2\cdot sen45\theta$     se  $\alpha =15\theta$  e usando [3]:

$K=2sen45\theta =2sen15\alpha =6sen\alpha -8se{n}^3\alpha =$ 

$=6sen15\theta -8se{n}^{3}15\theta =3y-3y^3$      sendo $y=2sen15\theta$

Agora tomando $\beta =5\theta$ e usando outra vez [3]

$y=2sen15\theta =2sen3\beta =6sen\beta -8se{n}^3\beta =$ 

$=6sen5\theta -8se{n}^{3}5\theta =3z-3z^3$    sendo $z=2sen5\theta$. Se agora usamos [5]:

$z=2sen5\theta =10sen\theta -4se{n}^3\theta +32se{n}^5\theta =$

$=5x-5x^3+x^5$ onde $x=2sen\theta$

Agora temos $K=2sen45\theta =2sen12$    polo que    $sen45\theta =sen12$

$45{\theta }_k=12+360kk=0,1,2,....,44$  

${\theta }_k={\theta }_0+4kk=0,1,2,....,44$  con ${\theta }_0=\frac{12}{45}=0^{{}^{\circ }}{4}^{\prime }$ 

$x_k=2sen{\theta }_0+8kk=0,1,2,....,44$

Por suposto Viète só considerou as solucións positivas, aquelas para as que ${\theta }_0+8k<180$, isto é, as 23 primeiras.