A demostración topolóxica da existencia de infinitos primos

Hai un momento especialmente dramático na vida dun estudante. Sucede cando está ás portas de acceder á universidade e ten que escoller a carreira que quer facer. Cando tivera que pasar eu por ese trance non había departamentos de orientación nos institutos e tampouco había internet. O único ao meu alcance era un libriño coas titulacións da Universidade de Santiago, a única que había daquela, que como información exclusiva tiña os nomes das materias que se impartían no primeiro curso. Para a licenciatura de matemáticas eran as seguintes:

• Física
• Álxebra I 
• Análise Matemáica I
• Topoloxía I

Das tres primeiras tiña certa idea de que trataban, pero a cuarta, Topoloxía, era un completo misterio. Pronto se convertería na miña materia favorita. Que é a topoloxía? Non é fácil de explicar.

Da Galipedia

Normalmente recúrrese ao exemplo da cunca e a rosquilla, dúas superficies que o topólogo ve equivalentes porque se poden transformar unha na outra mediante unha deformación contínua. Velaí que a topoloxía estuda a propiedades relacionadas coa continuidade. A equivalencia en topoloxía establécese mediante homemorfismos, funcións continuas, bixectivas e con inversa tamén contínua. Tamén se di que a topoloxía é a ciencia da plastilina ou das bandas de goma.

Para crear un marco de referencia podemos botar man doutro tipo de xeometría que se estuda na secundaria, a das figuras semellantes. Diremos que dúas figuras son semellantes se teñen a mesma forma aínda que os seus tamaños sexan distintos. Aquí normalmente recorremos a exemplos de mapas a distintas escalas, fotos ou fotocopias ampliadas ou reducidas, planos,...Debemos confrontar esta xeometría con outra máis estrita na que se define a congruencia entre figuras xeométricas cando teñen exactamente as mesas medidas. 

Polo pouco comentado ata aquí ben se enxerga que a álxebra, a ciencia que acubilla os polinomios, aparenta estar moi afastada da topoloxía, a ciencia que trata con obxectos de goma deformables. A álxebra aséntase directamente sobre a aritmética. Un dos principais obxectos de estudo desta última son os números primos. Por iso non deixa de ser sorprendente que poidamos realizar unha demostración da existencia dunha candidade infinita dos mesmos mediante o uso da topoloxía. Quizais aínda máis sorprendente sexa que o autor desta fazaña fose un estudante de 20 anos, Hillel Fustenberg (1935-). En entradas anteriores xa abordamos demostracións deste resultado (Grazas Poniachik! coa demostración euclidiana, e A serie harmónica e a das inversas dos primos cunha proba referenciada no 1979), intentaremos ofrecer tamén a de Fustenberg, pero antes unha digresión máis ou menos longa para garantir as bases da anunciada proba.

Topoloxías e espazos topolóxicos

Imos facer unha pequena paréntese para relatar uns poucos aspectos dalgúns principios de topoloxía. Podémonos achegar á idea do concepto "topoloxía" estudando os conxuntos básicos euclidianos, as bólas abertas. Na recta son os intervalos abertos:

$B_{1}\left ( x,r \right )=\left ( x-r,x+r \right )=\left \{ y\epsilon \mathbb{R}/d(x,y)< r \right \}onde\; d \;  representa \; a \;distancia$

A representación gráfica dun intervalo aberto indícase con puntos ocos no interior ou con parénteseses: (a,b).  A característica máis destacable dos intervalos abertos (a,b) é que, dado calquera punto do intervalo, como c, haberá un intervalo aberto en (a,b) que conteña a c.

As bólas abertas no plano son círculos sen a circunferencia que a bordea:

$B_{2}(x,r)=\left \{ y\epsilon \mathbb{R}^{2} / d\left ( x,y \right )< r\right\}$

As bólas abertas do plano verifican a mesma curiosa propiedade: dado un punto C da bóla de centro A e raio r, B(A,r), sempre poderemos atopar outra bóla centrada en C e contida na anterior. Moitas veces esta propiedade noméase como a veciñanza dun punto.

Estas e outras ideas serían xeneralizadas co concepto de "topoloxía". Unha topoloxía non é outra cousa que a colección de todos os conxuntos abertos dun conxunto. As bólas abertas dan lugar á topoloxía usual. A formulación moderna do significado de topoloxía é do ano 1917 e débese a Hausdorff (1868-1942). Segundo esta unha topoloxía τ nun conxunto X é unha colección de subconxuntos de X que chamaremos conxuntos abertos verificando que:

1. X pertence a  τ 
2. Φ, o conxunto baleiro, pertence a τ 
3. A unión arbitraria de elementos de τ tamén están en τ :$U_{\lambda }\,\epsilon \,\tau , con\; \lambda\,\epsilon \,\Lambda \; \Rightarrow  \bigcup_{\lambda\epsilon \Lambda}U_{\lambda }\,\epsilon \,\tau$
4. Se U e V pertencen a τ , $U\cap V$ tamén pertence a τ 

Diremos entón que o conxunto X coa topoloxía τ  é un espazo topolóxico.

Xa vimos que os conxuntos abertos son os elementos da topoloxía. Diremos que un conxunto é pechado se o seu complementario é aberto. Inmediatamente derívanse algunhas propiedades dos conxuntos pechados como a de que a unión finita de pechados dá un pechado ou a de que a intersección arbitraria de pechados é pechada.

Ademais da topoloxía usual dada polas bólas abertas, podemos dar outros exemplos de topoloxías como a topoloxía discreta, na que todo subconxunto de X é aberto ou a topoloxía trivial $\tau =\left \{ \varnothing ,X \right \}$ , formada únicamente polo baleiro e o propio conxunto X.

A topoloxía de Kolmogoroff para $\mathbb{R}$ vén dada polos intervalos $\left ( a,+\infty  \right )$ xunto con $\varnothing\,e\,\mathbb{R}$

Moitas veces non é doado dar unha descrición directa dos conxuntos abertos dunha topoloxía polo que se recorre ao concepto de base dunha topoloxía. β, un subconxunto de τ é base dunha topoloxía se  $dado\,U\,\epsilon \,\tau, x\,\epsilon \,U, \,existe\,un\, B\,\epsilon\, \beta\, tal\,que \, x\,\epsilon\,B\,\subset \,U$

Con este recurso podemos caracterizar unha topoloxía. Recollo os seguintes resultados do libro de Xosé M. Masa Vázquez, Topoloxía Xeral (USC, 1999) que non son nada difíciles de demostrar.

Proposición. Sexa β base dunha topoloxía en X. As seguintes condicións son equivalentes:

1. $U\subset X $ é aberto

2. Para cada punto x de U existe un aberto básico B tal que $x\,\epsilon\, B\subset U$

3. O conxunto U escríbese como unión de abertos básicos

Teorema. Dado un conxunto X e unha familia de subconxuntos β, β é base dalgunha topoloxía en X se e soamente se cumpren as dúas condicións seguintes:

1. $\bigcup _{B\epsilon \,\beta}B=X$

2. se $x \,\epsilon \,B_{1}\cap B_{2} $, sendo B₁ e B₂ elementos de β existe un $B_{3}\,\epsilon\, \beta $ con $x\,\epsilon B_{3}\subset B_{1}\cap B_{2}$

Facendo uso deste último teorema podemos comprobar que a seguinte colección de subconxuntos é unha base dunha topoloxía para $\mathbb{R}$, que dá lugar á chamada recta de Sorgenfrey:

$$\beta _{S}=\left \{ [x,y)\,/ x< y,\,\, x, y\,\epsilon\,\mathbb{R}\right \}$$

Para quen teña interese no tema, comentaremos que este último resultado xunto coa idea de veciñanza lévanos ao concepto de filtro, introducido por primeira vez por Frigyes Riesz (1889-1956) no ano 1908. Vén sendo unha colección $\mathfrak{F}$ de conxuntos non baleiros verificando:

1. $F_{1}\, \, \epsilon \,\mathfrak{F}\, eF_{2}\,  \epsilon\, \mathfrak{F}\Rightarrow F_{1}\cap F_{2}\epsilon \,\mathfrak{F}\\$
2. $se\, G\subset X e\ existe\ F\epsilon \mathfrak{F}\,tal\, que F\subset G \Rightarrow G\,\epsilon \,\mathfrak{F}$

Pero isto é outra historia.

Demostración topolóxica da existencia de infinitos primos

Recollín a demostración topolóxica da existencia de infinitos primos do blogue de Dan Ma. Comecemos recordando en que consiste unha sucesión aritmética de primeiro termo a e de diferenza d. Será a sucesión de números:

a,   a+d,   a+2d,   a+3d,   a+4d,   a+5d, ...

Aínda que en xeral os valores de a e d poden ser calquera, nós restinxirémonos aos números enteiros para a e aos naturais para d.

Adopetemos agora a seguinte extensión. No canto de considerar só os múltiplos positivos de d, collamos tamén os negativos:

...,   a-3d,   a-2d,   a-d,   a,   a+d,   a+2d,   a+3d,   ...

Denotemos este conxunto de números enteiros como $S\left ( a,d \right )=\left \{ a+nd /n \,\epsilon\,\mathbb{Z} \right \}$

S(a,d) ten a peculiaridade de que se pode deifinir tomando no canto de a calquera representante da sucesión aritmética extendida xa que do que se trata é de que, unha vez que escollemos un enteiro, coller tamén a saltos de distancia d todos os demais elementos, tanto cara a esquerda como cara a dereita. Isto é, se $S\left ( a,d \right )=\left \{ a+nd /n \,\epsilon\,\mathbb{Z} \right \}$

Veremos agora que a colección de todas as posibles sucesións aritméticas extendidas forman unha base topolóxica.

$$S(0,1)=\mathbb{Z} \Longrightarrow \bigcup _{a,d\epsilon\mathbb{Z}}S(a,d)=\mathbb{Z}$$

$$x\,\epsilon\, S(a,d)\cap S(a',b') \Longrightarrow x\,\epsilon\,S(x,d)\cap S(x,d') \Longrightarrow x\,\epsilon\,S(x,dd')\subset S(x,d)\cap S(x,d')$$

Ademais todo aberto non baleiro ten cardinal infinito xa que conterá un aberto básico S(a,d).

Outra característica desta topoloxía consiste en que os abertos básicos S(a,d) son tamén pechados:

$$x\,\epsilon\, S(a,d) \Longrightarrow x\not\equiv a (mod\,d)\Longrightarrow x\,\epsilon S(x,d)\subset X-S(a,d)$$

Como todos os enteiros teñen un divisor primo, agás o 1 e o -1 

$$\bigcup _{p\,primo}S(0,p)=\mathbb{Z}-\left \{ -1,1 \right \}\quad [1]$$

Pasemos a rematar a demostración da existencia dunha infinidade de primos. Farémolo por redución ao absurdo. Efectivamente, se houbese unha cantidade finita de primos, [1] sería unha unión finita de pechados polo que sería tamén un conxunto pechado, entón {-1,1} sería aberto. Pero sabemos que calquera aberto non baleiro debe ter infinitos elementos. Chegamos á contradición desexada $\square$. 

A serie harmónica e a dos inversos dos primos

 $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$$

Velaquí a serie harmónica. Unha das primeiras demostracións sedutoras que aprendías ao chegar á facultade era a de que esta serie é diverxente, isto é, que a súa suma é infinita. Máis precisamente, que unha serie diverxa significa que a sucesión de sumas parciais S_n ten límite infinito. S_n consiste na suma dos n primeiros termos da serie.

A demostración da diverxencia da serie harmónica atribúselle a Nicolás de Oresme (1323-1382). Consiste en mostrar que é maior que outra serie da que é evidente que tamén é diverxente:

Lema 1. A serie harmónica é diverxente

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{3} +\frac{1}{4}\right )+\left (  \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right )+...>$$ $$>1+\frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{4} +\frac{1}{4}\right )+\left (  \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right )+...=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...\quad\quad\square$$

Este é o único lema do ensino universitario que precisamos utilizar para a demostración que imos dar da existencia de infinitos números primos. Hai varias demostracións deste resultado; referencial é a de Euclides, que xa apareceu noutra entrada deste blogue. Outra moi celebrada é a dada por  Leonhard Euler (1707-1783) en 1737, que se fundamenta nunha idea que tamén usaremos aquí consistente en demostrar que a suma dos inversos dos primos é infinita. Fica claro que se isto é certo ten que haber infinitos números primos. Pode consultarse en "EL LIBRO de las demostraciones" de M. Aigner e G. Ziegler (Nivloa 2005) 

Quixen traer  por aquí unha nova demostración que recollín do recomendable libro "Demostraciones con encanto" (SM-RSME 2020) de Claudi Alsina e Roger B. Nelsen (ou o seu orxinal en inglés, "The charming proofs")

As progresións xeométricas trátanse en 3º da ESO. Imos considerar só o caso de números positivos. Cada termo obtense do anterior multiplicando por un valor constante r chamado razón. Neste curso debe traballarse algunha fórmula semellante á referida no lema 2

$$\mathbf{Lema2 \: (suma\:  dunha\: progresión\: xeométrica)}\:\sum_{k=0}^{n}r^{k}=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\quad\quad\quad $$

Cando a razón é menor que 1 os termos desta progresión decrecen moi rapidamente. Tomando límite cando n⟶∞ obtemos a suma da serie xeométrica

$$\mathbf{Lema3 \: (suma\:  da\: serie\: xeométrica)}\:Se\: r<1:\sum_{k=0}^{\infty }r^{k}=\frac{1}{1-r}\quad\quad\quad \quad\quad\quad $$

Os logaritmos comezan a estudarse en 4º da ESO. A propiedade máis importante que verifican dinos que converten os produtos en sumas. Un caso de especial relevancia so os logaritmos neperianos. A notación desta función é ln.

$$\mathbf{Lema\:4.}\:ln\left ( A  \cdot B \right )=lnA  +lnB\quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad $$

Por fin enunciamos o teorema que nos interesa:

$$\mathbf{Teorema}\: \sum_{p\thinspace primo}^{}\frac{1}{p} \:diverxe \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad $$

Sexa n≥2 un número calquera. Consideremos o conxunto de primos p≤ n. Curiosamente a demostración non comeza cunha suma, senón cun produto.

$$\prod_{p\leqslant n}\frac{p}{p-1}=\prod_{p\leqslant n}\frac{1}{1-\frac{1}{p}}=\prod_{p\leqslant n}\left ( 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}} +...\right )=\prod_{p\leqslant n}\left ( \sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{p^{k}} \right )>\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$$

Quizais a última desigualdade precise algo de aclaración. Todo natural k ≤ n ten unha descomposición única mediante factores primos p que evidentemente serán menores que n. Todos os inversos 1/k pódense obter como algún produto dos elementos da esquerda da desigualdade. Ademais destes inversos 1/k deben obterse moitos máis valores.

O logaritmo neperiano é unha función crecente polo que conserva as desigualdades. Tomando logaritmos na desigualdade anterior:

$$ln\prod_{p\leqslant n}\frac{p}{p-1}=\sum_{p\leqslant n}\left ( ln\,p-ln\left ( p-1 \right ) \right ) >ln\left ( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \right )\quad [1]$$

Como sabemos que o logaritmo neperiano é a primitiva da función racional 1/x: 

$$\sum_{p\leqslant n}\left ( ln\,p-ln\left ( p-1 \right ) \right ) =\sum_{p\leqslant n}\int_{p-1}^{p}\frac{1}{x}dx<\sum_{p\leqslant n}\frac{1}{p-1}\leqslant \sum_{p\leqslant n}\frac{2}{p}\quad [2]$$

Combinando [1] e [2] temos

$$\sum_{p\leqslant n}\frac{1}{p}>\frac{1}{2}ln\left ( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \right )\quad $$

Como a serie harmónica diverxe, a suma do membro da dereita desta desigualdade non está limitada cando n⟶∞, polo tanto o seu logaritmo neperiano tampouco o estará. En consecuencia a serie dos inversos dos números primos tamén será diverxente. ☐

Podería pensarse que para esta viaxe non se precisaban alforxas. Tendo a elemental demostración euclidiana, hai algunha razón para remexer en todas estas cuestións máis complexas? Pois si, haina. Agora sabemos que a serie dos inversos dos primos ten suma infinita. Isto, ademais da cardinalidade danos unha idea da densidade dos primos no conxunto dos números naturais, o Santo Grial da aritmética.  Estamos en disposición de afirmar que aínda que se rarifican segundo imos considerando naturais máis grandes, hai suficientes primos como para que a suma dos seus inversos non estea limitada. 

Teñamos presente que a serie dos inversos dos cadrados converxe. Determinar ese valor foi denominado problema de Basilea pois foi resolto (como non!) por Euler, que era natural desa cidade. A súa solución é unha das máis fermosas perlas das matemáticas, non só polo sorprendente resultado coa intervención do número π, senón tamén pola forma en que foi deducido. Euler parte do desenvolvemento en serie de Taylor do seno:

$$sen(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...$$

Despois divide por x, obtendo 

$$\frac{senx}{x}=1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\frac{x^{6}}{7!}+...\quad\quad [3]$$

As raíces desta función son da forma ±kπ. Velaí que podemos descompoñer a expresión en produto de factores atendendo a todas estas raíces:

$$\frac{senx}{x}=\left ( 1-\frac{x }{\pi} \right )\left ( 1+\frac{x }{\pi} \right )\left (1-\frac{x }{2\pi}  \right )\left (1+\frac{x }{2\pi}  \right )\left (1-\frac{x }{3\pi}  \right )\left (1+\frac{x }{3\pi}  \right )...=$$ $$=\left ( 1-\frac{x^{2}}{\pi ^{2}} \right )\left ( 1-\frac{x^{2}}{ 4\pi ^{2}} \right )\left ( 1-\frac{x^{2}}{9\pi ^{2}} \right )...$$

Ao realizar este produto escollendo únicamente os coeficientes cadráticos obtemos a expresión:

$$-\left ( \frac{1}{ \pi ^{2}} +\frac{1}{4\pi^{2}}+\frac{1}{9\pi^{2}}+...\right )=-\frac{1}{\pi^{2}} \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$$

Igualando isto co coeficiente cadrático de [3]:

$$-\frac{1}{6}=-\frac{1}{\pi^{2}} \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$$

Obtemos a desexada suma:

$$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}$$

Agora ben, que esta serie teña suma poderíanos facer sospeitar que entre dous cadrados teña que haber polo menos un primo. Sorprendentemente este resultado aínda non está demostrado, nin refutado. Coñécese como a conxectura de Legendre. 

Marzo, mes das matemáticas; en galego

Marzo, mes das matemáticas. Sempre me pareceu un mal nome para esta enorme iniciativa pois sobarda con moito o citado mes. A rede de divulgación das matemáticas DIMa, a partir da proclamación por parte da UNESCO do 14 de marzo como Día das Matemáticas, decidiu participar cunha serie de eventos durante todo o mes. Pero parece que o asunto botou por fóra e o listado de actividades xa ocupa máis de medio ano e non se lle ve trazas de que teña finalización. 

Entre outros proxectos divulgativos hai unha gorentosa colección de exposicións. Agora podemos acceder á versión en galego dalgunha delas. En concreto:

• Sabías que...?
• Marzo, mes das matemáticas en galego

O primeiro destes recursos lévanos á descarga do material desta exposición. O segundo é un portal no que podemos acceder á exposición Matemáticas para un mundo mellor, con 10 pósteres distintos xunto con outra exposición de 12 fotografías matemáticas comentadas.

De toda esta colección de recursos sabemos grazas a Elena Vázquez Abal, profesoa do Departamento de Matemáticas na Área de Xeometría e Topoloxía da USC quen comparte todo isto coa seguinte petición:

A descarga de todo este material é libre, o único que pedimos é que no caso de realizar unha exposición pública se nos informe (por motivo de recollida de impacto) ao enderezo marzomates@ull.edu.es do lugar e período da exposición e, se é posible, que nos envíen fotos. Se comparten información en redes da exposición, por favor, inclúan #MarzoMates DiMa - Divulgación Matemáticas F E C Y T ·

Sen dúbida ningunha son unha boa colección de recursos que permiten abordar novas miradas ás matemáticas. Tamén aparecen recollidos no web Retallos de matemáticas, no seu apartado de Material didáctico.

 

Grazas Poniachick!

Hai uns días, limpando o faiado atopei un pequeno fateixo de revistas que comprara cando era novo. Eran exemplares de Cacumen, unha revista mensual publicada por Zugarto,  editorial madrileña especializada en crucigramas e pasatempos. Sacáronse un total de 47 números entre os anos 1983 e 1986. 

Para os meus petos era moi cara. Con todo chegara a comprar algúns números.  A revista estaba adicada aos xogos. Nela podías encontrar relatos breves con algunha conexión lúdica, retos, curiosidades, cuestións, bandas deseñadas e tamén artigos sobre matemáticas recreativas e xogos. Moitas tardes teño pasado cun xogo de cartas recollido do nº 31 ! O xogo, chamado noventa e nove é facilmente adaptable á baralla española. Como curiosidade, nese mesmo número había un artigo sobre o "extravagante" libro das sucesións de números enteiros de Sloane. Daquela non existía internet.

Practicamente en todos os números había algún artigo e varias referencias ás matemáticas. Por exemplo no nº 34 explícase en poucas palabras a demostración mediante conos do teorema de Monge que foi obxecto doutra entrada neste blogue.

No nº 16 lera por primeira vez a demostración de Euclides da existencia de infinitos números primos. Só por estas poucas liñas xa pagaba a pena a revista. A extraordinaria demostración é unha referencia central das matematicas. Supoñamos, segundo nos indica Euclides, que só hai unha cantidade finita de números primos: 2, 3, 5, 7,...., p, onde lle chamamos p ao maior deles. Consideremos agora o número N=2・3・5・7・....・p + 1. N pode ser primo ou non selo. Se o é xa achamos un primo maior que p. Se non o é terá que ter algún divisor primo pero nin 2, nin 3, nin 5, nin 7,...., nin p son divisores de N xa que o resto da división de N por calquera deses números será 1. De aí que ese eventual divisor primo de N ten que outro maior que p que non estea na relación dada. En calquera caso ten que haber algún primo máis que os supostos, isto é, ten que haber infinitos.

Entre as páxinas de Cacumen tamén se poden achar xogos de Sam Loyd ou artigos de Henry Dudeney, mais cando se fala de xogos e de matemáticas ten que aparecer indefectiblemente Martin Gardner. Apareceron artigos seus nos exemplares nº 24,  nº 26, nº 27 e do nº 32. Neste último trata sobre a cicloide e no primeiro sobre o número π. En moitos outros hai referencias a contribucións súas. En concreto no nº 33 un tal Tadeo Monevin expón e resolve o seguinte problema do divulgador norteamericano:

Un número fantasmal. Unha dama, interrogada polo seu número de teléfono contestou de forma ben curiosa: "o número termina en 4, e se vostede corre o 4 cara adiante de forma que se converta no primeiro díxito, o novo número resulta ser 4 veces o orixinal". Cal é o número telefónico da dama?

Tadeo Monevín é o pseudónimo de Jaime Poniachick (1943-2011), un matemático nacido en Uruguai moi destacado no mundo das matemáticas recreativas. En Arxentina editou da Revista del Snark, que tivo unha curta vida entre os anos 1976 e 1978. Uns anos despois sería o responsable da publicación doutra revista, El Acertijo. Poniachick era un colaborador habitual de Cacumen. El é o autor dun artigo publicado no nº 39 que me quedou gravado a lume. Presentaba o seguinte problema:

O cinto da Terra. Imaxinemos un cordel cinguido á Terra sobre o ecuador. Se lle engadimos un metro, vai quedar algo folgado, canto? Axustemos agora outra o cordel arredor dunha laranxa e despois agregámoslle tamén un metro. O sorprendente é que agora a folgura do cinto da laranxa coincide coa da Terra.

A explicación é ben simple. A lonxitude da corda inicial é 2πr. Se lle engadimos un metro será $$2\pi r+1=2\pi \left ( r+\frac{1}{2\pi } \right )$$

polo que o raio da circunferencia corda extendida supera en 1/2π unidades ao raio da circunferencia inicial independentemente do valor do raio. No caso que nos ocupa, como incrementamos a lonxitude nun metro, o raio aumentaría uns 16 cm tanto no caso da Terra como no da laranxa.

A alma de Poniachick era profundamente matemática. Este artigo continúa preguntándose que pasaría se o cordel ata cadrados de distinto tamaño, ou trigángulos, ou hexágonos,.... Remata con outra perla:

O raíl dilatado. Consideremos un raíl recto de 500 m. de lonxitude fixado nos seus extremos. Coa calor do verán expándese 2 m formando unha xiba no seu centro. Se o arqueamento que se produce é simétrico, que altura estimarías que acadará? 

A resposta, como no caso anterior da Terra e a laranxa, é sumamente antiintuitivo. Poniachick indícanos que unha boa estimación desa altura poderiamos obtela supoñendo que no canto dunha curva temos dúas rectas. 

Quizais o lector coñeza xa a métrica do taxi, atribuída a Minkowski. Para obter a distancia entre dous puntos debemos desprazarnos polas horizontais ou verticais determinadas por eses puntos. A distancia entre os puntos A e B da seguinte figura será 5+3=8. Sobre isto escribe Poniachick no nº 35

A combinatoria dinos que podemos emparellar 4 puntos de 6 formas distintas. Na imaxe que se mostra a continuación están colocados 4 puntos de forma que as distancias entre eles sexan 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 

Sabemos que podemos emparellar 5 puntos de 10 formas distintas. Poderemos colocar 5 puntos sobre o plano de forma que coa métrica do taxi as súas distancias cubran todos os valores enteiros entre 1 e 10? A resposta é que non e a razón ten que ver coa paridade. Fagamos un esquema conectando 5 puntos entre si. O resultado é un pentágono coas súas 5 diagonais. Cada conexión entre dous puntos terá unha medida ben par, ben impar. Fixemos uns valores de paridade para as conexións co punto A: p indica par e i indica impar. No seguinte esquema aparecen en laranxa e a escolla aos puntos B, C, D e E foi p, i, i, i. Isto determina todas as demais pois cada vez que tracemos un triángulo ten que verificarse a "regra dos signos" pois, por exemplo, se entre B e A hai unha distancia par e entre A e C hai unha impar, A distancia entre B e C será impar.

Se facemos o reconto veremos que hai un total de 4 conexións pares e 6 impares cando o número de pares e impares entre os números 1 e o 10 distribúense equitativamente 5 a 5. Con outras escollas iniciais de paridade para o punto A volve a suceder o mesmo, de aí que sexa imposible resolver o problema con 5 puntos. Tamén é imposible facelo con 7 pero sí é posible con 6. Neste caso verás que se obterán todas as distancias entre 1 e 15 colocando eses 6 puntos sobre un rectángulo de dimensións 7🇽8.

No seu artigo do nº 40 Poniachick propón a seguinte cuestión:

Triangulación. Dentro dun triángulo grande distribuímos 5 puntos que, xunto cos 3 vértices do triángulo utilizamos para dividilo en 11 trianguliños. Cantos triganguliños conseguiremos distribuíndo 1000 puntos dentro do triángulo grande?

As ideas aquí recollidas non o foron cun criterio sistemático. Centreime nas revistas que aínda conservo e noutras que coñecía polas portadas. Poden consultarse todos os números de Cacumen nesta entrada do blogue Espejo lúdico. 

Ah! Unha última anotación. Os artigos aos que se fixo referencia ao principio que trataban sobre o libro das sucesións de Sloane, o teorema de Monge e a demostración euclidiana da existencia de infitnitos primos tamén eran da autoría de Poniachick. Ata que nestes días revisei estas revistas e me decatei disto non sabía que el foi unha das persoas que máis me influiu en que quixera estudar matemáticas. Grazas Poniachick!

Os premios de Explícoche Matemáticas 2.0, edición 2021

 "Explícoche matemáticas 2.0" chega á súa novena edición. Trátase dun concurso convocado pola Comisión de Normalización Lingüística da Facultade de Matemáticas da USC no que se promove o galego como lingua de transmisión de coñecementos matemáticos fronte ao deostado decreto 79/2010 que prohíbe os materais didácticos na nosa lingua para materias de carácter científico no ensino non universitario. 

Outra vez o concurso foi todo un éxito de participación pois recibiron un total de 60 propostas. O traballo que recibiu o primeiro premio consiste nun vídeo sobre Ada Lovelace, realizado por Sara Ramos López e Uxía Varela Castro do IES Afonso X O Sabio (Cambre)

Dous foron os vídeos premiados cun accésit. Seguramente é casualidade, pero os dous tratan as progresións xeométricas. Son ‘Explícoche matemáticas cociñando e xogando’ de Aroa Blanco Guerreiro do IES Castro da Uz (As Pontes) e ‘Pódese chegar á lúa dobrando un papel?’ de Alba Casás Fuentes IES Manuel Murguía (Arteixo)

 

   

O xurado tamén outorgou mencións aos vídeos ‘As inecuacións’ de Andrea Freire Valiño do IES Pontepedriña (Santiago)e ‘Miúdo traxecto as matemáticas orientais: Bashkara II’ de Alexandre Lago Pereira e Pablo Savino Real do IES Mendiño (Redondela)

   

   

O traballo máis popular foi ‘Coñeces a banda de Möbius?’ de Hada Galán Lamas daEscola Waldorf Meniñeiros (Friol).  A categoría B dedicada a alumnado universitario ficou deserta.

 

Pola miña banda eu tamén faría referencia a un vídeo do Colexio San José de Cluny (Santiago) por estar técnicamente moi ben realizado, "Os corpos de revolución"

Penso que tanto os organizadores como os premiados merecen os parabéns. O que boto en falta é un portal que recolla todas as edicións e premios outorgados, pero polo menos temos unha escolma dos vídeos de varias edicións na canle de Youtube da Facultade de Matemáticas. Á correspondente á edición 2021 pódese acceder desde aquí.

Coma sempre o aspecto negativo foi a presenza na persoa da subdirectora da Secretaría Xeral de Política Lingüística deste organismo na entrega de premios. Supoño que agardaba que a ela tamén lle darían un, o da hipocrisía. Teno ben gañado.

Cotanxentes e arcotanxentes

Cando abordamos o estudo da trigonometría na secundaria poden tratarse determinadas funcións pouco agradecidas como as dadas polas razóns inversas do seno, coseno e tanxente. Unha vez presentadas estas, para que estudar a cosecante, secante e cotanxente? Pola propia definición destas ultimas aparentan superfluas. En todos os meus anos de docente apenas lembro outra cousa que dar as súas definicións para un uso esporádico. Nunca expliquei a representación gráfica destas razóns inversas. Para non expulsalas por completo, tería sentido usalas nalgún exercicio nos que o seu papel non sexa irrelavante. No temario de Matemáticas I de 1º de bacharelato trátanse as fórmulas  trigonométricas dos ángulos suma e resta. Para comprobar se o alumnado as comprendeu ben pódeselle pedir que deduzan fórmulas como a seguinte

$$cot(A+B)=\frac{cotA\cdot costB-1}{cotA+cotB}\quad\quad   [1]$$

Hai outro grupo de funcións que teñen únicamente un valor instrumental. Estoume a referir ás inversas das funcións trigonométricas: o arcoseno, o arcocoseno e o arcotanxente. É imprescindible coñecelas para a resolución de triángulos pero acaban reducidas a unha tecla na calculadora.

Ou non?

Na canle de youtube de Michel Penn propúxose un problema recollido dun concurso de matemáticas húngaro do 1959. Afórrovos a publicidade do Youtube pois recollo de seguido o seu enunciado:

Consideremos un poste vertical sobre un plano horizontal. A distancia de tres puntos ao poste é de 100 m, 200 m e 300 m. A suma dos ángulos de elevación deses puntos ao extremo superior do poste é de 90 graos. Acha a altura do poste.

Vou reproducir a solución de Michael Penn. Sexan A, B e C o ángulos de elevación do poste desde os tres puntos que distan 100 m, 200 m e 300 m respectivamente da súa base. As súas cotanxentes serán:

$$cotA=\frac{100}{h}\quad\quad cotB=\frac{200}{h}\quad\quad cotC=\frac{300}{h}$$

Agora ben, $$Se A+B+C=90 \Rightarrow cotA+cotB+cotC=cotA\cdot cotB\cdot cotC\quad\quad [2]$$

$$\frac{100}{h}+\frac{200}{h}+\frac{300}{h}=\frac{100}{h}\cdot \frac{200}{h}\cdot \frac{300}{h}$$

De onde facilmente obtemos o valor buscado:

$$\frac{600}{h}=\frac{6000000}{h^{3}}\\h^{2}=10000\\h=\pm 100$$

Claro que teriamos que xustificar a fórmula dada en [2]. Para iso poderiamos partir da fórmula da cotanxente dunha suma:

$$cot(A+B)=\frac{cotA\cdot costB-1}{cotA+cotB}\quad\quad   [1]$$

Que inmediatamente nos leva esta outra de suma de cotanxentes:

$$cotA+cotB=\frac{cotA\cdot costB-1}{cot(A+B)}$$

Agora ben, 

$$A+B=90-C\Rightarrow cot(A+B)=cot(90-C)=\frac{cos(90-C)}{sen(90-C)}=\frac{senC}{cosC}=tanC$$

e substituíndo en [1]:

$$cot(A+B)=\frac{cotA\cdot cotB-1}{cotA+cotB}=\frac{cotA\cdot cotB-1}{tanC}=cotA\cdot cotB\cdot cotC-cotC \quad\quad\square$$

Cando vin o problema pasoume pola mente, coma un lóstrego, esta outra fórmula de máis abaixo. É unha desas cousas que ves algunha vez e que te chaman a atención pero que deixas aparcadas pensando: é bonita, aínda que non vexo que nunca a vaia utilizar.

$$arctan1+arctan2+arctan3=180º $$

Quizais o mellor desta fórmula sexa a súa demostración. Sobran as palabras:

Volvendo outra vez ao problema húngaro, agora desde a perspectiva desta nova achega, sexan A'=90-A, B'=90-B e C'=90-C os ángulos complementarios de A, B e C. A súa súma A'+B'+C'=180º. Basta que o valor de h=100 para que tanA=1, tanB=2 e tanC=3.

Problemas da 'American Mathematics Competitions' para secundaria

En entradas anteriores recollera neste blogue unha escolma de problemas da UKMT tanto para o alumnado da ESO (primeira etapa, segunda etapa) como para o do bacharelato. Desta volta non cambio de idioma pero salto o charco.

Nas competicións AMC (American Mathematics Competitions) preséntanse 25 problemas con cinco respostas posibles a escoller para realizar nun tempo limitado: 40 minutos (AMC 8) ou 75 minutos (AMC 10 e AMC 12). Hai varias categorías, segundo o nivel (a idade) do alumnado. Os AMC 8 están pensados para alumnos dunha idade correspondente a 2º da ESO, os AMC 10 para 4º da ESO e os AMC 12 para 2º de bacharelato. De seguido recollo algúns exemplos, aínda que lles retirei as respostas pois prefiro enfocar a resolución de problemas sen ter que escoller a solución entre un grupo de respostas dadas. Os títulos tamén son obra miña.

Os dous seguintes problemas son do AMC 8 do ano 2005. Do primeiro estrañáronme moito as dúas primeiras liñas, adicadas a describir o campo de xogo, que non é outro cousa que un reloxo. Neste caso engadinlle a ilustración.

A saltos polo reloxo. Alice e Bob participan nun xogo que se desenvolve nunha circunferencia dividida  en 12 puntos igualmente espazados. Os puntos están numerados no sentido das agullas dun reloxo, do 1 ao 12. Ambos comezan no punto 12. Alice móvese no sentido das agullas dun reloxo e Bob no sentido contrario. En cada turno do xogo Alice móvese 5 puntos no sentido das agullas do reloxo e Bob móvese 9 puntos no sentido contrario. O xogo remata cando ambos paran no mesmo punto. Cantos turnos lles levará rematar?

Puntos e triángulos. Cantos triángulos distintos se poden debuxar usando tres dos seguintes puntos como vértices? 

Vai agora un da AMC 10, do ano 2004

Diferenza triangular. Na figura ∠ EAB  e   ∠ABC son ángulos rectos. AB=4, BC=6, AE=8 e AC e BE intersécanse en D. Cal é a diferenza entre as áreas dos triángulos  △ABE  e △BDC

Outro do mesmo nivel, pero doutro ano, en concreto, do AMC 10 do ano 2014

 

Catro cubos. Catro cubos de lonxitudes de aresta 1, 2, 3 e 4 están amontoados como se mostra. Cal é a lonxitude da porcións de XY contida no cubo de aresta 3?

Para rematar, un par de problemas do nivel 12. O primeiro deles é do AMC 12 do ano 2011.

Medias. A media aritmética de dous naturais distintos x e y é un número natural de dous díxitos. A media xeométrica de x e y obtense invertendo os díxitos da media aritmética. Cal é o valor de |x-y| ?

A figura do seguinte problema chamoume a atención porque é a dun spinner, ese artefacto que non hai tanto foi obxecto dunha moda efémera, sobre todo entre os rapaces. Collíano polo centro entre dous dedos e non paraban de darlle voltas. Haiche gustos!

 O problema apareceu no AMC 12 do 2012. Neste caso non me gustou a redacción  porque dá demasiados datos e ofrece unha vía para a súa resolución polo que pecha a posibilidade de razoala desde cero, que é o realmente interesante. Por iso ofrezo no "meu spinner" un enunciado alternativo. 

O spinner. A curva cerrada da figura está formada por 9 arcos circulares congruentes, cada un de lonxitude 2π/3 onde cada un dos centros das circunferencias correspondentes está nos vértices dun hexágono regular de lado 2. Cal é a área delimitada pola curva?

O meu spinner. A curva cerrada da figura está formada por 9 arcos circulares congruentes debuxados tomando como centros os 6 puntos marcados con raios de lonxitude 1. Cal é a área delimitada pola curva?

Isto de aquí é unha pequena mostra. Na wiki do Art of Problem Solving hai como estes, a centos.  Dá para entreterse unha boa temporada.