Problemas da 'American Mathematics Competitions' para secundaria

En entradas anteriores recollera neste blogue unha escolma de problemas da UKMT tanto para o alumnado da ESO (primeira etapa, segunda etapa) como para o do bacharelato. Desta volta non cambio de idioma pero salto o charco.

Nas competicións AMC (American Mathematics Competitions) preséntanse 25 problemas con cinco respostas posibles a escoller para realizar nun tempo limitado: 40 minutos (AMC 8) ou 75 minutos (AMC 10 e AMC 12). Hai varias categorías, segundo o nivel (a idade) do alumnado. Os AMC 8 están pensados para alumnos dunha idade correspondente a 2º da ESO, os AMC 10 para 4º da ESO e os AMC 12 para 2º de bacharelato. De seguido recollo algúns exemplos, aínda que lles retirei as respostas pois prefiro enfocar a resolución de problemas sen ter que escoller a solución entre un grupo de respostas dadas. Os títulos tamén son obra miña.

Os dous seguintes problemas son do AMC 8 do ano 2005. Do primeiro estrañáronme moito as dúas primeiras liñas, adicadas a describir o campo de xogo, que non é outro cousa que un reloxo. Neste caso engadinlle a ilustración.

A saltos polo reloxo. Alice e Bob participan nun xogo que se desenvolve nunha circunferencia dividida  en 12 puntos igualmente espazados. Os puntos están numerados no sentido das agullas dun reloxo, do 1 ao 12. Ambos comezan no punto 12. Alice móvese no sentido das agullas dun reloxo e Bob no sentido contrario. En cada turno do xogo Alice móvese 5 puntos no sentido das agullas do reloxo e Bob móvese 9 puntos no sentido contrario. O xogo remata cando ambos paran no mesmo punto. Cantos turnos lles levará rematar?

Puntos e triángulos. Cantos triángulos distintos se poden debuxar usando tres dos seguintes puntos como vértices? 

Vai agora un da AMC 10, do ano 2004

Diferenza triangular. Na figura ∠ EAB  e   ∠ABC son ángulos rectos. AB=4, BC=6, AE=8 e AC e BE intersécanse en D. Cal é a diferenza entre as áreas dos triángulos  △ABE  e △BDC

Outro do mesmo nivel, pero doutro ano, en concreto, do AMC 10 do ano 2014

 

Catro cubos. Catro cubos de lonxitudes de aresta 1, 2, 3 e 4 están amontoados como se mostra. Cal é a lonxitude da porcións de XY contida no cubo de aresta 3?

Para rematar, un par de problemas do nivel 12. O primeiro deles é do AMC 12 do ano 2011.

Medias. A media aritmética de dous naturais distintos x e y é un número natural de dous díxitos. A media xeométrica de x e y obtense invertendo os díxitos da media aritmética. Cal é o valor de |x-y| ?

A figura do seguinte problema chamoume a atención porque é a dun spinner, ese artefacto que non hai tanto foi obxecto dunha moda efémera, sobre todo entre os rapaces. Collíano polo centro entre dous dedos e non paraban de darlle voltas. Haiche gustos!

 O problema apareceu no AMC 12 do 2012. Neste caso non me gustou a redacción  porque dá demasiados datos e ofrece unha vía para a súa resolución polo que pecha a posibilidade de razoala desde cero, que é o realmente interesante. Por iso ofrezo no "meu spinner" un enunciado alternativo. 

O spinner. A curva cerrada da figura está formada por 9 arcos circulares congruentes, cada un de lonxitude 2π/3 onde cada un dos centros das circunferencias correspondentes está nos vértices dun hexágono regular de lado 2. Cal é a área delimitada pola curva?

O meu spinner. A curva cerrada da figura está formada por 9 arcos circulares congruentes debuxados tomando como centros os 6 puntos marcados con raios de lonxitude 1. Cal é a área delimitada pola curva?

Isto de aquí é unha pequena mostra. Na wiki do Art of Problem Solving hai como estes, a centos.  Dá para entreterse unha boa temporada.