Unha xenialidade do IES de Brión: mulleres matemáticas e xogos

Grazas a este chío de Elena Vázquez Cendón tiven noticia da abrumadora cantidade de actividades que organizaron no IES de Brión para celebrar o Día da nena e a muller na ciencia, 11 de febreiro. Entre elas están a confección desta xenialidade na que se fai un marabilloso percorrido achegándolos 14  mulleres matemáticas con vídeos e pósters de cada unha.  Cando vin e escoitei a Hipatia, a Emmy Noether ou a Florence Nigthingale a falar sobre a súa obra, case caio da cadeira abaixo.  Ademais, de regalo, engándense non poucos xogos coas máis variadas aplicacións.
Se quedamos impresionados con todo este relato de actividades, aínda nos quedan por tratar os proxectos cos que participaron no concurso Wisibilizalas, LuminísTICas no 2019 e Wisibilizalas: Mulleres Galegas, no 2020.
Mil aplausos para os rapaces de 3ºC e 4ºA que colaboraron neste traballo, así como ao resto do alumnado e profesorado, capaces de crear unha xanela que permite entrar a luz e o aire limpo destas mulleres científicas.

Exemplos de problemas para suspender ao alumnado en matemáticas

Se es profesor de matemáticas e aínda che aproban os alumnos, aquí tes unha entrada na que se dan algúns exemplos prácticos de como elaborar preguntas para un exame que ninguén sexa quen de aprobar.
Hai moito que non miro un libro de texto. Quizais sexa por iso que un problema como o seguinte o teña practicamente esquecido, non o sei, e non vou mirar libros de texto para comprobalo porque senón tería que cambiar a redacción deste mesmo parágrafo, incluso a desta mesma frase. Para ser máis exactos, conservo un difuso recordo de que cuestións coma a seguinte trateinas cando estudaba en 2º de BUP segundo a Lei Villar Palasí. Está claro que se algunha vez se abordou algún semellante a este na aula, non debería haber dificultade en resolvelo nun exame. Partimos de que llo propoñemos a un grupo de 4º da ESO, segundo a Lei Wert.

Problema 1A.Determina o ángulo que forman as agullas dun reloxo ás 12:15. (Nota: non son 90º)

Agora ben, se non se trata de traballar con ángulos e coa proporcionalidade, senón que o que pretendemos é suspender ao alumnado, basta un pequeno cambio:

Problema 1B. Que hora, minuto e segundo serán cando se encontren outra vez as dúas agullas dun reloxo despois das 12:00?

Simple, e demoledor para un rapaz de 4º da ESO. Que máis podemos pedir?

Vai agora un problema dun nivel de 3º da ESO, alguén diría que aínda dun curso inferior. Poderíase poñer nun exame coa condición de que algunha vez traballaran na aula con este tipo de medidas, pois se sempre se realizaron problemas con quilómetros, seguro que vai haber bastantes que se bloqueen coa novidade das unidades. Os bloqueos é mellor tratalos na aula, e non deixalos para os exames.

Problema 2A. Dous barcos, A e B, que fan o mesmo percorrido de 18.000 millas de ida e outras tantas de volta, saen a un tempo do porto de Vigo. O barco A viaxa a unha velocidade de 25 nós e o B a 24,5 nós. Cando B chegue de volta, canto tempo levará A no porto? (1 nó= 1 milla / hora)

Hai unha moi boa alternativa para evitar as interferencias ás que facía mención. Basta substituír "millas" por "quilómetros" e "nós" por "quilómetros / hora". En todo caso, se do que se trata é de suspender, outra vez chega cunha mínima variación no enunciado, pero noutro sentido diametralmente oposto, e teremos o fracaso absolutamente asegurado.

Problema 2B. Dous barcos, A e B, que fan o mesmo percorrido de 18.000 millas de ida e outras tantas de volta, saen a un tempo do porto de Vigo. O barco A fai unha media de 30 nós na viaxe de ida e de 20 na de volta. O barco B vai a 24'5 nós nos dous traxectos. Cal do dous chegará antes? ( 1 nó = 1 milla / hora)

Pegamos agora o salto ao bacharelato, poñamos a 2º, cun problema de máximos e mínimos. Creo que o seguinte enunciado xa ten unha dificultade considerable xa que hai que saber manexar con soltura as ecuacións da recta no plano (pero non estamos con cálculo?, pero iso non era de 1º?) e comprender que a variable non vai ser o habitual x, nin tan sequera y, senón que será a pendente. Ademais determinar a función área que se quere maximizar require dunha considerable sucesión de pasos.

Problema 3A. Considera o triángulo determinado polos eixos de coordenadas do primeiro cuadrante e unha recta que pasa polo punto A(4,2). Calcula as dimensións do triángulo de maior menor área

Con todo, pode ser que haxa algúns que consigan meterlle o dente, asi que se o que pretendemos é que ninguén o faga, propoñámoslle este outro, moi semellante (roubado de aquí):

Problema 3B. Considera os cuadriláteros determinado polos eixos de coordenadas do primeiro cuadrante  que ten ángulos rectos nos vértices O(0,0) e A(4,2).  Calcula as dimensións do triángulo rectángulo de maior área que contén o vértice O.

Se non incluímos o gráfico, mellor

Agora en serio
Sei que son un pouco (desafortunadamente, só un pouco) esaxerado, pero teño a convicción de que segue habendo profesorado que procura poñer paus nas rodas dos exames introducindo todas as dificultades que teña na súa man. Chega con introducir calquera pequena dificultade adicional para ir expulsando ao alumnado da aula. Velaí unha extravagante forma de adquirir prestixio profesional: aí vai o profesor que carga a todo o mundo (vs. velaí o que ensina a todo o mundo). Ademais é moi doado proceder deste xeito e sempre hai xustificación pois o profesor ofreceu todas as ferramentas para poder abordar o problema.
Actuar de modo contrario si que ten sentido. En determinados casos pode ser moi produtivo abordar os problemas B anteriores, pero sempre que se faga na aula normal, e non nas probas de avaliación. Pola contra, convén avaliar positivamente resolver ou dar pasos cara a resolución deste tipo de problemas.  De apostar por esta vía temos do noso lado a metodoloxía da "resolución de problemas". Cómpre formar grupos (reducidos) para discutir o problema. O profesor nunca debe dar a solución; a súa misión é outra, a de axudar con preguntas do estilo "cales son os datos?", "cal é o obxectivo?",  "coñeces algún problema semellante?", "e se cambiamos os datos ou simplificamos o problema?", ou a frase máis típica do que fora meu profesor de matemáticas: "iso é como matar un mosquito a canonazos, pensa por que". Nunca digas: "fai isto ou isto outro". Pode ser que non cheguen a resolvelo. Non importa demasiado, se ademais fixeron os problemas tipo A, están nas mellores condicións para enfrontarse a un exame... tipo A.
O alumnado que presenta maiores dificultades de aprendizaxe debería ser quen de acometer a proba porque non só fixo os problemas tipo A, senón que traballou nos do tipo B. Aqueles outros que teñan maiores capacidades, levarán consigo ademais a vantaxe de que as puideron exercitar e desenvolver. Saberán, xa que logo, ben máis que o que poidan mostrar no exame. Só aqueles que non traballaron nin os mínimos, ou que na etapa post-obrigatoria non teñan a capacidade suficiente,  serán os que recollerán suspensos.
E o profesor sae da aula cuns resultados excelentes e un sorriso de orella a orella.

Si, sei que nesta estrada son moi (desafortunadamente, moito) optimista. Pero, cal é a alternativa?

1, 2, 3, 4, 5, parábola!.(e 2)

Na entrada anterior estivemos vendo, baixo as circunstancias acaídas a cada caso, como determinar as parábolas que pasan por un, dous ou tres puntos. Continuaremos nesa liña.

Tres, por fin
O obxectivo será o de resolver o problema seguinte:

Determinar a parábola que pasa por tres puntos  P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), P₃(x₃, y₃) calquera do plano

Xa o temos feito para un caso particular. Precisamente cando os tres puntos dados son os do triángulo equilátero da imaxe.

Estaba xogando co Geogebra que creara para a anterior entrada cando, de súpeto, diante miña se debuxou unha figura coñecida. Foi unha sorpresa agradable e inesperada. Resulta que os eixos de simetría das parábolas tiñan como envolvente a deltoide de Steiner. Como hai algún tempo estivera xogando con esta idea ([1] e [2]) sabía que iso significaba que os eixos da familia de parábolas determinadas por tes puntos eran as rectas de Wallace-Simson dun triángulo. Do triángulo determinado polos puntos P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), P₃(x₃, y₃)? Non, pero ándalle cerca. Explico, e xeneralizo.
Dados tres puntos teremos un triángulo T. Consideremos o triángulo T' determinado polos tres puntos medios. Sobre este último construímos a circunferencia dos nove puntos e, desde cada punto da mesma tiramos as perpendiculares aos tres lados de T'. Os pés destas perpendiculares son colineares; determinan a chamada recta de Wallace-Simson. Esta recta será o eixo da parábola que pasa polos tres puntos de T. Estamos xa nas mesmas condicións que na entrada anterior e que xa temos resolta: trátase de determinar unha parábola sabendo tres puntos e máis o eixo. Todo isto pódese ver de seguida: (podes mover tanto os puntos etiquetados como o punto azul da circunferencia dos 9 puntos)


 
Cando deixamos ver o rastro dos eixos das parábolas irá aparecendo a deltoide de Steiner.

Catro
Trátase, xa se pode adiviñar, de obter a(s) parábola(s) que pasan por catro puntos dados.
A partir da ecuación xeral dunha cónica establecéramos mediante un cambio a dunha parábola calquera:
$$A{ x }^{ 2 }+Bxy+C{ y }^{ 2 }+Dx+Ey+F=0\quad \quad \quad \quad [2]\\\begin{matrix} { a }^{ 2 }=A \\ { c }^{ 2 }=C \end{matrix}\quad entón\quad { B }^{ 2 }=4AC={ \left( 2ac \right)  }^{ 2 }\\ { \left( ax+cy \right)  }^{ 2 }+Dx+Ey+F=0\quad \quad \quad \quad [3]\\ $$
Incluso nun determinado momento, dividindo todo por a² e substituíndo t=c/a, d=D/a², e=E/a², f=F/a²:
$${ \left( x+ty \right)  }^{ 2 }+dx+ey+f=0\\ { x }^{ 2 }+2xyt+y{ t }^{ 2 }+dx+ey+f=0$$
Se nos dan catro puntos P₁, P₂ P₃ e P₄ teriamos un sistema linear de 4 ecuacións con 5 incógnitas (t, t², d, e, f)$${ y }_{ i }^{ 2 }{ t }^{ 2 }+2{ x }_{ i }{ y }_{ i }t+{ x }_{ i }d+{ y }_{ i }e+f=-{ x }_{ i }^{ 2 }\quad \quad i\in \left\{ 1,2,3,4 \right\} $$
Xeométricamente a solución deste sistema será unha recta. Pero resulta que dúas das incóginas están relacionadas (t, t²) por medio da parábola estándar. Como recta e parábola se cortan en, como moito, dous puntos, o sistema linear terá, en todo caso, dúas solucións. Neste caso teremos dúas parábolas pasando por eses catro puntos dados.
Se ben a resolución alxébrica deste problema é conceptualmente simple, a súa traslación a unha fórmula xeral sería tremendamente encerellada. Non será máis doada a súa resolución xeométrica, por iso, coas miñas poucas luces coa aparataxe informática, pensei que non ía ser quen de poder ofrecela. Finalmente, despois de elaborar unha applet que parecía unha arañeira de liñas, acabei por construír a seguinte aplicación



Cinco
Cinco? Imposible. Cinco puntos determinan unha cónica, pero ésta pode ser unha hipérbole ou unha elipse, non ten por que ser unha parábola.
Certo. Pero este apartado só está para explicar o ben que o pasei resolvendo todas as cuestións que estiven presentando aquí. Se hai algo realmente bonito é divertido, son as matemáticas. Velaí que, un, dous, tres, catro, cinco... (pégalle ao play)

1, 2, 3, 4, 5, parábola! (primeira parte)

Un

Imaxe roubada de aquí

As orixes desta entrada están nunha imaxe da anotación "Outro problema de grellas" de J.J. na que se pedía o reconto do número de cadrados polos que pasa ben a función cadrática, ben a función radical, unindo os vértices dun rectángulo de dimensións enteiras.
A min chamoume a atención outra cuestión bastante máis fundamental. Do enunciado despréndese que só hai unha cuadrática pasando por cada punto do plano. Concretamente, dado (x₁, y₁) calquera só hai unha función da forma y=ax² pasando por el. Será aquela para a que
$$a=\frac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 }^{ 2 } } $$
Isto é, cada punto do plano determinará unha parábola, ou non?

Dous
A resposta sería afirmativa, dentro do contexto proposto, no que o extremo inferior do rectángulo coincida co vértice da parábola. Mutatis mutandis, dados dous puntos (x₀, y₀) e (x₁, y₁), sendo o primeiro o vértice, tamén queda determinada unívocamente unha parábola. Na seguinte expresión trasladamos a parábola y=ax² ao vértice (x₀, y₀)
$$y=a{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right)  }^{ 2 }+{ y }_{ 0 }$$
Polo que para determinar a parábola bastaría tomar $$a=\frac { y-{ y }_{ 0 } }{ { \left( x-{ x }_{ 0 } \right)  }^{ 2 } } $$

Tres
Isto tróuxome á memoria algo que lera hai tempo nos boletíns de ENCIGA. Así que fun ao faiado na procura daquel recordo. O que achei alí é, ao meu ver,  un dos capítulos máis interesantes na longa historia desta publicación. Trátase dun diálogo público ente dous autores arredor da seguinte cuestión de xeometría plana: 

Por tres puntos (non aliñados) pasa sempre unha parábola? En caso afirmativo, é única?

O tratamento desta cuestión desenvolveuse nos seguintes artigos:

• Unha aplicación das matrices ó estudio da parábola, por Antón Labraña, Boletín das Ciencias Nº 21 Xaneiro 1995.
• Unha aplicación da simetría ó estudio da parábola, por Antonio Gregorio  Montes, Boletín das Ciencias Nº 42, Febreiro 2000.
• Unha aplicación da escala ó estudio da parábola, por Antón Labraña, Boletín das Ciencias Nº 43, Outubro 2000

O primeiro atranco co que fun bater é que non tiña o artigo do nº 21. Con todo vou aventurar, a partir da información contida nos outros dous, algunhas ideas que se podían tratar nel.
Partamos da función parabólica $$y=a{ x }^{ 2 }+bx+c\quad \quad \quad \quad [1]$$
Parece ser que daquela estaban de moda problemas do tipo:

Determina a parábola que pasa polos puntos P₁(-1,6), P₂(2,3) e P₃(3,10)

No canto de resolver este problema, vou tratar o problema xeral para tres puntos  P₁(x₁, y₁),
P₂(x₂, y₂), P₃(x₃, y₃). Substituíndo estes tres puntos en [1] obteriamos un sistema de tres ecuacións lineares con tres incógnitas, un dos tópicos a tratar en 2º de bacharelato.
$$\begin{matrix} a{ x }_{ 1 }^{ 2 }+b{ x }_{ 1 }+c={ y }_{ 1 } \\ a{ x }_{ 2 }^{ 2 }+b{ x }_{ 2 }+c={ y }_{ 2 } \\ a{ x }_{ 3 }^{ 2 }+b{ x }_{ 3 }+c={ y }_{ 3 } \end{matrix}  $$
Sexa A a matriz de coeficientes do sistema e A* a matriz ampliada cos termos independentes. A discusión do sistema parte de establecer se o determinante de A é nulo o non.
$$detA=\left| \begin{matrix} { x }_{ 1 }^{ 2 } & { x }_{ 1 } & 1 \\ { x }_{ 2 }^{ 2 } & { x }_{ 2 } & 1 \\ { x }_{ 3 }^{ 2 } & { x }_{ 3 } & 1 \end{matrix} \right| $$Estamos fronte ao famoso determinante de Vandermonde, que era moi habitual atopar descontextualizado nas páxinas dos libros de texto do último curso da secundaria. Porén esta forma de presentalo é completamente natural.

$$detA=\left| \begin{matrix} { x }_{ 1 }^{ 2 } & { x }_{ 1 } & 1 \\ { x }_{ 2 }^{ 2 } & { x }_{ 2 } & 1 \\ { x }_{ 3 }^{ 2 } & { x }_{ 3 } & 1 \end{matrix} \right| \begin{matrix} = \\ \begin{matrix} { C }_{ 1 }-{ x }_{ 1 }{ C }_{ 2 } \\ { C }_{ 2 }-{ x }_{ 1 }{ C }_{ 3 } \end{matrix} \end{matrix}\left| \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ { x }_{ 2 }^{ 2 }-{ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 } & { \quad x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } & 1 \\ { x }_{ 3 }^{ 2 }-{ x }_{ 3 }{ x }_{ 2 } & { \quad x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } & 1 \end{matrix} \right| =-\left| \begin{matrix} { x }_{ 2 }\left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right)  & { \quad x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \\ { x }_{ 3 }\left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } \right)  & { \quad x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } \end{matrix} \right| =\\ =-\left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } \right) \begin{vmatrix} { x }_{ 2 } & 1 \\ { x }_{ 3 } & 1 \end{vmatrix}=\left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } \right) $$Cando este determinante non se anule, polo teorema de Rouché-Fröbenius, existirá unha única solución, isto é, teremos unha única parábola pasando por P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) e P₃(x₃, y₃)
Se o detA=0, polo menos un par deses puntos estarán na mesma vertical. Neste caso o sistema será incompatible, pois presupoñemos que os tres puntos dados son distintos,  o cal significa que non existe ningunha parábola pasando por eses tres puntos.
E ata aquí a miña  aventurada reconstrución do artigo de Labraña do Boletín das Ciencias nº 21

Tres?
Claro que isto non significa que tres puntos determinen unha única parábola. Isto era certo únicamente no contexto anterior, no que restrinximos o concepto de "parábola" ao de funcións da forma [1], isto é, parábolas de eixo vertical. Pero que pasaría se traballásemos cunha idea máis xeral de "parábola", admitindo calquera parábola no plano, con calqueira eixo posible? Este é o problema que aborda Antonio Gregorio no seu artigo do nº 42 do Boletín das Ciencias. Faino ofrecendo un contraexemplo. Consideremos os vértices do triángulo equilátero sobre a circunferencia unidade$$P_1(0,-1)\quad \quad \quad P_2\left( \frac { -\sqrt { 3 }  }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 }  \right) \quad \quad \quad P_3\left( \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 }  \right) $$As seguintes tres parábolas pasan por eses tres puntos:$$y-2{ x }^{ 2 }+1=0\\ \frac { -y }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } x-2{ \left( \frac { 1 }{ 2 } x+\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } y \right)  }^{ 2 }+1=0\\ \frac { -y }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } x-2{ \left( \frac { -1 }{ 2 } x+\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } y \right)  }^{ 2 }+1=0$$
E velaquí a fermosa representación gráfica das mesmas:

Entendendo que para cada dirección que escollamos para o eixo teriamos unha parábola pasando por eses tres mesmos puntos, acabariamos cunha familia infinita de parábolas para eses mesmos tres puntos. Nese caso, supuxen eu,  deberiamos ser capaces de obter a colección completa de parábolas a partir dun parámetro.
A ecuación xeral dunha cónica ven dada pola forma cuadrática xeral:$$A{ x }^{ 2 }+Bxy+C{ y }^{ 2 }+Dx+Ey+F=0\quad \quad \quad \quad [2]$$
Consideremos o discriminante B²-4AB. Se é negativo a cónica será unha elipse, se é positivo será unha hipérbole e cando o seu valor é cero teremos a ecuación dunha parábola. Mediante o cambio $$\begin{matrix} { a }^{ 2 }=A \\ { c }^{ 2 }=C \end{matrix}\quad entón\quad { B }^{ 2 }=4AC={ \left( 2ac \right)  }^{ 2 }\\ $$Teremos a seguinte forma para as parábolas coa que poderiamos obter ecuacións practicamente calcadas ás que presentou Antonio Gregorio no Boletín nº 21.
$${ \left( ax+cy \right)  }^{ 2 }+Dx+Ey+F=0\quad \quad \quad \quad [3]\\ $$
Pasemos a substituir nesta expresión as coordenadas dos puntos  P₁, P₂ e P₃ .
$${ { c }^{ 2 }-E+F=0 }\\ \frac { 3 }{ 4 } { a }^{ 2 }-\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } ac+\frac { 1 }{ 4 } { c }^{ 2 }-\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } D+\frac { 1 }{ 2 } E+F=0\quad \quad \quad \quad \quad [4]\\ \frac { 3 }{ 4 } { a }^{ 2 }+\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } ac+\frac { 1 }{ 4 } { c }^{ 2 }+\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } D+\frac { 1 }{ 2 } E+F=0\quad \quad \quad \quad \quad $$Sumando as dúas últimas:$$\frac { 3 }{ 2 } { a }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { c }^{ 2 }+E+2F=0$$
Restando a metade desta última expresión da primeira liña de [4] : $$\frac { -3 }{ 4 } { a }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } { c }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 2 } E=0\\ E=\frac { 1 }{ 2 } \left( { a }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } \right) $$
Substituíndo outra vez na primeria liña de [4]: $$F=E-{ c }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( { a }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } \right) -{ c }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( { a }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } \right)=0 $$
Finalmente, restando as dúas últimas expresións de [4]: $$D=-ac$$Así [3] pasaría a escribirse: $${ \left( ax+cy \right)  }^{ 2 }-acx+\frac { 1 }{ 2 } \left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) +\frac { 1 }{ 2 } \left( { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \right) $$Se agora dividimos esta expresión por a² e substituímos t=c/a, quédanos$${ \left( x+ty \right)  }^{ 2 }-tx+\frac { 1 }{ 2 } \left( 1+{ t }^{ 2 } \right) +\frac { 1 }{ 2 } \left( { 1 }-{ t }^{ 2 } \right)=0 $$Que é, tal e como queriamos, a familia de parábolas pasasndo por P₁, P₂ e P₃ en función dun único parámetro t. Toda esta farramalla alxébrica terá un aspecto visual máis agradable.





Ben, ata o momento só obtivemos as infinitas parábolas que pasan por eses tres puntos concretos. Poderemos estudar o problema de obter todas as parábolas que pasan por tres puntos dados calquera (non aliñados)? Aí é onde nos esperan as sorpresas máis agradables. Xa adianto que na cerna da solución desta cuestión está a deltoide de Steiner! (da que temos falado aquí). Pero isto xa o trataremos noutra entrada.

O rectángulo de Brügner e outros problemas áureos

Cando un bota a vista atrás e se coloca como espectador mirando para cousas que fixo anteriormente, moitas veces ten que torcer o bico. Iso foi o que me pasou cando volvín a repasar unha entrada anterior, Problemas consecutivos, na que quixen ofrecer unha lista de cuestións que tivesen que ver ben co número áureo, ben coa sucesión de Fibonacci. Ao que agora non lle vexo moito sentido é a ocultar de que trataba a entrada, dándolle incluso un título bastante escuro e anódino.
A razón de que volvese a reparar naquela entrada é que no espazo dun par de días fun bater con tres novos (para min) problemas sobre os mesmos tópicos. Así que decidín ampliar a lista de problemas alí comenzada.

Problema 7. Resolve $${ 4 }^{ x }+{ 6 }^{ x }={ 9 }^{ x }$$


Problema 8. Acha x

Problema 9. No seguinte rectángulo calcula cal é a razón a/b
Considera agora que a diagonal mide 1. Demostra entón que a²=b, a³=c, a⁴=d, a⁵=e

Se un se para a pensar un pouco neste último problema verá que, en esencia, é o mesmo que o Problema 8, só que agora os datos serían os seguintes:

 Efectivamente, este triángulo é o da parte superior do rectángulo do Problema 9, e que ten de lados a, b e b+d=1. Así x e b coincidirían. Unha outra curiosidade relacionada con ese rectángulo é que as tres pezas máis grandes dan lugar ao chamado tangram de Brügner, estudado no 1984 por Georg Brügner, matemático da Universidade de Friburgo.

Tangram de Brügner

Con estas tres pezas é posible obter l6 figuras convexas:

Esta última imaxe está sacada do Blog de Calaix +ie, no que lle adicaron dúas entradas ben completas a este tangram: [1] e [2]
Xogando con ese rectángulo ocorréuseme a seguinte cuestión, que nun principio, co xa comentado ata aquí, xa estaría practicamente resolta.
Problema 10. Trataríase de medir a lonxitude do zig-zag confeccionado a partir do rectángulo de Brügner. Sería o debuxado en azul:

A denominación de zig-zag recollina do libro Uses of infinity, de Leo Zippin. Neste texto trátanse e resólvense problemas moi semellantes a este. Un deles consiste na determinación da lonxitude do zig-zag en espiral nun rectángulo áureo. Aquí chameille Problema 11:

Problema 11. Determina a lonxitude da espiral zig-zag construída sobre un rectángulo áureo. 

Unha outra cuestión que non viña no libro de Zippin consistiría en determinar as coordenadas do punto ao que converxe o zig-zag tomando como orixe de coordenadas o vértice inferior esquerdo do rectángulo.

Debo confesar que isto do mundo do número áureo crea adicción. Mentres estaba escribindo esta entrada xa encontrara outra boa colección de curiosidades áureas que ben poderían sumarse a esta que estiven recollendo aquí. Xa será para outra ocasión, se hai folgos.

Que pasa coa lectura científica en galego?

Os 50 títulos máis lidos nos clubs de lecura 17-18

A Rede de Bibliotecas Escolares publicou estes tres últimos anos o listado do 50 títulos máis lidos nos clubs de lectura. Chama moito a atención que entre eses 150 títulos non encontremos ningún de divulgación científica. O caso aínda é moito máis rechamante se temos en conta que xa levamos 6 edicións de celebración "Novembro, mes da ciencia en galego nas bibliotecas" nas que se desenvolven, ou iso se di, toda unha serie de actividades, tales como lecturas nas bibliotecas, difusión de mochilas viaxeiras e a conseguinte multiplicación de entradas nos blogues de Bibliotecas ou de Equipos de Normalización coas máis diversas propostas. Aparentemente todo funciona como unha locomotora. Pero só aparentemente. Se miramos baixo esta capa de maquillaxe decontado comenzaremos a sentir renxer toda a maquinaria.
Botémoslle un ollo ás mochilas viaxeiras. De entre todas escollamos a de Matemáticas de Secundaria. Ten 31 títulos, 28 deles en castelán e os outros 3 en galego (menos dun 10%). Teñamos en conta que se trata dunha das actividades do "Mes da ciencia en galego". Significativamente un dos títulos en galego é precisamente "Alicia no país das marabillas". Aínda que foi escrito por un matemático, non se trata dun libro de divulgación científica, pero explica moi ben a situación. A Xunta, a Consellería de Educación, a Secretaría Xeral de Política Lingüística, a Rede de Bibliotecas, e como ovelliñas unha recua de bibliotecas e incluso de Equipos de Normalización din que se fai lectura en galego de obras de divulgación científica.  A realidade é xusto a contraria; nin hai lectura de ciencia, e moito menos, de ciencia en galego.

Creando un club de lectura matemática

Se eu quixera facer unha mochila viaxeira ou crear un club de lectura matemática en galego, podería facelo? Cal é o panorama? De que libros dispoño? Antes de nada, e para valorar a situación, vou indagar a mesma cuestión no caso de que procurara exclusivamente libros en castelán. Neste caso, as primeiras coleccións que me veñen á cabeza son:

• El mundo es matemático, (2016) colección da RBA de 59 exemplares
• Genios de las matemáticas, (2017) colección da RBA, 59 exemplares
• La matemática en sus personajes, (1999-2018), da editorial Nivola, 54 exemplares

Xa son moitos, pero hai máis? No portal Divulgamat, para o período 2000-2019 temos un total, a día de hoxe, de 947 libros, prácticamente poderiamos facer 31 mochilas viaxeiras con 31 libros de divulgación matemática. Isto danos un punto de referencia para intentar establecer unha comparación co mesmo hábitat, pero agora, por fin, en galego.
Vou comenzar, xa desde o principio, ampliando este hábitat ao incluir tamén aquelas publicacións que teñan como tema a astronomía, e non só as matemáticas. Por comenzar por aquí podemos iniciar a pescuda con *¿A que altura está o ceo? (Alvarellos, 2016) de Jorge Mira. Deste mesmo autor hai outro libro de divulgación xeral pero que contén algún toque de matemáticas, *A ciencia no punto de mira (Auga Editora, 2010). Continuemos con *E fixemos a luz! (USC 2015), de Salvador Bará, que forma parte da colección Biblioteca de divulgación. Serie científica, con poucos, pero aparentemente gorentosos títulos. Dos outros non,sei, pero deste de Salvador Bará si que podo afirmar que é excelente.
Seguindo coa astronomía non podemos deixar de citar a edición do libro de Ramón Mª Aller, Astronomía a ollo ceibe (USC, 2016), que estaba chamado a ser o primeiro libro de divulgación científica en galego, e así se anunciou ao Seminario de Estudos Galegos segundo se indica nunha nova do 20 de maio de 1936 no xornal El  Compostelano. O golpe de estado de 1936 e a posterior dictadura frustaron esta iniciativa, retrasando décadas a apertura da lingua galega ao mundo da ciencia.
De pasar a centrármonos naqueles libros nos que traten dalgún xeito algún tema relacionados coas matemáticas, ou mellor áinda, que traten en exclusiva desta ciencia, teriamos que iniciar a escolma cos libros da "Colección Lemniscata", editados por AGAPEMA e Anaya, agás o último no que Anaya xa non colaborou:
 1. Resolución de problemas. Seminario "Ramón Aller", AGAPEMA-Anaya, 2002  
*2. 13 matemáticos galegos, Ricardo Moreno Castillo, AGAPEMA-Anaya, 2004  
3. Matemáticas para disfrutar,  AGAPEMA-Anaya, 2005  
4. Competicións matemáticas escolares, AGAPEMA-Anaya, 2006  
5. Paseos matemáticos, AGAPEMA-Anaya, 2005  
*6. Un conto xeométrico, Julio Rodríguez Taboada, AGAPEMA-Anaya, 2008
7. Geometría dinámica, INTERGEO, AGAPEMA-Anaya, 2009. Este está escrito en partes en galego e noutras en castelán.  
8. Moodle con Geogebre e unhas pinceladas de Wiris, Grupo Xeodín, AGAPEMA-Anaya, 2011  
9. Estatística no ensino medio, AGAPEMA-Anaya, 2013  
10. O Pórtico da Gloria. Miradas matemáticas, Luís Puig Mosquera, AGAPEMA, 2015

De seguirmos rastrexando publicacións da primeira década do XXI chegaríamos a un oasis nun deserto, *As mulleres nas matemáticas (Bahía, 2008)  de Matilde Ríos Fachal, que hai tempo que está descatalogado. Desta época é o libro de Cecilia Alvarellos, O xornal na clase de matemáticas (Alvarellos, 2009), neste outro aso estamos diante dun manual escolar. 
Hoxe en día está publicándose a colección de Xerais Básicos da Ciencia onde temos as seguintes referencias matemáticas:

• O universo matemático , Antom Labranha, Xerais, 2018, unha especie de libro de texto con contidos propios do bacharelato.
• *Introdución ás relatividades de Einstein de Ramón Vilalta López Xerais, 2018. Ramón Vilalta tamén é o autor doutro moi recomendable libro Astronomía práctica e outras cousas. (Toxosoutos 1999).
• *Mate-glifos , José Nicanor Alonso e Miguel Mirás, Xerais, 2019, un texto do que xa teño falado noutra ocasión.

Vou abrir aquí un capítulo dos materiais descargables. A quen lle temos que agrader unha achega de calidade neste campo é ao Consello da Cultura Galega (CCG). Comenzo cun par de libros de Xurxo Mariño, dous clásicos da divulgación científica. *Os dados do reloxeiro: ciencia amena para mentes inquietas (CCG, 2005) e *Po de estrelas (CCG, 2007). Xa comentei que estaba disposto a abrir a man para poder facer esta escolma o máis ampla posible.  
Textos científicos en galego, 1916-1936 os inicios (CCG, 2016) coordinado por Alfonso Mato, contén os artigos de D. Ramón Mª Aller publicados na revista Logos orixinalmente en galego. Tamén publicaron Verbo da teoría da relatividade restrinxida e xeral (CCG, 2017), de Albert Einstein. Un campo desfortunadamente moi pouco traballado nas publicacións de divulgación científica é o que ten que ver coa historia da ciencia. Outra vez o Consello da Cultura Galega intenta tapar este oco co libro *Álbum da ciencia: 30 nomes e as súas achegas (CCG, 2018) coordinado por Francisco Díaz-Fierros Viqueira, Xosé Antón Fraga e Alfonso Mato. Trátase dun volume fermosísimo que recolle algunhas das contribucións do portal do CCG,  Álbum da ciencia.
De seguido facemos referencia a dúas unidades didácticas, adicadas a dúas grandes figuras galegas nas matemáticas: María Wonenburger, unha matemática adiantada ao seu tempo (Xunta, 2015) de María José Souto Salorio e Ana Dorotea Tarrío Tobar, e Domingo Fontán e a Carta Geométrica de Galicia (CCG, 2018), coordinada por Xosé Antón Fraga e Elena Vázquez Cendón.
Durante unha temporada a Fundación Barrié, en colaboración coa Real Academia Galega de Ciencias, publicaron unidades didácticas adicadas a algún científico destacado:

• Enrique Vidal Abascal (Fundación Barrié-RAGC, 2008)
• Ramón Mª Aller Ulloa (Fundación Barrié-RACG, 2011) 
• Benito Jerónimo Feijóo (Fundación Barrié-RAGC, 2013)

Continuando coas contribucións da RAGC, temos algunhas lecturas na súa Revista:

• Volume XXX, 2011.  Contén o artigo A estadía de José Rodríguez González en Alemaña (1815-1817). Tradución dunha publicación súa de Iván Fernández Pérez  e outro de José Ángel Docobo Durántez, Ramón María Aller Ulloa, pioneiro da investigación astronómica en Galicia.
•  Volume XXI, 2012. Contén o artigo O estado da astronomía en España a comezos do século XX e a eclipse de sol do 17 de abril de 1912 en Galicia de José Ángel Docobo Durántez e outro de Salvador Bará Innovación tecnolóxica e astronomía social na eclipse de sol do 17 de abril de 1912 no Barco de Valdeorras
• Volume XXXV, 2016. Contén un artigo de Iván Fernández Pérez, Novos apuntamentos para a biografía de José Rodríguez González, o matemático do Bermés
• A Ciencia en Galicia, Revista da RAGC nº 37, 2018, adicada a D. Domingo Fontán, que tamén se pode consultar en versión html.

Xa que acabamos de nomear nesta última lista a Iván Fernández e a José Ángel Docobo, non podemos deixar de referenciar o seu libro As Matemáticas e a Astronomía en Galicia, (USC, 2011)
Hai uns poucos libros de matemáticas pero xa de carácter universitario, cítoos aquí por continuar a ampliar a nómina pero sabendo que nunca poderían formar parte dunha escoma divulgativa.

• Topoloxía Xeral. Introducción aos espacios euclidianos, métricos e topolóxicos, (USC, 1999), de Masa Vázquez, Xosé M.
• Matemáticas para Química, (Universidade de Vigo, 2008), de Besada Morais, Manuel et al.
• Matemáticas á Boloñesa, (Universidade de Vigo, 2014), de Besada Morais, Manuel et al. Este manual orientado á docencia tivo que ser modificado para adaptalo á novas normas e esixencias, asi xurdiu:
• Un mar de Matemáticas. Matemáticas para os graos de Ciencias, (Universidade de Vigo, 2016)

Imos pasar aos clásicos. O primeiro deles, o *Sidereus nuncius (MUNCYT, 2010) de Galileo foi traducido ao galego no V centenario da súa publicación. Este non está á venda, mais podemos descargalo legalmente (!) en PDF. Púxeno porque é un dos que recomendo aos meus alumnos a partir de 4º ESO.  A seguinte lista procede da colección Clásicos do pensamento universal, editada polo servizo de publicacións da USC:

• *Unha breve historia do tempo, (USC-Fundación BBVA, 2018), de Stephen Hawking. Este tivo moito éxito de vendas na edición en castelán. Pódese dicir que é divulgativo. O resto dos da colección son "ladrillos" para especialistas. Pódese pensar se ten algún sentido adquirilos para unha biblioteca escolar se van facerse consultas puntuais e dirixidas.
• O sistema de mundo (USC-Fundación BBVA, 2015), de Isaac Newton
• Elementos (USC-Fundación BBVA, 2013), de Euclides, cunha excelente tradución de Ana Gloria Rodríguez Alonso e Celso Rodríguez Fernández, así como cun gorentoso prólogo de José Luís Gómez Pardo, que mesmo podería constituír un libro en sí mesmo. Quen lle dera ter en castelán unha versión dos Elementos coma esta!. Ademais basta premer na ligazón para poder descargalo en PDF.

Hai tamén unha tradución do primeiro libro: Elementos. Libro I (UdV, 2009) feita por José Nicanor Alonso Álvarez e José Montero Reguera, aínda que ésta é descargable A lista de Hilbert (UdV, 2019), de José Nicanor Alonso Álvarez, trátase un libro no que se ofrece a tradución da famosa conferencia de Hibert no II Congreso Internacional de Matemáticas. Seguindo cos clásicos, hai un libro inclasificable, pero moi ben editado, O soño (Huguin e Munin, 2014) de Johannes Kepler, da que ademais podemos ler esta impagable introdución do seu tradutor, Alfonso Blanco Quintela. Algúns divulgadores como Carl Sagan falan deste libro como o primeiro de ciencia ficción da historia. Eu non concordo, del destacaría que foi feito para facer propaganda do heliocentrismo cando a Kepler non lle permitían publicar sobre iso. O texto é pequeniño, 36 páxinas, pero ten unha enorme cantidade de notas (unhas 100 páxinas delas) para quen o queira ler en profundidade.  

En resumo
Pode ser que haxa máis publicacións, e pode haber mellores maneiras de escolmalas, porén, se nos quedamos co relatado ata aquí, o seguinte gráfico pode ser un bo resumo:

Concretando, neste período de 20 anos (1999-2019) só temos 4 libros que cualificar como de divulgación matemática:

• 13 matemáticos galegos, Ricardo Moreno Castillo, AGAPEMA-Anaya, 2004 
  
• Un conto xeométrico, Julio Rodríguez Taboada, AGAPEMA-Anaya, 2008
• As mulleres nas matemáticas ,  Matilde Ríos Fachal, Bahía, 2008
• Mate-glifos , José Nicanor Alonso e Miguel Mirás, Xerais, 2019

Con eles poderiamos facer unha oitava parte dunha mochila viaxeira. De seguir ao mesmo ritmo podería completala dentro de século e medio. Disto conclúese que a edición desta clase de libros é puramente arbitraria e non se enxerga unha continuidade para o futuro. Destes catro libros, o único que podemos conseguir na actualidade é o último.
Por outra banda, aínda que moi escasa, si que hai literatura científica en galego de carácter non especializado. Os seus destinatarios serían maioritariamente os docentes de secundaria. Basta comprobar que boa parte da escolma está formada por material didáctico. Con todo, as necesidades deste tipo de lecturas non están cubertas nin de lonxe e este colectivo ten que fornecerse nas edicións noutras linguas. Velaí que o campo para normalización neste eido está por cubrir en todas as direccións imaxinables. A situación é tan precaria que calquera paso que se dea, é un paso adiante.
Para finalizar vou desvelar o significado dos asteriscos que aparecen por esta entrada. Servíronme para marcar aqueles títulos que poderían formar parte da caixa coa que fornecer un club de lectura matemático. Ademais dos 4 citados hai outros 9 que abeiran os campos da física, a astronomía ou as ciencias naturais. Aínda con todos  eles non se poderían cubrir todos os niveis. Imposible facer un intento para os primeiros cursos da ESO. Noutros casos a imposibilidade é do acceso a materiais que en moitos casos xa tiveron unha difusión bastante limitada. En definitiva, intentar crear un club de lectura de matemáticas en galego é un labor heroico... no caso de que sexa posible. 

O construtor universal de ecuacións de Segner

Teño a convicción de que ninguén, dos poucos que poidan pasar por aquí, vai ser quen de identificar o curioso mecanismo que se reproduce na imaxe. Aínda que o informase de que a lámina está extraída do Volume 33, suplemento 5 da Enciclopedia de Diderot e D'Alembert, seguiría tendo a seguridade de que  o coitado lector seguiría in albis.
O autor do artefacto é Johann Andreas von Segner (1704-1777), o primeiro catedrático de matemáticas de Gotinga. Curiosamente, o instrumento foi ideado a partir dun tópico das matemáticas moi coñecido do alumnado da secundaria, a regra de Ruffini para dividir polinomios por binomios da forma x±a. Nos países de fala inglesa prefieren atribuirlle esta técnica a William Horner (1786-1837), un asiduo colaborador da revista The ladyes' diary; e isto a pesar de que existe a polémica de que Horner non o publicou ata dez anos despois de que o fixera un reloxerio londinense, Theophilus Holdred. Con todo Ruffini anticipárase pois no 1804 recibira un premio nun concurso no que se buscaba un método para achar as raíces dun polinomio.
Tirando máis para atrás tamén foron precursores do método de Horner(?) outros tales como Isaac Newton (1642/3-1727), un tal Sharaf al-Din al-Tusi (1135-1213) (non confundir con Nasir al-Din al-Tusi (1201-1264)), ou mesmo Liu Hui (III d.C.), o editor do libro Os nove capítulos da arte matemática. Parece que o método tiña que ser descuberto, e así sucedeu unha e outra vez.

O método de Ruffini
Consideremos un polinomio de grao n. Se o dividimos por x-x₀ obteremos:
$$P\left( x \right) ={ Q }_{ 0 }\left( x \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 0 }$$
onde Q₀ será un polinomio de grao n-1. Podemos dividir agora este polinomio por x-x₀, e reiterar este procedemento:
$${ Q }_{ 0 }\left( x \right) ={ Q }_{ 1 }\left( x \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 1 }\quad \quad con\quad { Q }_{ 1 }\quad de\quad grao\quad n-1$$ 

$$ { Q }_{ 1 }\left( x \right) ={ Q }_{ 2 }\left( x \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 2 }\quad \quad con\quad { Q }_{ 2 }\quad de\quad grao\quad n-2$$ $$...$$ $${ Q }_{ n-1 }\left( x \right) ={ r }_{ n }\left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ n-1 }\quad con\quad { r }_{ n }\quad de\quad grao\quad 0$$
De aí que, substituíndo aniñadamente as anteriores igualdades, obteñamos:

$$P\left( x \right) ={ Q }_{ 0 }\left( x \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 0 }=\left[ { Q }_{ 1 }\left( x \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 1 } \right] \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 0 }=$$ $$ ={ Q }_{ 1 }{ \left( x \right)  }{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right)  }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }\left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 0 }=...={ r }_{ n }{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right)  }^{ n }+{ r }_{ n-1 }{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right)  }^{ n-1 }+....+{ r }_{ n }$$
Isto último non é outra cousa que o desenvolvemento do polinomio de Taylor do polinomio P(x), polo que
$${ r }_{ k }=\frac { { P }^{ (k }\left( { x }_{ 0 } \right)  }{ k! } \quad \quad k\in \left\{ 0,...,n \right\} $$
Para sacarlle o zume a toda esta farramalla alxébrica o mellor é considerar un caso práctico. Consideremos o seguinte polinomio e dividámolo reiteradamente por x-1:$$P\left( x \right) ={ x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 }+6x-7$$

Polo contado anteriormente, os coeficientes do desenvolvemento de Taylor son o números marcados en grosa. De aí que poidamos escribir o seguinte desenvolvemento:
$$P\left( x \right) ={ \left( x-1 \right)  }^{ 3 }+{ \left( x-1 \right)  }^{ 2 }+5{ \left( x-1 \right)  }+2\quad \quad \quad \quad \quad \left[ 1 \right] $$
Todo ben, pero, e o método para achar raíces, u-lo? Pode non parecelo, pero xa temos medio camiño andado. É fácil comprobar que o polinomio ten unha raíz entre 1 e 2. Sexa x-1=y, entón podemos escribir [1] así:
$$P\left( 1+y \right) ={ y }^{ 3 }+{ y }^{ 2 }+5{ y }+2\quad \quad \quad \quad \quad \left[ 2 \right] $$
Esta nova expresión terá unha raíz entre 0 e 1, isto é, y=z/10+ε, onde z é a primeira cifra decimal da solución. Tomemos entón a aproximación y=z/10. Substituíndo en [2] e simplificando teremos:
$$P\left( 1+\frac { z }{ 10 }  \right) ={ z }^{ 3 }+{ 10z }^{ 2 }+500{ z }+2000\quad \quad \quad \quad \quad \left[ 3 \right] $$
Teñamos en conta que nos interesan para z valores dunha cifra. Debemos procurar, xa que logo, solucións entre 0 e 10. Non é difícil verificar que hai unha solución entre 3 e 4. Agora debemos dividir o polinomio [3] por z-3. Chegados a este punto xa temos unha aproximación da raíz da ecuación orixinal cunha cifra decimal: 1,3. Ademais o procedemento está no mesmo punto no que comenzamos. Con sucesivas aplicacións destes pasos está claro que iremos obtendo aproximacións con máis cifras decimais.

Constructeur Universel d’Équations
Por fin imos intentar explicar o fundamento matemático que sustenta o Constructeur Universel d’Équations de Segner e que como xa comentamos, non é outro que a regra de Ruffini.
O artefacto foi pensado para traballar cun polinomio de grao 3. Aplicando a regra de Ruffini podemos escribir o polinomio P(x)=ax ³+bx ²+cx+d da seguinte forma:

Comenzaremos considerando o segmento OI de lonxitude 1 e un punto X a unha distancia x de O. Perpendicularmente trazaremos unha recta sobre a que marcamos puntos A, B, C, e D a alturas a, a+b, a+b+c e a+b+c+d respectivamente. Os puntos identificados coa mesma letra estarán á mesma altura

Comenzamos trazando o segmento que une D' con C e que corta á recta XZ en M.
Os triángulos D'CC' e MCC'' son semellantes polo que MC''=dx
Engadíndolle o valor de c:
MB''=MC''+C''B''=dx+c

Tracemos o segmento M'B que corta a XZ en N.
Os triángulos M'BB' e NBB'' son semellantes polo que NB''=x(dx+c)
Engadíndolle o valor de b:
NB''+B''A''=x(dx+c)+b

Tracemos agora N'A que corta a XZ en P.
Os triángulos N'AA' e PAA'' son semellantes, de aí que
PA''=x(x(dx+c)+b)
Engadíndolle o valor de a:
PX=PA''+A''X=x(x(dx+c)+b)+a =P(x)













Finalmente, co seguinte applet podemos practicar cun Constructeur Universel d’Équations virtual, o cal non deixa de ter o seu mérito pois hai a sospeita de que, a pesar de que o volume da Enciclopedia no que aparece o deseño do artefacto foi publicado no 1777, non se fixera ningún mecanismo real ata o presentado ano 2000 na exposición  Oltre il compasso. La geometria delle curve museo florentino Il Giardino di Archimede.