Teño a convicción de que ninguén, dos poucos que poidan pasar por aquí, vai ser quen de identificar o curioso mecanismo que se reproduce na imaxe. Aínda que o informase de que a lámina está extraída do Volume 33, suplemento 5 da Enciclopedia de Diderot e D'Alembert, seguiría tendo a seguridade de que o coitado lector seguiría in albis.
O autor do artefacto é Johann Andreas von Segner (1704-1777), o primeiro catedrático de matemáticas de Gotinga. Curiosamente, o instrumento foi ideado a partir dun tópico das matemáticas moi coñecido do alumnado da secundaria, a regra de Ruffini para dividir polinomios por binomios da forma x±a. Nos países de fala inglesa prefieren atribuirlle esta técnica a William Horner (1786-1837), un asiduo colaborador da revista The ladyes' diary; e isto a pesar de que existe a polémica de que Horner non o publicou ata dez anos despois de que o fixera un reloxerio londinense, Theophilus Holdred. Con todo Ruffini anticipárase pois no 1804 recibira un premio nun concurso no que se buscaba un método para achar as raíces dun polinomio.
Tirando máis para atrás tamén foron precursores do método de Horner(?) outros tales como Isaac Newton (1642/3-1727), un tal Sharaf al-Din al-Tusi (1135-1213) (non confundir con Nasir al-Din al-Tusi (1201-1264)), ou mesmo Liu Hui (III d.C.), o editor do libro Os nove capítulos da arte matemática. Parece que o método tiña que ser descuberto, e así sucedeu unha e outra vez.
O método de Ruffini
Consideremos un polinomio de grao n. Se o dividimos por x-x0 obteremos:
$$P\left( x \right) ={ Q }_{ 0 }\left( x \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 0 }$$
onde Q0 será un polinomio de grao n-1. Podemos dividir agora este polinomio por x-x0, e reiterar este procedemento:
$${ Q }_{ 0 }\left( x \right) ={ Q }_{ 1 }\left( x \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 1 }\quad \quad con\quad { Q }_{ 1 }\quad de\quad grao\quad n-1$$
$$ { Q }_{ 1 }\left( x \right) ={ Q }_{ 2 }\left( x \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 2 }\quad \quad con\quad { Q }_{ 2 }\quad de\quad grao\quad n-2$$ $$...$$ $${ Q }_{ n-1 }\left( x \right) ={ r }_{ n }\left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ n-1 }\quad con\quad { r }_{ n }\quad de\quad grao\quad 0$$
De aí que, substituíndo aniñadamente as anteriores igualdades, obteñamos:
$$P\left( x \right) ={ Q }_{ 0 }\left( x \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 0 }=\left[ { Q }_{ 1 }\left( x \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 1 } \right] \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 0 }=$$ $$ ={ Q }_{ 1 }{ \left( x \right) }{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right) }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }\left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 0 }=...={ r }_{ n }{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right) }^{ n }+{ r }_{ n-1 }{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right) }^{ n-1 }+....+{ r }_{ n }$$
Isto último non é outra cousa que o desenvolvemento do polinomio de Taylor do polinomio P(x), polo que
$${ r }_{ k }=\frac { { P }^{ (k }\left( { x }_{ 0 } \right) }{ k! } \quad \quad k\in \left\{ 0,...,n \right\} $$
Para sacarlle o zume a toda esta farramalla alxébrica o mellor é considerar un caso práctico. Consideremos o seguinte polinomio e dividámolo reiteradamente por x-1:$$P\left( x \right) ={ x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 }+6x-7$$
Polo contado anteriormente, os coeficientes do desenvolvemento de Taylor son o números marcados en grosa. De aí que poidamos escribir o seguinte desenvolvemento:
$$P\left( x \right) ={ \left( x-1 \right) }^{ 3 }+{ \left( x-1 \right) }^{ 2 }+5{ \left( x-1 \right) }+2\quad \quad \quad \quad \quad \left[ 1 \right] $$
Todo ben, pero, e o método para achar raíces, u-lo? Pode non parecelo, pero xa temos medio camiño andado. É fácil comprobar que o polinomio ten unha raíz entre 1 e 2. Sexa x-1=y, entón podemos escribir [1] así:
$$P\left( 1+y \right) ={ y }^{ 3 }+{ y }^{ 2 }+5{ y }+2\quad \quad \quad \quad \quad \left[ 2 \right] $$
Esta nova expresión terá unha raíz entre 0 e 1, isto é, y=z/10+ε, onde z é a primeira cifra decimal da solución. Tomemos entón a aproximación y=z/10. Substituíndo en [2] e simplificando teremos:
$$P\left( 1+\frac { z }{ 10 } \right) ={ z }^{ 3 }+{ 10z }^{ 2 }+500{ z }+2000\quad \quad \quad \quad \quad \left[ 3 \right] $$
Teñamos en conta que nos interesan para z valores dunha cifra. Debemos procurar, xa que logo, solucións entre 0 e 10. Non é difícil verificar que hai unha solución entre 3 e 4. Agora debemos dividir o polinomio [3] por z-3. Chegados a este punto xa temos unha aproximación da raíz da ecuación orixinal cunha cifra decimal: 1,3. Ademais o procedemento está no mesmo punto no que comenzamos. Con sucesivas aplicacións destes pasos está claro que iremos obtendo aproximacións con máis cifras decimais.
Constructeur Universel d’Équations
Por fin imos intentar explicar o fundamento matemático que sustenta o Constructeur Universel d’Équations de Segner e que como xa comentamos, non é outro que a regra de Ruffini.
O artefacto foi pensado para traballar cun polinomio de grao 3. Aplicando a regra de Ruffini podemos escribir o polinomio P(x)=ax 3+bx 2+cx+d da seguinte forma:
Comenzaremos considerando o segmento OI de lonxitude 1 e un punto X a unha distancia x de O. Perpendicularmente trazaremos unha recta sobre a que marcamos puntos A, B, C, e D a alturas a, a+b, a+b+c e a+b+c+d respectivamente. Os puntos identificados coa mesma letra estarán á mesma altura
Comenzamos trazando o segmento que une D' con C e que corta á recta XZ en M.
Os triángulos D'CC' e MCC'' son semellantes polo que MC''=dx
Engadíndolle o valor de c:
MB''=MC''+C''B''=dx+c
Tracemos o segmento M'B que corta a XZ en N.
Os triángulos M'BB' e NBB'' son semellantes polo que NB''=x(dx+c)
Engadíndolle o valor de b:
NB''+B''A''=x(dx+c)+b
Tracemos agora N'A que corta a XZ en P.
Os triángulos N'AA' e PAA'' son semellantes, de aí que
PA''=x(x(dx+c)+b)
Engadíndolle o valor de a:
PX=PA''+A''X=x(x(dx+c)+b)+a =P(x)
Finalmente, co seguinte applet podemos practicar cun Constructeur Universel d’Équations virtual, o cal non deixa de ter o seu mérito pois hai a sospeita de que, a pesar de que o volume da Enciclopedia no que aparece o deseño do artefacto foi publicado no 1777, non se fixera ningún mecanismo real ata o presentado ano 2000 na exposición Oltre il compasso. La geometria delle curve museo florentino Il Giardino di Archimede.
De aí que, substituíndo aniñadamente as anteriores igualdades, obteñamos:
$$P\left( x \right) ={ Q }_{ 0 }\left( x \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 0 }=\left[ { Q }_{ 1 }\left( x \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 1 } \right] \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 0 }=$$ $$ ={ Q }_{ 1 }{ \left( x \right) }{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right) }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }\left( x-{ x }_{ 0 } \right) +{ r }_{ 0 }=...={ r }_{ n }{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right) }^{ n }+{ r }_{ n-1 }{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right) }^{ n-1 }+....+{ r }_{ n }$$
Isto último non é outra cousa que o desenvolvemento do polinomio de Taylor do polinomio P(x), polo que
$${ r }_{ k }=\frac { { P }^{ (k }\left( { x }_{ 0 } \right) }{ k! } \quad \quad k\in \left\{ 0,...,n \right\} $$
Para sacarlle o zume a toda esta farramalla alxébrica o mellor é considerar un caso práctico. Consideremos o seguinte polinomio e dividámolo reiteradamente por x-1:$$P\left( x \right) ={ x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 }+6x-7$$
$$P\left( x \right) ={ \left( x-1 \right) }^{ 3 }+{ \left( x-1 \right) }^{ 2 }+5{ \left( x-1 \right) }+2\quad \quad \quad \quad \quad \left[ 1 \right] $$
Todo ben, pero, e o método para achar raíces, u-lo? Pode non parecelo, pero xa temos medio camiño andado. É fácil comprobar que o polinomio ten unha raíz entre 1 e 2. Sexa x-1=y, entón podemos escribir [1] así:
$$P\left( 1+y \right) ={ y }^{ 3 }+{ y }^{ 2 }+5{ y }+2\quad \quad \quad \quad \quad \left[ 2 \right] $$
Esta nova expresión terá unha raíz entre 0 e 1, isto é, y=z/10+ε, onde z é a primeira cifra decimal da solución. Tomemos entón a aproximación y=z/10. Substituíndo en [2] e simplificando teremos:
$$P\left( 1+\frac { z }{ 10 } \right) ={ z }^{ 3 }+{ 10z }^{ 2 }+500{ z }+2000\quad \quad \quad \quad \quad \left[ 3 \right] $$
Teñamos en conta que nos interesan para z valores dunha cifra. Debemos procurar, xa que logo, solucións entre 0 e 10. Non é difícil verificar que hai unha solución entre 3 e 4. Agora debemos dividir o polinomio [3] por z-3. Chegados a este punto xa temos unha aproximación da raíz da ecuación orixinal cunha cifra decimal: 1,3. Ademais o procedemento está no mesmo punto no que comenzamos. Con sucesivas aplicacións destes pasos está claro que iremos obtendo aproximacións con máis cifras decimais.
Constructeur Universel d’Équations
Por fin imos intentar explicar o fundamento matemático que sustenta o Constructeur Universel d’Équations de Segner e que como xa comentamos, non é outro que a regra de Ruffini.
O artefacto foi pensado para traballar cun polinomio de grao 3. Aplicando a regra de Ruffini podemos escribir o polinomio P(x)=ax 3+bx 2+cx+d da seguinte forma:
Comenzaremos considerando o segmento OI de lonxitude 1 e un punto X a unha distancia x de O. Perpendicularmente trazaremos unha recta sobre a que marcamos puntos A, B, C, e D a alturas a, a+b, a+b+c e a+b+c+d respectivamente. Os puntos identificados coa mesma letra estarán á mesma altura
Comenzamos trazando o segmento que une D' con C e que corta á recta XZ en M.
Os triángulos D'CC' e MCC'' son semellantes polo que MC''=dx
Engadíndolle o valor de c:
MB''=MC''+C''B''=dx+c
Tracemos o segmento M'B que corta a XZ en N.
Os triángulos M'BB' e NBB'' son semellantes polo que NB''=x(dx+c)
Engadíndolle o valor de b:
NB''+B''A''=x(dx+c)+b
Tracemos agora N'A que corta a XZ en P.
Os triángulos N'AA' e PAA'' son semellantes, de aí que
PA''=x(x(dx+c)+b)
Engadíndolle o valor de a:
PX=PA''+A''X=x(x(dx+c)+b)+a =P(x)
Finalmente, co seguinte applet podemos practicar cun Constructeur Universel d’Équations virtual, o cal non deixa de ter o seu mérito pois hai a sospeita de que, a pesar de que o volume da Enciclopedia no que aparece o deseño do artefacto foi publicado no 1777, non se fixera ningún mecanismo real ata o presentado ano 2000 na exposición Oltre il compasso. La geometria delle curve museo florentino Il Giardino di Archimede.
Ningún comentario:
Publicar un comentario