Un problema de Kíiv

Nestes días Ucraína é o gran foco de atención mundial. Desafortunadamente éo porque nese espello reflíctese a cara máis aborrecible do ser humano: morte, destrución e guerra con consecuencias imprevisibles pero sempre cargadas de dor. A invasión mediática é tal que incluso desde os lugares máis alonxados  as insitucións máis distanciadas do conflito viraron a súa mirada cara Ucraína. Foi o caso da Real Academia Galega, en concreto do seu Seminario de Onomástica, que se preocupou pola forma que deberían ter na nosa lingua os topónimos ucraínos. O caso máis rechamante quizais sexa o da capital, que ata o momento coñeciamos a través da súa adaptación rusa, Kiev, pero que a partir de agora deberemos escribir, Kíiv, a súa transliteración da pronuncia autóctona do nome.

E que ten que ver todo isto coas matemáticas? O parágrafo anterior serve para explicar a discrepancia de grafías entre o título da entrada e a do libro ao que me vou referir, From Erdös do Kiev: Problems of Olympiad Caliber. O seu autor é, nin máis nin menos, que o canadiano Ross Honsberger (1929-2016), responsable dunha boa colección de diamantes, xemas e delicias matemáticas. O libro, está claro, recolle problemas de distintas competicións matemáticas e, efectivamente, unha delas foi unha olimpíada celebrada en Kíiv no 1954. O comentario explícto de Honsberger de que o problema que recolle se lle propuxera a estudantes de 9º grao (equivalente ao noso 3º da ESO) incita a que pensemos que é demasiado difícil para este nivel. Presentamos por fin o enunciado:

Inscríbese unha circunferencia nun triángulo e circunscríbese un cadrado a esa circunferencia. Demostra que máis da metade do perímetro do cadrado está dentro do triángulo.

Dito doutro xeito, e facendo referencia ao seguinte applet, hai que demostrar que as liñas vermellas suman unha lonxitude maior que as verdes:

Reflexionando sobre o problema, se no canto de considerar un cadrado tomamos outro polígono regular de máis lados, parece que o resultado debe seguir verificándose pois ese polígono regular cingue máis estreitamente a circunferencia polo que parece que debería estar máis dentro do triángulo. En conclusión unha maior parte do perímetro do polígono será interior ao triángulo. Isto non sucede se o polígono fose un triángulo. Basta ver a seguinte representación con triángulos equiláteros.

Aquí é obvio que o perímetro exterior ao triángulo (en verde) duplica ao perímetro interior (en vermello).

A solución que nos ofrece Honsberger fai uso dun fermoso e evidente resultado:

Nun triángulo rectángulo a diferenza entre a suma dos catetos e a hipotenusa é igual ao diámetro do incírculo.

Basta con botarlle unha ollada á seguinte figura para confirmalo:

Deixo nas mans dos poucos que poidan pousar os ollos nesta entrada o traballo de completar a demostración do problema de Kíiv.