Recuncando en Alcuíno

Non é esta a primeira vez que neste blogue se fai referencia a Alcuíno de York (ca. 735, 804), autor dun libriño de Problemas para a instrución dos mozos que, polo que se ve, dá bastante do que falar. Nesta ocasión recollo un dos últimos problemas deste libro, ao que non lle prestara ningunha atención no seu día, posiblemente porque me parecera carente de sentido.

O problema dun certo pai de familia. Un certo pai de familia mandou transportar 90 modios de trigo dunha casa súa a outra que quedaba a 30 leguas. O total dese trigo debe ser acarrexado por un camelo en tres viaxes, en cada unha das que carga 30 modios. Ademais o camelo come un modio por cada legua. Diga quen queira, cantos modios quedaron?

Se o camelo come un modio de trigo por legua, ao cabo das 30 leguas non deixará nada dos 30 modios de trigo na segunda casa e ademais non terá subministro de comida para a volta. Parece que este problema de Alcuíno non ten xeito. Con todo, a solución que ofrece o propio autor pode aclarar bastante as características do que se está a propoñer así como un modo de obter a resposta. Velaquí:

Solución: na primeira viaxe o camelo levou 30 modios ata quedar a 10 leguas do lugar [de chegada]. Comeu por cada legua un modio, isto é, 20 modios, e deixou 10...

O tradutor do libro comenta que a pregunta non está ben formulada. Ademais sobreenténdese un aspecto que non ten sentido: que na viaxe de volta o camelo non consume nada. Impoñer que deba realizar 3 viaxes resulta demasiado artificioso. Reformulemos o problema e, para que o enunciado resulte máis coherente engadamos entre as condicións que o camelo non pode transportar máis de 30 modios en ningún momento.

Problema do camelo. Un camelo debe transportar 90 modios de trigo dunha casa a outra que queda a 30 leguas. O camelo nunca pode levar unha carga superior a 30 modios. Ademais o camelo come un modio por cada legua. Con cantos modios pode chegar á segunda casa?

Recollendo a proposta de Alcuíno, na primeira viaxe deixa 10 modios a 10 leguas de distancia do punto de partida e gasta os 20 restantes no camiño de ida e volta. Se na segunda viaxe leva outros 30 modios, ao cabo das 10 primeiras leguas pode recoller os que deixou na primeira viaxe.  En caso contrario chegaría con facer unha viaxe de ida cos 90 modios. Por outra banda, sabendo que na segunda xornada vai recoller o que deixou na primeira, nesta terá que percorrer polo menos 10 leguas. Se lle chamamos x á distancia máxima á que chega na primeira viaxe, deixará no camiño 30-2x modios que recollerá na segunda vez, cando teña andado 30-x leguas. Polo tanto a suma destas dúas cantidades non pode superar os 30 modios de carga, $$\left( 30-2x \right) +\left( 30-x \right) \le 30\quad \Longrightarrow \quad x\ge 10$$

Como ademais nos interesa que o valor de x sexa o mínimo posible, pois esa distancia tradúcese en consumo do camelo, o mellor valor para x é o de 10, tal e como apunta Apolonio na súa solución. Volvendo a facer a mesma análise para a segunda viaxe teriamos que o segundo día chegaría ata unha distancia de y=10+b leguas do punto de partida polo que nese punto deixaría 20-2b modios para a última xornada. Outra vez, a imposibilidade de levar unha carga maior a 30 modios lévanos a que $$\left[ 30-\left( 10+b \right)  \right] +\left( 20-2b \right) \le 30\quad \Longrightarrow \quad b\ge \cfrac { 10 }{ 3 }  $$

Volvendo a tomar a desigualdade como igualdade teriamos que finalmente o camelo chegaría ao seu destino final con 40/3=13,3333...  modios de trigo, a maior cantidade posible.... ou non?

Pode mellorarse a proposta de Alcuíno? Antes de seguir lendo eu invitaría a que o eventual lector intentara pegarlle unha volta.

...........

....................

................................

..........................................

......................................................

................................................................

..........................................................................

.....................................................................................

Lembremos que x= leguas percorridas na primeira viaxe. Así deixabamos depositado no camiño 30-2x modios de trigo. Pero agora non os imos recoller todos na segunda viaxe, senón que os imos repartir entre as dúas que quedan: 15-x de cada vez. Chamémoslle agora y= leguas percorridas na segunda viaxe. Así, nesta segunda xeira pode deixar depositados outros (30-2y)+(15-x)=45-x-2y modios. A condición de que a carga máxima é de 30 modios en todo momento lévanos, xa que logo a:$$\left( 30-x \right) +\left( 15-x \right) \le 30\quad \Longrightarrow \quad x\ge \cfrac { 15 }{ 2 } \\ \left[ \left( 30-y \right) +\left( 15-x \right)  \right] +\left( 45-x-2y \right) \le 30\quad \Longrightarrow \quad 3y+2x\ge 60$$

Igual que no caso anterior convennos tomar as desigualdade como igualdades para que o gasto do camelo sexa o mínimo posibe. Isto leva a que $$x=\cfrac {15}{2}\quad\quad\quad y=\cfrac {25}{2}$$

Así comeza a 3ª viaxe.
Non confundir as lonxitudes cos pesos dos modios

Isto fai que na última viaxe, nos puntos x e y o camelo teña unha provisión de 15/2 de modios de trigo. Dito doutro xeito, cando o camelo chega a estes puntos volve a cargarse coa máxima carga de 30 modios. De aí que chegue ao seu destino final cun total de 15 modios. Asi superemos a proposta de Alcuíno e finalizamos o traxecto coa maior cantidade posible... ou non?

Pode mellorarse esta cantidade? Antes de seguir lendo eu invitaría a que o eventual lector intentara reflesionar sobre a cuestión.

...........

....................

................................

..........................................

......................................................

................................................................

..........................................................................

.....................................................................................

E que sucede se temos en conta a posibilidade de abastecer ao camelo con trigo tanto no camiño de ida como no de volta?

O importante vai ser contar o  número de veces que o camelo pasa polos puntos x e y. Polo punto x pasará 5 veces se facemos o reconto así: 1= chega por primeira vez, 2= marcha por primeira vez (aquí fago un pequeno abuso de linguaxe co fin de ter en conta o consumo do camelo na volta), 3= pasa na ida da segunda viaxe, 4=pasa na volta da segunda viaxe e 5= pasa na ida da terceira viaxe. Isto implica que x terá que ser a quinta parte de 30: x=6. Polo punto y pasa 3 veces: 1=ida da segunda viaxe, 2=volta da segunda viaxe e 3= volta da terceira viaxe. Polo tanto b=10.

Vese mellor todo o proceso no seguinte esquema. O camelo chegaría á segunda casa cun total de 16 modos. Hai quen dea máis?

O camelo mira pasmado todo o proceso

Puiden ter posto esta solución de principio, pero quixen escribir (case) todas as voltas que eu e o camelo tivemos que dar ata chegar a esta resposta. 

O problema do jeep

Cando resolvemos un problema como o anterior só demos un paso cara a proposta e resolución de moitos outros. Que sucedería, por exemplo, se no canto de dispormos de 90 modios tivesemos 120, 150,... ou outra cantidade? En esencia este é o problema do jeep:

Problema do jeep. Nunha base fixa hai n unidades de combustible. Dispoñemos dun jeep que pode levar ata 1 unidade de combustible, e nunca máis. Cun consumo constante o jeep gasta 1 unidade de combustible por unidade de distancia. En calquera punto do camiño pode deixar calquera cantidade de combustible ou recoller calquera cantidade deixada nunha viaxe anterior. combustible. Cal é a máxima distancia que se pode alcanzar?

Poderiamos incluso facer a pregunta contraria. O jeep podería chegar a unha distancia de 2 unidades da base? e de 3? Tamén cabería investigar a cantidade de combustible necesario para chegar a unha distancia determinada.

Hai unha variante do problema do jeep consistente en impoñer a condición de que o jeep volva sempre á base, incluso despois da última viaxe. Agora é máis custoso avanzar. Será agora posible chegar a 2 ou 3 unidades de distancia?  Para curiosos, o blogue Futyliti closet ofrece unha resposta moi harmónica a estas cuestións.

Un problema ou un chiste?

Do seguinte problema gustoume moito o relato co que se presenta pois non é o habitual nas matemáticas, seco, duro e preciso. Tal e como se presenta ten máis o estilo dun chiste que dun problema de matemáticas. 

O problema da motocicleta. Unha pista circular nun deserto debe ser patrullada. Un explorador e unha motocicleta serán transportados en helicóptero a algún punto da pista, e o explorador debe facer un circuíto completo no sentido das agullas do reloxo  na motocicleta, que ten un tanque de 1 litro. O piloto do helicóptero dille ao explorador: "Teño boas e malas noticias". "Cales son as malas noticias?" "O tanque desta motocicleta está baleiro". "Oh ! E cales son as boas noticias? “A boa noticia é que hai latas de gasolina colocadas ao longo da pista, e xuntas conteñen 1 litro de gasolina, que é suficiente gasolina para que vostede e esta motocicleta circulen pola pista unha vez. Aquí hai un mapa que mostra onde están as latas e canta gasolina contén cada unha. Onde queres que che deixe?"

A narración do problema non dá mais pistas sobre como é o mapa. Será posible que se poidan colocar as latas de gasolina nunha disposición tal que o explorador non poida facer o circuíto? En todo caso, con tan escasa información poderemos responder nalgún sentido? Sorprendentemente, podemos dar resposta a estas cuestións. Veremos que, independentemente da disposición e cantidade de latas, sempre se pode finalizar o circuíto e sempre se pode determinar o punto (ou puntos) desde o que debemos comezalo.

Cando o explorador ve o mapa bastaría con que escollera un punto calquera do mesmo como inicio do circuíto e podería trazar un gráfico como o seguinte no que se iría representando a cantidade de gasolina que ten a motocicleta a medida que vai facendo o percorrido. En realidade vai ter que comezar nun punto no que haxa unha lata de gasolina, pero para trazar o gráfico pode comenzar en calquera punto. Cada vez que chega a unha lata, recarga o tanque e isto apreciámolo no gráfico cunha subida vertical. 

No caso do gráfico representado aquí comezouse desde un punto intermedio entre latas polo que ao principio o tanque da motocicleta ten cantidades negativas de gasolina. Comezar na lata situada no punto máis baixo é equivalente a desprazar o eixo horizontal á liña de puntos. Se o explorador comeza pola lata representada no punto vermello vai poder completar o circuíto. Como o tanque da motocicleta está baleiro e gasta todo o seu contido no circuíto, o punto final do gráfico vai ter que estar á mesma altura que o inicial. 

Co estudo desta representación fica claro que sempre imos poder practicar este procedemento. Polo tanto sempre será posible realizar o circuíto.

Bonito problema non? E bonita solución tamén. Todo o mérito é de James Propp, pois tanto o problema como a solución recollinos do seu blogue, Matemathical Enchantements.