Resolvendo ecuacións de segundo grao con René Descartes

Recordo que o temario de oposicións ao que tiven que preparar constaba de 85 temas. Durante varios meses fun preparando moitos deles, ata que me fartei. Debía ter uns 60 preparados, e botando unhas poucas contas, parecía un esforzo inútil seguir preparando temas e temas tendo presente cal era o sistema á hora de escoller un para a chamada encerrona.
Escollíanse ao chou 3 temas dos que o opositor podía preparar un á súa elección. Polo tanto, con 60 temas na faltriqueira, a probabilidade de que ao sacar 3 polo menos un deles fose un dos preparados sería $$1-\frac { \left( \begin{matrix} 25 \\ 3 \end{matrix} \right) }{ \left( \begin{matrix} 85 \\ 3 \end{matrix} \right) } =1-\frac { 25\cdot 24\cdot 23 }{ 85\cdot 84\cdot 83 } =1-0.0233=0.9767$$
Con prácticamente un 98% de probabilidades de que no sorteo da encerrona me tocara un tema preparado adiqueime, por fin, a gozar das matemáticas. Nos meses anteriores á oposición metéralle o dente a algúns libros sobre a historia das matemáticas. Recordo que foi daquela cando lera a Historia de la matemática de Carl B. Boyer,  El fracaso de la matemática moderna, de Morris Kline ou Ideas de espacio, de Jeremy Gray. Isto permitiume preparar a conciencia unha terna de temas máis, un sobre a historia da álxebra, outro sobre a da xeometría e un outro sobre o desenvolvemento da lóxica e a crise de fundamentos.
O día da proba era un 26 de decembro. Moi cedo pola mañán, preséntome ante o tribunal. Teño que meter a man nunha bolsa que contiña 85 boliñas, cada unha correspondente a un tema. Saco a primeira con bastante mala sorte, pois era dun dos temas que non preparara. Ao sacar a segunda non podo crer na miña mala sorte. Tampouco correspondía aos meus temas. Aínda que continuaba habendo moitas máis posibilidades de escoller unha bóla das boas, xa non podía sentir outra cousa que unha enorme anguria. Tiña que sacar unha terceira bóla. A última correspondíase co tema de historia da álxebra. Nun intre a miña desesperación convertérase por completo en ledicia.
Da exposición que fixen recordo sobre todo un aspecto que escollera porque era presumiblemente trasladable á aula. Trataba sobre a ecuación de segundo grao, que aparece obsesivamente, explícita ou implícitamente, por todo o currículo de secundaria. Un momento crucial no desenvolvemento da álxebra foi a publicación da Xeometría de Descartes. Neste libro ofrécese unha desas grandes ideas da historia das matemáticas, coñecida hoxe como xeometría analítica.
Ata ese momento a matemática tiña dúas grandes ramas, independentes e ben diferenciadas. Unha delas era a xeometría clásica, herdada dos gregos. A outra era a álxebra retórica árabe que foi evolucionando durante a Idade Media de man dos cousistas a unha álxebra sincopada. Descartes mostra que álxebra e xeometría están vencelladas por medio da xeometría analítica. Como comprobación da potencia desta nova forma de entender as matemáticas resolve un problema con trece séculos de antigüidade, o problema de Pappus, que pode enunciarse así: dadas catro rectas r₁, r₂, r₃, r₄ e catro ángulos trátase de encontrar o lugar xeométrico de cada un dos puntos tales que o produto das distancias desde eses puntos a r₁ e r₂  é igual ao produto das distancias a  r₃ e r₄ . Este problema, xeneralizado a n rectas, é o que resolve Descartes para dar mostra da potencia do seu método. Pero antes de estudar este problema Descartes trata a cuestión da resolución das ecuacións de segundo grao como primeira aproximación ao seu método, un método que explica así:

inicialmente debe supoñerse efectuada a resolución, dando nome a todas a liñas que se estime necesarias para a súa construción, tanto as que son descoñecidas como as que son coecidas. De seguido, sen establecer distinción entre as las coñecidas e as descoñecidas, debemos descifrar o problema [...] ata que se identifique un medio de expresar unha mesma cantidade de dúas formas [...]. Deben acharse tantas ecuacións como liñas descoñecidas se supuxeron.

A resolución das ecuacións de 2º grao na Xeometría de Descartes
Nos libros de texto preséntase normalmente un tema sobre polinomios ou expresións alxébricas que consiste no traballo no desenvolvemento de destrezas alxébricas descontextualizadas. Quizais haxa que facer algo dese labor, pero creo que convén que sexa o mínimo posible. Pola contra non han de faltar ocasións nas que haxa que remexer coas expresións alxébrica. Aquí vai un exemplo, que espero que sexa algo máis que iso.
Para achegarnos ao que nos propón Descartes nas primeiras páxinas da Xeometría, partamos da forma xeral dunha ecuación de 2º grao. $$a{ x }^{ 2 }+bx+c=0$$
Sempre podemos reducir a ecuación a outra que teña a unidade como coeficiente do termo cadrático. Basta con dividir por a:
$${ x }^{ 2 }+\frac { b }{ a } x+\frac { c }{ a } =0$$
En 3º da ESO trátase a relación da suma (S) e o produto (P) das dúas solucións (x₁ e x₂ ) desta ecuación cos seus coeficientes:
$${ x }^{ 2 }+\frac { b }{ a } x+\frac { c }{ a } =(x-{ x }_{ 1 })\cdot (x-{ x }_{ 2 })={ x }^{ 2 }-({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 })x+({ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 })={ x }^{ 2 }-Sx+P=0$$
Tomando s e p como os valores absolutos de S e P respectivamente chegamos á forma en que Descartes nos presenta a ecuación de segundo grao.
Como os coeficientes poden tomar signos positivos ou negativos, entón teremos estas catro posibilidades:
$${ x }^{ 2 }\pm sx\pm p=0$$

Esquema da Xeometría de Descartes

Estudemos o caso no que os dous signos son negativos: $${ x }^{ 2 }-sx-p=0$$
Tracemos unha circunferencia  LOP de diámetro s. Nun punto da mesma trazamos un segmento tanxente LM que teña como lonxitude a raiz cadrada de p. A recta NM cortará á circunferencia en dous puntos O e P.
A solución da ecuación é OM. Trataríase de que co esquema que aquí se reproduce o alumnado verificase alxébricamente que estamos no certo.
[Nota: pódese xogar coa aplicación introducindo outros valores para s e p]



Consideremos agora o caso: $${ x }^{ 2 }+sx-p=0$$
Sobre o mesmo esquema de antes agora a solución que nos ofrece Descartes é o segmento PM. Non é nada dificil, sobre todo despois de feito o apartado anterior, de comprobar alxébricamente que a lonxitude PM é solución da ecuación.




O último caso estudado por Descartes é $${ x }^{ 2 }-sx+p=0$$
Agora o esquema é algo distinto. Comenzamos coma antes, debuxando a mesma circunferencia e o mesmo segmento tanxente. Pero desde M trazamos unha perpendicular cortando á circunferencia en dous puntos Q e R e determinándose así dúas solucións QM e RM. Tamén se trataría de propoñer ao alumnado a verificación de que estas liñas resolven a ecuación.

 

extracto da Xeometría de Descartes

Descartes non indica nada sobre a suma e o produto das solucións. Se aquí o escribín desta maneira foi porque ao rematar este traballo pódese comentar como as solucións poden obterse como combinación de sumas, produtos ou radicais cadrados de S e P. Apuntamos así na dirección en que houbo que traballar para dar resposta a un dos máis importantes problemas das matemáticas, o da resolución das ecuacións polinómicas.
Este tratado de Descartes é plenamente moderno desde o punto de vista notacional. Foi Descartes quen puxo de moda escribir as incógnitas coas últimas letras do abecedario e reservar as primeiras para os coeficientes. De lermos hoxe a Xeometría non teriamos dificultade algunha por mor da notación. No extracto comentado aquí a única diferenza é o símbolo da igualdade (unha especie de 8 deitado) e que en ocasións, no canto de escribir b², escribe b∙b.
Estas tres aplicacións poden usarse para  resolver ecuacións cadráticas sen ter que botar man da fórmula. Por outra banda, non están esgotadas as cuestións que se poden traballar. Por exemplo, no último caso, que pasa se o segmento LM > LN?, e se é igual?
Podemos chamar a atención pola descomposición do problema en tres casos. É o prezo que hai que pagar por facer un tratamento xeométrico do mesmo. Isto era o habitual nos tratados da época, tanto por esta razón como pola aversión ao uso de cantidades negativas. Neste texto xa se empregan con naturalidade os negativos, ademais Descartes ofrécenos as versións alxébricas das solucións de cada un dos casos que, por teren unha forma tan semellante, están a un paso dun tratamento puramente alxébirco e unificador.
Unha última cuestión. Antes apuntaramos que a presentación que facía Descartes permitiría estudar catro casos, e só se fixo o de tres. Que pasa co outro?