O xogo euclidiano

O xogo xeométrico 

Para  este xogo cómpre que teñamos un xeoplano de Gattegno no que delimitaremos un rectángulo. Por poñer un exemplo, consideremos o seguinte de dimensións 14×4

 

Participan dous xogadores. O primeiro pode pintar tantos cadrados da menor das dimensións como queira. No noso caso trátase de marcar cadrados 4×4. O primeiro xogador podería pintar 1, 2 ou 3 cadrados. Na seguinte partida marca os 3 cadrados polo que sobra un rectángulo de 2×4. É a quenda do segundo xogador que agora poderá marcar cadrados 2×2. Como marcou os dous cadrados vermellos gañará, pois o outro non pode continuar a partida.

Velaquí outra partida nun taboleiro 14×9 na que volve a gañar o segundo xogador

Estas imaxes están sacadas de Cut the Knot

O xogo aritmético

Tamén temos a posibilidade de xogar partidas usando unicamente os valores das dimensións do rectángulo. Deste xeito comezamos cun par de números naturais (a,b) En cada paso o xogador pode restar o menor do maior cantas veces queira, sempre que o resultado sexa estritamente positivo. Se supoñemos, por exemplo, que a<b unha xogada consistirá en pasar de (a,b) a (a, b-pa) sendo tamén b-pa un enteiro estritamente positivo. Gañará aquel que consiga que os dous números sexan iguais. Na seguintes series desenvólvense as partidas anteriores e tamén se ofrece un exemplo doutro par de novas partidas. Indícase o comezo da partida en negro, o primeiro xogador fai as xogadas marcadas en azul e o segundo as marcadas en vermello. A última cor é a do gañador.

Partida 1: (14,4) ⟶ (2,4) ⟶ (2,2)

Partida 2: (14,9) ⟶ (5,9) ⟶ (5,4) ⟶ (1,4) ⟶ (1,1)

Partida 3: (300,105) ⟶ (195, 105) ⟶ (90, 105) ⟶ (90, 15) ⟶ (15, 15)

Partida 4: (97, 352) ⟶ (97, 139) ⟶ (97, 42) ⟶ (42, 55) ⟶ (42, 13) ⟶ (16, 13) 

                                ⟶ (3, 13) ⟶ (3, 4) ⟶ (3,1) ⟶ (1,1)

Unha proposta para a aula consistiría en presentar unha boa colección de pares de números e invitar ao alumnado, formando parellas, a escoller un un deses pares establecendo cal dos dous comeza a partida.

Despois de algo de práctica é o momento de preguntar se alguén ve algunha relación entre os números de partida e o número final.

Estou seguro de que calquera que dea lido ata aquí xa se terá decatado de que, aínda que sexa con outra aparencia, o que estamos a facer é aplicar o algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo común divisor de dous números. Velaquí temos unha boa oportunidade de introducir un aspecto completamente esquecido pola LOMCE e os libros de texto.

Unha estratexia xeométrica

Unha profundización que en certa medida escapa das aulas de secundaría consistiría na elaboración dunha estratexia para gañar. Presentaremos dúas. Comprobarase que ningunha delas remite a unha receita simple. Ademais involucran algo, nun principio, inesperado, que o número áureo Φ interveña ineludiblemente nas mesmas. Lembrémoslle algunhas propiedades: $$\Phi =\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 } =1+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 1+.... }  } =[1;1,1,1,1,...]\quad \quad \quad \quad \quad \Phi -\frac { 1 }{ \Phi  } =1$$

Consideremos a rede formada polos puntos do plano con dúas coordenadas enteiras estritamente positivas. Cada partida comeza nun punto desa rede. En cada movemento trasladaremos un punto (a,b) desa rede a outro. Ademais en cada quenda haberá que facer un desprazamento ben horizontal cara a esquerda, cando a>b, ben vertical cara abaixo, cando a<b. Gañará aquel que consiga trasladar o punto á diagonal (a=b). Cómpre ter presente que un movemento válido será aquel no que á coordenada maior lle restemos un múltiplo da menor. Na seguinte imaxe aparece representada a segunda partida:

 

Neste contexto gañará aquel que consiga levar o punto á diagonal. Podemos asegurarnos a vitoria? Nese caso, cal debe ser a estratexia? Todo aparece explicado na seguinte imaxe na que nos aparecen dúas rectas de pendentes Φ e 1/Φ. Teñamos en conta que Φ é irracional polo que estas rectas non pasarán por ningún punto da rede de enteiros.

Distinguimos pola cor dúas zonas. Se nos toca mover e estamos nun punto da zona verde, gañaremos. Bastará con que movamos o punto a outro da zona vermella. Pola contra, se cando nos toca a quenda partimos dun punto da zona central, non teremos ningunha oportunidade. Para comprobalo, supoñamos que a partida está nun  punto (a, b) da zona verde cando nos toca xogar e que o noso movemento consiste en trasladar verticalmente o punto (a<b). A cuestión é: será posible que poidamos trasladar ese punto á zona vermella? Basta con que nos decatemos de que a intersección da recta vertical x=a coa zona vermella é un segmento de lonxitude a, polo tanto debe existir polo menos un punto ao cal facer o movemento (a,b) ⟶ (a,b-pa) : $$lonxitude\quad do\quad segmento\quad =\quad \Phi a-\frac { 1 }{ \Phi  } a=\left( \Phi -\frac { 1 }{ \Phi  }  \right) a=1\cdot a=a$$

No caso de termos que facer o movemento en horizontal (a>b), por simetría,  o argumento sería o mesmo. Pola contra, e precisamente pola mesma razón (a lonxitude do segmento vermello ser a), se nos toca xogar a partir dun punto da zona central, calquera movemento nos levará fóra dela, pois debemos trasladar o punto unha lonxitude p・a. 

 

Unha estratexia aritmética

Consideremos a fracción a/b cando a>b (respectivamente b/a cando b<a). Escribamos esa fracción na súa forma continua: [a₀, a₁, a₂, a₃,..., a_n ]. Un movemento consistirá, ben en eliminar o primeiro elemento: [a₀, a₁, a₂, a₃,..., a_n ] ⟶  [a₁, a₂, a₃,..., a_n ], ben en diminuílo: [a₀, a₁, a₂, a₃,..., a_n ] ⟶  [a₀ - k, a₁, a₂, a₃,..., a_n ]. Gañará o que poida reducir esta expresión a [1]

Poñamos por caso que nos presentan o seguinte par: (442, 193) asociarémoslle a fracción $$\frac { 442 }{ 193 } =2+\frac { 1 }{ 3+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 4+\frac { 1 }{ 6 }  }  }  } =[2,3,2,4,6]$$

Neste caso hai unha estratexia ben simple, que consiste en reducir o primeiro elemento a un 1 xa que isto forza a que o contrincante só teña a posibilidade de eliminar ese primeiro elemento.

[2,3,2,4,6] ⟶ [1,3,2,4,6] ⟶ [3,2,4,6] ⟶ [1,2,4,6] ⟶ [2,4,6] ⟶ [1,4,6] ⟶ [4,6] ⟶ [1,6] ⟶ [6]  ⟶ [1]

Poderiamos seguir este procedemento sempre que os elementos da fracción continua fosen todos maiores que 1. Pero que facer de non ser este o caso? Hai que modificar a táctica anterior. Xa enxergamos que o número áureo pode ter, outra vez, o seu papel debido a que a súa expresión en fración contínua é [1, 1, 1, ...]. 

Teremos asegurada a vitoria para o primeiro xogador no caso de que o primeiro valor a_k distinto de 1 teña subíndice par. Sexa  e_k+1 =[a_k+1, a_k+2,..., a_n  ] . Temos dúas posibilidades

• Se  e_k+1 < Φ   faremos a xogada [a_k , a_k+1, a_k+2,..., a_n] ⟶  [a_k+1, a_k+2,..., a_n ]=[1, a_k+2,...a_n]   pois neste suposto  a_k+1=1.
  
• Se e_k+1 > Φ    faremos a xogada [a_k , a_k+1, a_k+2,..., a_n] ⟶  [1, a_k+1, a_k+2,..., a_n]
  

Nas dúas alternativas forzamos a que o contrincante teña só un posible movemento, ten que eliminar o primeiro elemento da fracción continua xa que é un 1.

Os detalles tanto destas estratexias pódense consultar, no volume 41, número 4, da publicación The Fibonacci Quaterly , concretamente no artigo de Tamás Lengyel, "A Nim-Type Game and Continued Fractions" 

Preguntas inesperadas

Ao seu xeito, os problemas son relatos que rematan nunha pregunta. Poderiamos dicir que nos problemas tipo sería escusado escribir explicitamente a pregunta pois esta é tan obvia que se sobreentende cal é. Aínda cando se nos presenta un problema interesante e retador, o desenvolvemento do seu enunciado vainos levando cara a cuestión final. Pero hai algunhas ocasións nas que a pregunta é completamente inesperada. Velaquí algúns exemplos.

Vou comezar cun clásico. Recólloo da curiosa escolma feita por Vladimir Igorevich Arnold (1937-2010), Problemas para mozos de 5 a 15 anos, que se pode consultar no web do Imaginary

As dúas velliñas. Dúas velliñas partiron respectivamente desde A cara a B e desde B cara A ao amencer dirixíndose unha cara á outra (pola mesma estrada). Atopáronse ao mediodía pero non pararon, e cada unha continuou o seu camiño á mesma velocidade. A primeira señora chegou (a B) ás 4 p. m., e a segunda (a A) ás 9 p. m. A que hora amenceu aquel día?

O seguinte vai camiño de ser un clásico pois foi publicado por ese gurú arxentino da divulgación matemática, Adrián Paenza, quen non só foi o condutor de diversos programas televisivos de carácter científico (Alterados por pi,  Científicos. Industria Argentina ) senón que leva anos escribindo artigos de matemáticas nalgúns xornais como Página/12 ou Cohete a la luna. Ademais podemos acceder libremente aos seus libros de divulgación. Nun deles, Detectives, presenta esta cuestión. 

O ping-pong. Tres amigos (digamos A, B e C) pasan a tarde xogando ao ping-pong co método "o que perde vaise e entra a xogar o que está fóra". Ao acabar a tarde, a cantidade de partidos que xogou cada un foron as seguintes: A=10, B=15, C=17. A pregunta é: Quen perdeu o segundo partido?

Seguindo con Adrián Paenza, pero agora recollendo un problema doutro libro, ¡Un matemático ahí, por favor!, achamos outra proposta cun sabor semellante; tan semellante que a miña primeira intención, a de achegar problemas con preguntas sorprendentes, agora, case se ve frustrada.

Atletismo para o cerebro. Hai uns meses efectuouse unha competición de atletismo cunha curiosidade: soamente participaron tres mulleres: Alicia (á que vou chamar A), Beatriz (B) e Carme (C). Elas (e só que elas) interviñeron en todas as disciplinas e non participou ningunha outra atleta.

Os puntos que se obtiñan en cada un dos tres postos era a mesma cantidade: x por quedar de primeira, y por quedar segunda e z por quedar terceira. Os tres números (x, y, z) son números naturais (maiores ou iguais que 1), e naturalmente verifícase tamén: x > y > z.

Unha vez finalizadas todas as competición, estes son os datos que se obtiveron:

A obtivo 22 puntos en total
B gañou os 100 metros lisos e en total obtivo 9 puntos
C tamén terminou con 9 puntos.

Agora si, a pregunta: quen quedou segunda en salto de altura?

Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.2

Despois de repasar a axiomática de Euclides e Hilbert, pasamos á de Tarski.

Os axiomas de Tarski

Finalmente chegamos ao que foi orixe de toda esta entrada, aos axiomas de Tarski, que puiden coñecer a partir do artigo de António Bívar do libro Treze viagens pelo mundo da matemática (U. Porto Edições, 2010). Alén deste artigo o libro é moi recomendable pois trata desde unha perspectiva case divulgativa trece aspectos moi diversos e interesantes das matemáticas a un nivel dos primeiros cursos universitarios.

A axiomática de Alfred Tarski (1901-1983) é destacable pola súa economía de recursos. Trátase dun sistema elaborado nunha linguaxe de primeira orde, polo que polo teorema de Löwenheim-Skolem,baixo a hipótese de consistencia, sabemos que terá un modelo contable. Como nota aparte non me resisto a contar unha anécdota dunha clase da materia de Lóxica en 4º-5º de carreira. Foi o caso de que o profesor nos foi presentando o que pretendía ser un conxunto de axiomas para os números reais nunha linguaxe de primeira orde. Outra vez, usando o teorema de Löwenheim-Skolem, demostrounos que o cardinal do conxunto dos número reais era ℵ₀. A ningún dos alumnos nos estrañou, non sei se foi porque a esas alturas da carreira xa tragabamos con todo ou porque a clase era un día de calor ás catro da tarde.

Volvendo ás características das axiomática de Tarski para a xeometría, destacar que só emprega dúas operacións elementais, a igualdade e a pertenza, unicamente un obxecto primitivo (os puntos) e dúas relacións primitivas (congruencia e "estar entre"). Así escribiremos xy≡zw para indicar que os segmentos zy e zw teñen a mesma lonxitude e Bxyz co significado de que "y está entre x e z". Imos alá cos primeiros axiomas:

• T.1. (Reflexividade simétrica) xy≡yx

• T.2. (Transitiva)   xy≡zw∧xy≡uv ⟶ zw≡uv

A partir destes axiomas obtense a reflexividade da congruencia: xy≡xy e a transitividade na súa versión usual: xy≡zw∧xy≡uv ⟶ zw≡uv . De aí que a congruencia sexa unha relación de equivalencia. Con todo aínda cómpre o seguinte axioma:

• T.3. (Identidade da equidistancia) xy≡zz ⟶ x=y

Comencemos a introducir os axiomas de ordenación. O seguinte garante que en calquera semirecta ox podemos construír un segmento xy congruente cun uv prefixado.

• T.4. ∀o, x, u, v  ∃y (Boyx ∧ uv≡yx)

Con este novo axioma pódese demostrar que xx≡yy ou que Bxyy

O seguinte axioma establece que no segmento xx só existe un punto:

• T.5. Bxyx ⟶ x=y

Tal e como sucedía na proposta de Hilbert, Tarski tamén precisa do axioma de Pasch. Velaquí a súa versión:

• T.6.  (Axioma de Pasch) Bxuy ∧ Bvwy ⟶  ∃z (Buzy ∧ Bwzx) 

Agora pódese demostrar a simetría na relación "estar entre": Bxyz ⟶ Bzxy . Tamén se verificará o teorema de intercalación:   Bxyw ∧ Byzw  ⟶  Bxyz. Coas mesmas hipóteses que as deste teorema esperamos poder obter tamén Bxzw. Mais cos axiomas dados ata aquí iso aínda non é posible.

Este é o momento no que António Bivar explica as razóns para introducir o sétimo axioma, que ten que ver coa necesidade de establecer cando dous ángulos son iguais.

• T.7. (Axioma dos cinco segmentos) (ox≡o'x'∧oy≡o'y'∧xy≡x'y'∧o ≠ y ∧ Bxyz ∧Bx'y'z' ∧ yz≡y'z') ⟶  xz≡x'z''

Este axioma dá lugar a varios resultados importantes. O primeiro deles é que permite realizar sumas de segmentos. Concretamente:  (Bxyz  ∧  Bx'y'z' ∧ xy≡x'y'∧yz≡y'z' ) ⟶  xz≡x'z'

En segundo lugar, temos tamén a unicidade do transporte de segmentos:

(x ≠ y ∧ Bxyu ∧ Bxyv ∧ yu≡yv) ⟶  u=v

En terceiro lugar, preséntase o chamado teorema de concatenación: 

(Bxyz ∧ Byzu ∧ y ≠ z)  ⟶ (Bxzu ∧ Bxyu )
Finalmente, o seguinte resultado, o teorema de conectividade, foi incluído nun principio como axioma ata que despois de varias décadas  Haragauri Narayan Gupta (1925-2016) demóstrao no 1965 a partir dos sete axiomas anteriores.

(Bxyz ∧ Bxyu ∧ x ≠ y)  ⟶ (Bxzu ⋁ Bxuz )

Con todo o establecido ata aquí podería haber modelos lineares para esta xeometría. Para facela máis rica pódese engadir un novo axioma que asegure unha dimensión maior ou igual a 2, isto é, que existen tres punto non colineares.

• T.8. (Axioma da dimensión inferior)  ∃ x, y, z (ㄱBxyz ∧ ㄱByxz ∧ ㄱByzx)

Unha vez chegados a este punto faise unha avaliación do estado desta xeometría básica. Para iso bota man do teorema I.10 de Euclides, que é o que establece como achar o punto medio de calquera segmento. Euclides usa un resultado non explicitado por el en ningures, o que a segura que dúas circunferencias no plano se intersecan en dous puntos sempre que a distancia entre os centros sexa menor que a suma dos raios e maior que a súa diferenza. Resulta que os oito axiomas de Tarski tampouco garanten este resultado. Para estarmos certos desta intersección cómpre introducirse no pantanoso mundo da continuidade, é aquí onde hai que introducir xa non só un axioma, senón todo un esquema de axiomas para poder realizar os cortes de Dedekind. Esta idea está presentada na entrada da Galipedia sobre os axiomas de Tarski, porén António Bivar, nun principio, non vai por este camiño. Como punto de referencia, na axiomática de Hilbert resólvese a cuestión grazas aos axiomas sobre ángulos.

A cuestión que propón António Bívar pasa precisamente polo concepto de ángulo. Normalmente consideramos un ángulo ∠xoy como a rexión do plano entre as semirectas ox e oy. Aquí xurde o seguinte problema. Cos oito axiomas establecidos ata o momento pódese demostrar que se Bxuy (u é un punto entre x e y) e Bozu (z está entre o e u), entón existirá un punto y' no segmento oy tal que Bxzy'. Porén, se z está máis alá de u, isto é, se Bouz, entón non se pode asegurar a existencia de puntos x' e y' na semirectas ox e oy respectivamente de forma que Bx'zy'. Isto é, que o ángulo ∠xoy non está formado polas semirectas que parten de o. Así que se introduce este resultado como axioma.

Necesidade do axioma de Euclides

• T.9. (Axioma de Euclides) (Bxuy ∧ u≠o ∧Bouz) ⟶ ∃ x', y' (Boxx' ∧ Boyy' ∧ Bozz')

Agora estamos en disposición de demostrar o teorema de Playfair, o de Desargues e o de Pascal. Todo isto permite desenvolver unha teoría de proporcións e construír un corpo pitagórico, isto é, un corpo no que a suma de dous cadrados é tamén un cadrado. Un modelo podería ser o conxunto Ω de Hilbert presentado máis arriba. O propio Hilbert comentaba que pola estrutura deste conxunto, o conxugado de calquera elemento de Ω tamén está en Ω . Se agora quixeramos construír un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 e con un cateto $$\sqrt { 2 } - 1 $$, o outro cateto debería medir $$\omega=-2+2\sqrt {  2  } $$ Se ω∈Ω entón tamén debería estar o seu conxugado, pero este é $$\sqrt{-2-2\sqrt {  2  } }$$, un número imaxinario, cando resulta que Ω está contido dentro dos reais. Polo tanto esta construción non pode realizarse en Ω, mais si se podería facer con regra e compás.

Para sermos máis concretos, Hilbert estudara que construcións xeométricas eran as que podían realizarse en Ω e concluíra que eran aquelas nas que se podían usar a regra e o transportador de unidades (un instrumento que fai posible o transporte do segmento unidade).

Con todo isto aínda non teriamos uns sistema axiomático para a recta real pois ficaría orfa a propiedade da completitude. As sucesións de Cauchy ou as de intervalos encaixados non teñen límite. Co fin de aseguralo pódese aínda introducir un axioma de continuidade pero, iso sí, non poderemos redactalo nunha linguaxe de primeira orde porque se fai referencia a conxuntos arbitrarios de puntos X e Y.

• T.10. (Axioma de continuidade) [∀ X, Y /  ∃ o (x∊X ∧ y ∊Y ⟶ Boxy)] ⟶ [ (x∊X ∧ y ∊Y) ⟶ ∃ p / Bxpy ]

Velaquí que cada vez que temos dous puntos colineares con o dos conxuntos X e Y, vai haber un punto intermedio entre eles.

Con estes vimbios pódese demostrar o que neste contexto xa sería o teorema de Arquímedes, así como a e a isomorfía entre todos os modelos verificando estes dez axiomas.

Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.1

Un libro do espazo
pero non espacial

Sempre me pareceu moi divertido que na librería "Follas Novas" colocasen o libro Ideas de espacio de Jeremy Gray (Mondadori 1992) entre os de viaxes espaciais e non entre os de xeometría. Téñolle moito cariño a este volume pois foi o primeiro de certa entidade que lin ao acabar a carreira. Lembro moi ben que o fixera durante unha semana de acampada nun monte próximo a Mombuey. Tamén me había de servir como guía para preparar un dos temas das oposicións, o da historia da xeometría. En efecto, Jeremy Gray fai un percorrido polos avances da xeometría tomando como eixo vertebrador o V postulado euclidiano. Aquí non pretendo tanto, só ir saltando polos principais sistemas axiomáticos da xeometría euclidiana; isto é, o sistema do propio Euclides, o de Hilbert e o de Tarski.

Os postulados de Euclides

Elementos, en galego

É ben coñecido que o paradigma dos sistemas axiomáticos son os Elementos. Despois dunha lista de 23 definicións, Euclides (III a.C.) establece os seus cinco postulados:

• E.1. Trazar unha liña recta dende un punto calquera ata un punto calquera
• E.2. E prolongar en liña recta de forma continua unha recta finita
• E.3. E debuxar un círculo con calquera centro e distancia.
• E.4. E que todos os ángulos rectos son iguais entre si.
• E.5. E que, se unha recta ó incidir en dúas rectas fai os ángulos do interior e do mesmo lado menores que dous ángulos rectos, as dúas rectas, prolongadas ó infinito, atópanse no lado no que están os ángulos menores que dous rectos.

Recollinos tal e como aparecen na tradución ao galego que fixeron Ana Gloria Rodríguez e Celso Rodríguez, publicada pola USC

Despois de establecer estas raíces, e sen máis adobíos que algunha que outra definición máis, a árbore crece durante 13 libros ata formar a primeira enciclopedia sistemática das matemáticas.

Críticas a Euclides

A pesar da grandeza dos Elementos, co tempo acharíanse varias fendas no sistema euclidiano. Xa na primeira proposición do primeiro libro suponse que dúas circunferencias con centros nos extremos do segmento AB e compartindo o raio AB teñen que cortarse nun punto Γ. O  postulado E.5 establece unha condición para que se corten dúas rectas. Retrospectivamente podemos enxergar que se precisaría tamén outro postulado que establecese o corte de circunferencias. O que cómpre é garantir a continuidade das liñas. Quen habían de profundar neste tópico serían Richard Dedekind (1831-1816) e Georg Cantor (1845-1918) entre outros.

Tamén o primeiro postulado foi obxecto de crítica pois Euclides asumiu en varios lugares a unicidade da recta que se asegura pasa por calquera par de puntos dados cando o que se enuncia neste postulado é unicamente a súa existencia.

O segundo postulado só garante o carácter ilimitado dunha recta, non a súa infinitude. Quen estableceu para sempre esta distinción había de ser Bernhard Riemann (1826-1866) na súa disertación perante Gauss. Euclides emprega o carácter infinito da recta en I.16, a proposición que establece que un ángulo exterior dun triángulo é maior que calquera dos interiores opostos.

Na proposición I.21 Euclides toma como certo que se unha recta corta a un dos vértices dun triángulo, ten por forza que cortar o lado oposto. Mais este resultado nin se demostra, nin se podía demostrar baixo a axiomática dos Elementos pois nela non hai ningunha referencia á ordenación (o concepto "estar entre"). Quen incidiu neste aspecto sería Morlitz Pasch (1843-1930). Este matemático alemán propuxo a primeira axiomática moderna da xeometría, precursora da de David Hilbert (1862-1943)

Os axiomas de Hilbert

O reinado dos Elementos esténdese ata o XIX, momento no que xorden tanto as xeometrías non euclidianas como os proxectos de axiomatización nas matemáticas, especialmente a aritmética. Nesta altura estaban de moda os estudos sobre os fundamentos e non foron poucos os traballos adicados aos da xeometría. De entre todos eles destaca o de Hilbert, quen elabora un profundo tratado sobre a axiomatización desta área, Fundamentos da xeometría. Para iso establece cinco grupos de axiomas. Poño algúns exemplos:

• Algúns axiomas de enlace:

H.I.1. Dados dous puntos A e B, sempre existe unha recta a que os contén.

H.I.2. Dados dous puntos A e B, só existe unha recta que pase por eles

H.I.3. Nunha recta hai polo menos dous puntos. Tamén existen polo menos tres puntos  non aliñados.

• O seguinte grupo de axiomas son os de ordenación:

H.II.1. Cando B está entre os puntos A e C, e son distintos puntos dunha recta, B tamén está entre C e A.

H.II.2. Dados dous puntos A e C, sempre existirá outro punto B na recta AC tal que B está entre A e C.

H.II.3, Dados tres puntos nunha recta, como moito un deles está entre os outros dous.

H.II.4. (Axioma de Pasch) Dados tres puntos A, B e C non aliñados e unha recta a no plano ABC que non contén a ningún dos puntos, se a corta a AB, entón corta tamén a AC ou a BC

• Axiomas de congruencia de Hilbert:

H.III.1. Dados os puntos A e B e o punto A' da recta a', existe un único B' nun dos lados da recta a' determinado por A' de forma que AB é congruente con A'B' (AB≡A'B')

H.III.2. Se os segmentos A'B' e A''B'' son congruentes a AB, tamén serán congruentes entre si.

H.III.3. Se AB≡A'B' e BC≡B'C', entón AC≡A'C'

H.III.4. Dado un ángulo definido polas semirectas h e k ∠(hk), e dada outra semirecta h', existe unha única semirecta k' tal que ∠(hk) ≡ ∠(h'k')

H.III.5. Se dous triángulos ABC e A'B'C' verifican que AB≡A'B' e AC≡A'C' e ∠BAC ≡ ∠B'A'C', entón tamén ∠ABC ≡ ∠A'B'C'.

Este último axioma é a proposición I.IV dos Elementos, o coñecido teorema de congruencia de triángulos LAL.

• O cuarto grupo de axiomas hilbertiano é ben reducido, tanto que se reduce a un único postulado, o das paralelas:

H.IV.1. (Axioma de Playfair) Sexa a unha recta e A un punto exterior á recta, entón existe como moito unha recta paralela a a pasando por A.

• Os últimos axiomas son os de continuidade. O primeiro deles é o que abre a porta á aritmetización da xeometría.

H.V.1. (Axioma de Arquímedes) Dados AB e CD, existen n puntos  puntos A₁, A₂ , A,...., A_n   con A₁=A,  A_iA_j≡ CD de forma que o punto B queda entre A₁e A_n

Axioma de Arquímedes

H.V.2. (Axioma de completitude) Os puntos dunha recta forman un sistema tal que non se pode ampliar baixo os axiomas H.I.1, H.1.2, H.II, H.III.1 e H.V.1

Este último axioma é o único deste sistema que non pode ser formalizado nunha linguaxe de primeira orde e ten claramente un enunciado ben distinto dos anteriores. Prima facie non o parece, pero é o que introduce a continuidade dentro da axiomática de Hilbert. Se excluímos H.V.2 poderían ser modelos desta xeometría estruturas "descontinuas" tales como o conxunto dos números racionais ou o conxunto Ω, que introduce Hilbert no principio do capítulo II dos Fundamentos e que estaría formado por todos os números que poden obterse a partir do 1 mediante sumas, restas, produtos divisións e unha quinta operación dada por $$\sqrt { 1+{ \omega  }^{ 2 } } $$

Tendo en conta a seguinte relación o conxunto de Hilbert estaría formado, ademais das combinacións das catro operacións, polas raíces cadradas das sumas de cadrados $$\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } =a\sqrt { 1+{ \left( \frac { a }{ b }  \right)  }^{ 2 } } $$

Quizais na lectura do axioma de completitude enxérgase máis facilmente outra interpretación que tamén se verifica, a de que este axioma asegura a categoricidade, isto é, que todos os modelos deste sistema axiomático son isomorfos.

Unha cuestión interesante é a de preguntarse polas razóns que levaron a Hilbert a introducir o axioma de completitude para caracterizar a continuidade cando tiña alternativas coñecidas tales como a dos cortes de Dedekind, a dos intervalos encaixados de Cantor, ou o teorema de Bolzano-Weierstrass. Hilbert tiña como obxectivo fundamentar una xeometría asentada sobre o corpo dos números reais, de aí que botase man do axioma de Arquímedes. Este axioma facilita o establecemento dunha medida. Entón Hilbert avísanos de que "o axioma de completitude que só esixira a conservación deses axiomas [os dos grupos I, II e III], pero non o de Arquímedes ou outro que lle corresponda, encerraría unha contradición"

Ben sei que ler esta entrada custa traballo. Se ben o estudo desde o punto de vista da lóxica de partes das matemáticas é moi instrutivo e revelador, cómpre manter un certo nivel de esforzo e concentración para aprehender os contidos. Tendo en conta o anterior e que a entrada xa vai tendo unha lonxitude considerable, deixamos a abordaxe da perspectiva de Tarski para outra entrada.

Grandes ideas da astronomía

Agora que estamos a prácticamente un ano da celebración das 19 JAEM, véñenme á memoria as IX JAEM, as de Lugo no ano 1999. Foi a raíz destas últimas que acabei creando e impartindo a materia de Astronomía na ESO no CPI Aurelio Marcelino Rei García (Cuntis). Trataba de facer fronte a un problema educativo cando tiña que impartir aulas en 4º da ESO. Unha e outra vez comprobaba o rexeitamento e as dificultades coas que o alumnado presentaba ao enfrontarse ao estudo da trigonometría.

Un mantra que se repite sempre en relación co ensino das matemáticas o que se ensina, ou a forma de ensinar "non ten aplicación práctica". Disto derívase unha consecuencia fatal, a desmotivación e ábrese o camiña cara o fracaso educativo. Curiosamente a trigonometría ten unha aplicación práctica inmediata, a de permitir obter medicións nun principio inaccesibles. O único atranco sería, en todo caso, que para conseguir este premio cómpre traballar durante algún tempo nun campo presuntamente máis árido, o das ideas básicas da trigonometría: medición de ángulos, semellanza, a definición das razóns trigonométricas, as razóns de determinados ángulos, algunhas propiedades das razóns,...

Quizais un bo punto de partida podería ser a astronomía. As raíces da trigonometría están na ciencia dos ceos. As primeiras referencias trigonométricas son as do libro I do "Almaxesto". O "De Revolutionibus" copernicano comenza como un tratado de trigonometría. Ter certa perspectiva histórica sobre a evolución da astronomía e coñecer algunhas das cuestións coas que se enfrontaba podería ser unha boa base sobre a que asentar a necesidade do estudo da trigonometría na secundaria.

De aquí xurdiu a elaboración dunha programación dunha materia optativa para a ESO, Astronomía, que impartín durante dous cursos no CPI de Cuntis. Tempo despois quixen levar esa materia ao IES de Silleda pero a loita pola defensa a toda costa do seu pombal por parte departamento frustrou o intento. No meu actual centro, no IES Antón Losada (A Estrada) volvín a facer o intento hai un par de anos, agora como materia optativa de unha hora en 1º de bacharelato (vs. a de Relixión). Aquí foi a estulticia da inspectora o que o impediu. O argumento para denegar a solicitude era que o Departamento xa tiña 73 horas de docencia e que se debían priorizar os reforzos ou afondamentos.

Toda esta introdución foi quizais para xustificar un tépedo interese pola astronomía de alguén que, podendo cursar esta materia na facultade, non o fixo. O interesante é o que vén de seguido, un documento ao que lle poden dar bo uso aqueles poucos que teñan a posibilidade de impartir astronomía nalgún centro de ensino do país.

A finais de febreiro deste ano a Agrupación Astronómica Io publicaba a primeira tradución mundial da publicación da Unión Astronómica Internacional,  “Big Ideas in Astronomy: A Proposed Definition of Astronomy Literacy” . Trátase dun texto cunha serie ordenada de conceptos chave da astronomía que deberían formar parte da cultura xeral de calquera persoa ben informada nesta materia

A tradución foi obra de Martin Pawley e a deseñadora gráfica Marta Cortacans adaptou o formato orixinal.

 

Grandes ideas da astronomía from Agrupación Astronómica Coruñesa Ío

O nº 3 do "Marco Numérico"

Marco Numérico é a revista de matemáticas que publica o IES do Marco do Camballón (Vila de Cruces) desde hai tres anos. O primeiro número publicouse en xuño do 2018 e a súa novidosa proposta fixo que fose noticia en varios medios como GCiencia ou Praza Pública. Neste último destacaban que a publicación nacía nun marco e prohibicións establecido polo funesto decreto 79/2010 segundo o que nin se pode impartir docencia de matemáticas en galego nin usar materiais desta materia nesa lingua. O proxecto partira das aulas dunha materia optativa de 2º de bacharelato, Métodos Estatísticos e Numéricos.

Un ano despois aparecía o segundo número, no que se lle abriu a porta a que colaborasen outros centros de ensino. Finalmente, e con puntualidade britática, temos acceso ao terceiro volume, que saiu do prelo a pesar das dificuldades derivadas da pandemia da COVID-19. Na súa presentación destácase que esta revista

quere recoller traballos de investigación realizados por alumnado de secundaria e bacharelato de centros de ensino galegos que teñan as matemáticas como eixo central

Velaquí o seu carácter distintivo entre a curta, pero gorentosa, tradición de revistas de matemáticas dos centros de ensino, (por certo, todas elas en galego; boa mostra do compromiso social do mundo do ensino fronte ao radicalismo dunha Xunta racista coa lingua de noso e os seus utentes)

Neste terceiro número, entre outros artigos, volveremos a encontrar un traballo que contribúe ao proxecto MARUMASAT, hai unha nova achega sobre a lei de Bendford, e varios estudos estatísticos sobre a distribución dos números primos.

Non quería finalizar sen darlle as grazas ao promotor deste proxecto, Xosé Díaz, non só por poñelo en pé e mantelo, senón por unha razón máis persoal que non é outra que a de que me invitara a prologar o terceiro volume do Marco Numérico.

A división de Terence Tao

Terence Tao (1975-...) gañou a medalla de ouro das Olimpíadas Internacionais de Matemáticas cando tiña 13 anos. Nos dous anos anteriores conseguira as de bronce e prata. Na XXV IMC déronlle a medalla Fields. Estes só son algúns dos recoñecementos recibidos por estea figura extraordinaria das matemáticas.
A súa participación nas Olimpíadas fixo que na súa mocidade mantivese un profundo interese por este tipo de competicións. Isto levouno, con 15 anos, a escribir un libro centrado neste tipo de probas, Solving mathematical problems, que foi editado tamén en portugués pola SPM, dentro dunha colección de libros... sobre as olimpíadas. Non é de estrañar porque o libro recolle tanto algúns problemas deste tipo de probas, así como outros que ben poderían formar parte do adestramento para as mesmas. Con todo, Tao non se limita só a dar a solución, senón que explica como abrir liñas de ataque ao problema, como avalialas, como ir acurralandoo con mestría. Fica claro que Terence Tao xoga noutra división.
O primeiro capítulo do libro é un tanto especial, pois facendo honra ao seu título, Estratexias de reslución de problemas, dá unhas orientacións xerais, ao mellor estilo Polya. Para iso toma como referencia o seguinte problema:

As lonxitudes dos lados dun triángulo forman unha progresión aritmética de diferenza d. A área do triángulo é t. Calcule os lados e os ángulos do triángulo.

Tao desenvolve unha abordaxe fundamentada nos seguintes pasos:

• Entender o problema
• Distinguir os datos
• Percibir o obxectivo
• Escoller unha boa notación
• Escribir o que sabemos na notación que escollemos; facer un diagrama
• Modificar lixeiramente o problema
• Modificar grandemente o problema

Como mostra, recollo aquí algún dos problemas escollidos por Tao, comencemos por un de números:

Sexan k e n números naturais con k impar. Mostre que a suma 1^k+2^k+... +n^k é divisible por 1+2+---+n

Tamén propón algúns exercicios, como o seguinte:

Determine o maior enteiro positivo n, tal que n³+100 sexa divisible por n+10

Varios son das Olimpíadas Australianas de Matemáticas, velaquí un exemplo:

Un polígono regular con n vértices está inscrito nunha circunferencia de raio 1. Sexa L o conxunto de todos as posibles lonxitudes de todos os segmentos ligando dous vértices do polígono. Cal é a suma dos cadrados dos elementos de L?

No capítulo final, mesmo hai problemas inclasificables dentro do esquema usual de estruturación das matemáticas (aritmética, álxebra, xeometría, cálculo,...); son máis ben propostas relacionadas coa matemática recreativa. Por exemplo estuda o problema do xogo do yucky choccy , ou do chocolate asqueroso, que había de facer famoso Ian Stewart na súa columna do Scientific American,  e que posteriormente aparecería en Locos por las matemáticas (Crítica, 2004): dada unha tableta de chocolate de 6྾10 pezas cada xogador elimina no seu turno, ben filas, ben columnas da mesma. Perde o que se ve na obriga de coller a peza asquerosa situada nunha esquina da tableta. Terence Tao propón estudar o mesmo problema nunha versión tridimensional. Cal será a estratexia gañadora para un chocolate de 3×6×10? Cal dos xogadores gañará?
Unha fonte da que recolle algúns dos problemas é a competición internacional Tournament of the Towns , unha proba paralela ás olimpíadas nacida no 1979 en Rusia e que tivo moi boa acollida en Australia (ver aquí unha recompilación). O seguinte enunciado foi tirado desta competición.

Nunha certa illa hai 13 camaleóns cincentos, 15 camaleóns castaños e 17 vermellos. Se dous camaleóns de cores diferentes se encontran, mudan ambos para a terceira cor (por exemplo un castaño e un cincento mudaríam ambos para vermello), mais non mudan de cor en ningunha outra situación. Será posible que a certa altura os camaleóns fiquen todos da mesma cor?

Para rematar, un deses gorentosos problemas que che pegan unha volta coa pregunta final

Dous irmáns venderan un rabaño de ovellas. Cada ovella foi vendida por un número de rublos igual ao número de ovellas do rabaño, e o total obtido foi dividido do seguinte modo: o irmán máis vello colleu 10 rublos, despois o máis novo colleu 10 rublos, despois o máis vello colleu outros 10 rublos, e así sucesivamente. Ao final da división, o irmán máis novo, a quen tocaba a vez, verificou que había menos de 10 rublos, e polo tanto embolsou o que sobraba. Para tornar a división xusta, o irmán máis vello dou ao máis novo o seu canivete, que valía un número enteiro de rublos. Canto valía o canivete?