Os premios "Explícoche Matemáticas 2.0". Edición 2019

‘A medición da liña costeira’, foi o traballo presentado pola alumna de 3º da ESO do IES As Bizocas ( O Grove) María Sanmartín Cabanas, e ‘Un mundo rodeado de matemáticas. Trigonometría’, é unha peza de Francisco Estévez e Paula Mourille, estudantes de 4º da ESO no IES Celanova Celso Emilio Ferreiro. Estes foron os audiovisuais premiados o pasado xoves 20/06/19 na 8ª edición do concurso Explícoche Matemáticas 2.0, organizado pola CNL da Facultade de Matemáticas da USC.

Na categoría de mellor valoración dos usuarios da arañeira o vídeo premiado foi‘Chiquicuriosidades’, realizado por Sara Marco Andrade, Carmen Caeiro Arca e Sofía Caramés Lage, alumnas de 4º de ESO do IES Frei Martín Sarmiento ( Pontevedra.)

Ademais dos premios cos que estaba dotado este concurso, o alumnado galardoado recibiu como agasallo o libro Mate-Glifos, do que xa falamos noutra ocasión.
Parabéns a todos os premiados, e tamén a todos os participantes. Seica así, aos pouquiños, Explícoche Matemáticas 2.0 xa leva xuntado un par de centos de vídeos relatando diversos aspectos das matemáticas.
Un último comentario do que teño que deixar constancia. No que fora un rechío estridente, o secretario xeral de política lingüística participara na pasada entrega de premios. Desta vez non se soubo nada del. Parece que con aquela intervención xa lle chegou. Demasiada dose de matemáticas en galego para quen ten como función principal prohibir as matemáticas en galego.

Bombelli, máis que complexos

Rafael Bombelli (1526-1572) foi no seu tempo un coñecido enxeñeiro hidráulico. Hoxe en día faise referencia a el cando falamos dos números complexos porque foi o primeiro en en atreverse con ese refugado obxecto matemático. Curiosamente os primeiros pasos con este tipo de números non se deron onde parecería máis natural, co tratamento das ecuacións de segundo grao, senón que apareceron no contexto das de grao 3.
Efectivamente, Girolamo Cardano xa chamara a atención sobre a cuestión cando considerou o seguinte problema no capítulo XXXVII do Ars Magna:

 divide 10 en dúas partes tales que o produto de ambas sexa 30 ou 40, é claro que este caso é imposible

A ecuación cuadrática ligada a este problema (no caso de tomarmos 40 como o valor do produto), x²+40 = 10x e Cardano obtén como solucións $${ x }_{ 1 }=5+\sqrt { -15 } \quad \quad \quad \quad { x }_{ 2 }=5-\sqrt { -15 } \quad \quad \quad $$
Cualificando o resultado tan sutil como inútil, Cardano non pasou de aí. En todo caso, podía aparcar a cuestión argumentando que este tipo de problemas cuadráticos son absurdos. Pero non tardaría en bater con outra dificultade que non se podía desprezar con tanta alegría. Ao abordar a resolución da ecuación cúbica volverían a aparecerlle raíces cadradas de números negativos. No capítulo do Ars magna adicado ao caso de cubo igual a cousa máis número trata coa seguinte ecuación:
$${ x }^{ 3 }=15x+4\quad \quad \quad \quad [1]$$
Aplicando o seu método de resolución obteríase como resultado
$$x=\sqrt [ 3 ]{ 2+\sqrt { -121 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 2-\sqrt { -121 }  } $$
Como isto non entra dentro dos parámetros das matemáticas daquel tempo, considérase que a fórmula non era válida para este tipo de ecuacións, que se cualifican de irreducibles. Outra vez Cardano aparca o problema. Non pasaría de aí.
Quen se atrevería a cruzar esta liña había de ser Bombelli. Foi na súa obra matemática, Algebra, da que no XVI se publicaran tres tomos. Dos outros dous volumes non se tiña noticia ata que Ettore Bertolotti descubriu os manuscritos no 1923. É moi significativo o que se conta no MacTutor History of Mathematics da universidade esocesa de St Andrews sobre esta obra,  que nesta antes de mergullarse no uso de raíces cadradas de número negativos explicítanse as regras do produto dos signos que tan difíciles son de explicar ao alumnado de 1º da ESO:

+ ⋅ + = +             – ⋅  + = –            8⋅ 8 = 64                   (−4)⋅5 = –20
– ⋅ – = +             + ⋅ – =  +           (–5)⋅(–6 )= 30            5⋅ (−4) = −20

Claro que se abrísemos a  Álgebra de Bomelli polo folio 70 do Libro I, o aspecto destas regras sería moi diferente ao que acabamos de escribir aquí. Por poñer un exemplo, a última das igualdades enunciábase deste outro xeito:

Máis 5 veces menos 4 fai menos 20

Folio 70 da Álgebra (páx. 127 deste PDF)

Do anterior podemos sacar un par de leccións. A primeira,  que sen vimbios non se pode facer un cesto. Con estes saberes na faltriqueira estamos en mellores condicións de enfrentármonos ás raíces cadradas de negativos. Con todo, isto non significa Bombelli que tome en consideración as solucións negativas das ecuacións nin que admita coeficientes negativos. No estudo da resolución de ecuacións polinomiais seguirá distinguindo toda unha serie de casos co fin de que todos os coeficientes sexan sempre positivos. Os avances na selva das matemáticas, como vemos, foron construíndose aos poucos e con moito esforzo. A segunda das leccións é que unha boa notación facilita a comprensión das ideas matemáticas. Neste aspecto Bombelli tamén sería un innovador.

Álxebra con aritmética

Álgebra, tomo II, páxina 190 [347 do PDF]

Xa vimos a orixinalidade e Bombelli no relativo a explicitar as propiedades do produto de números negativos. Pasemos agora á parte puramente alxébrica.
No folio 190 do segundo tomo da Álgebra ocúpase do Capitolo di cubo eguale a tanti e numero. Para intentar captar mellor o sabor do momento ímola escribir coa notación orixinal.
$$\overset { 3 }{ \smile  } \quad Eguale \quad à \quad 6\quad \overset { 1 }{ \smile  } \quad p.40$$ $${ x }^{ 3 }\quad =\quad 6x\quad +40\quad \quad \quad [2]$$
Aínda que a notación de Bombelli non tivo éxito,  non podemos deixar de recoñecer a habilidade para trazar os camiños do futuro. A vía do establecemento dunha notación concentrada para expresar ideas matemáticas estaba comenzando a desenvolverse e el foi un dos precursores.  Pensemos que Cardano non usaba ningún tipo de símbolos.
Nunha entrada anterior xa comentaramos como Cardano resolve a cúbica sen termo en x²
 $${ x }^{ 3 }+px+q=0\quad \quad \quad \quad [3]$$
Mediante a fórmula
$$x=\sqrt [ 3 ]{ \frac {- q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } }  } +\sqrt [ 3 ]{ \frac { -q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } }  } $$
No caso da nosa ecuación [2] temos que tomar p=-6 e q=-40 polo que obtemos a seguinte solución :
$$R.c.\left\lfloor 20.p.R.Q.392 \right\rfloor .p.R.c.\left\lfloor 20.m.R.q.392 \right\rfloor $$ $$\sqrt [ 3 ]{ 20+\sqrt { 392 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 20-\sqrt { 392 }  }$$
Outra vez a notación de Bombelli é tan moderna que se nos fai transparente e non precisa explicación. Agora fai uso da seguinte suposición:
$$\sqrt [ 3 ]{ 20+\sqrt { 392 }  }=a+\sqrt { b}\\ \sqrt [ 3 ]{ 20-\sqrt { 392 }  }=a-\sqrt { b}$$
Como sabía que a solución da ecuación era x=4:
$$ x=\left( a+\sqrt { b }  \right) +\left( a-\sqrt { b }  \right) =2a=4$$
Entón a=2. Xa pode buscar sen ningunha dificultade o valor de b desenvolvendo o cubo do binomio:
$${ { \left( 2+\sqrt { b } \right) } }^{ 3 }=20+\sqrt { 392 } $$
É inmediato obter o valor  b=2 . De aí que:
$$R.c.\left\lfloor 20.p.R.Q.392 \right\rfloor .p.R.c.\left\lfloor 20.m.R.q.392 \right\rfloor \\ eguàle\quad 2.p.R.q.2 \quad\quad 2.m.R.q.2\quad eguàle\quad 4$$ $$\sqrt [ 3 ]{ 20+\sqrt { 392 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 20-\sqrt { 392 }  }= \left( 2+\sqrt { 2 }  \right) +\left( 2-\sqrt { 2 }  \right) = 4$$
Unha pequena anotación fóra de liña. Como poderíamos introducir nunha aula de ensino secundario esta ecuación? Desde o punto de vista da súa resolución penso que o mellor contexto sería no momento en que tratemos das funcións. Teriamos que obter o punto de corte de dúas funcións ben coñecidas. Unha pequena contextualización do comentado máis arriba pode dar lugar a comprender o poder desas ferramentas das que dispoñemos hoxe en día. Con elas un alumno da secundaria pode, sen maior dificultade, abordar problemas que estaban nos límites do coñecemento matemático a mediados do XVI.

Álxebra con xeometría
Bombelli segue os pasos de Cardano, usa os seus métodos de resolución ata tal punto que, por exemplo, no capítulo de Cubo e tanti eguale a numero, usa a mesma ecuación que el
$${ x }^{ 3 }+6x=20\quad \quad \quad \quad [4]$$
que xa resolvéramos noutra entrada, cando falamos precisamente de Cardano. Daquela tomando
 p=6 e q=-20 polo que obtivemos a sorprendente igualdade
$$y=\sqrt [ 3 ]{ 10+\sqrt { 108 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 10-\sqrt { 108 }  }=2 $$
que cos métodos aritméticos de Bombelli deixaría de ser tan sorprendente. Como sabemos que x=2 é solución
$$ x=\left( a+\sqrt { b }  \right) +\left( a-\sqrt { b }  \right) =2a=2$$
entón tomando como valor para a a súa metade (a=1), podemos pasar a calcular b mediante a igualdade:
$${ { \left( 1+\sqrt { b } \right) } }^{ 3 }=10+\sqrt { 108 } $$
Obtemos b=3. Velaí a seguinte conclusión:
$$\sqrt [ 3 ]{ 10+\sqrt { 108 }  }=1+\sqrt { 3}\\ \sqrt [ 3 ]{ 10-\sqrt { 108 }  }=1-\sqrt { 3}$$

Para xustificar este resultado Bombelli volve a desenvolver o cubo dun binomio ao estilo da época, isto é, desmontando unha figura cúbica en pezas.

Estilo s.XVI vs. reinterpretación s. XX

Pero outra vez Bombelli fai un novo engadido. Achéganos outra xustificación de carácter "plano" (bidimensional). Con isto deslígase o grao da ecuación da dimensión da xustificación xeométrica. Outro pequeno avance que non culminaría ata que Leibniz, nunha carta a Huygens, no 1673, ofrece a primeira verificación puramente alxébrica da resolución da ecuación cúbica.

Resolución plana dunha ecuación cúbica
Na seguinte aplicación temos un resolutor automático baseado na idea de Bombelli [podes facer scroll coa roda do rato]





Imos intentar explicar algo as ideas que xustifican esta aplicación.
Sexa x=BC=HX
Aplicando o teorema da altura ao triángulo rectángulo BDE, e tendo en conta que tomamos CD=1, obtemos que CE=x²
Construímos un cadrado de lado HI e área 20 (ou q, en xeral). Con BO=HC=6 (ou p, en xeral), aplicando outra vez o teorema da altura ao triángulo rectángulo EIM:

$$20={ HI }^{ 2 }=EH\cdot HX=EH\cdot BC=(EC+CH)\cdot BC=\left( { x }^{ 2 }+6 \right) x={ x }^{ 3 }+6x$$

O golpe final
Volvamos ao comenzo, consideremos outra vez a ecuación
$${ x }^{ 3 }=15x+4\quad \quad \quad \quad [1]$$
Que tiña como solución:
$$x=\sqrt [ 3 ]{ 2+\sqrt { -121 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 2-\sqrt { -121 }  } $$
Agora as consideracións aritméticas de Bombelli volven a facer avanzar as matemáticas outro paso. Repitamos o procedemento xa comentado anteriormente:
$$\sqrt [ 3 ]{ 2+\sqrt { -121 }  }=2+\sqrt { -b}\\ \sqrt [ 3 ]{ 2-\sqrt { -121 }  }=2-\sqrt {- b}$$  $${ { \left( 2+\sqrt { -b } \right) } }^{ 3 }=2+\sqrt { -121 } \\ { { \left( 2-\sqrt { -b } \right) } }^{ 3 }=2+\sqrt { -121 } $$
É case inmediato obter o valor b=1 polo que así, por fin, se xustificaría a solución:
$$x=\sqrt [ 3 ]{ 2+\sqrt { -121 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 2-\sqrt { -121 }  } =\left( 2+\sqrt { -1 }  \right) +\left( 2-\sqrt { -1 }  \right) =4\quad \quad \quad [5]$$
Claro que, esta notación moderna pode deturpar o espírito orixinal da Algebra de Bombelli. Por esta razón escribo con remorsos esta última igualdade. Escribir a  cadrada de -1ou o número imxainario  i levanos a caer nun anacronismo inxustificable xa que leva implícito toda a mochila do rico desenvolvemento do corpo dos números complexos. Bombelli, certamente, non tiña esa mochila.
Así e todo, escribir a raíz cadrada dun número negativo tal e como veño de facer en [5] tampouco lle fai xustiza a Bombelli. Volvendo á súa notación, el escribía así a raíz cadrada de 4: R.c.4. Xa que logo podería ter escrito:
$$2.p.R.c.m.1$$ $$ 2+\sqrt { -1 } $$
Pero non o fixo. Posiblemente foi máis alá ao expresar a anterior expresión como 2.p.d.m. Onde p.d.m tería case o significado do noso número imaxinario i. Non se trata de escribir a raíz cadrada dun negativo, Bombelli, xa a tiña calculada e usaba ese resultado como un número co que operar nas mesmas condicións que calquera outro. Tiña razón Cantor, a esencia das matemáticas son a súa liberdade.

P.S.: como exercicio para o alumnado do ensino secundario, estaría ben estudar as solucións das cúbicas sen termos en x² mediante os puntos de corte entre as gráficas das función y=x³ e a dunha unha recta y=mx+n. Nesta entrada xa hai unha pequena colección de propostas en [1], [2] e [4]

Recursos:
Álgebra, Bombelli
Rafael Bombelli, MacTutor History of Mathematics archive
Una historia de las matemáticas para jóvenes III. La historia de las ecuaciones, Ricardo Moreno Castillo, Editorial Nivola
Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento italiano, Francisco Martín Casalderrey, Editorial Nivola
El universo de las matemáticas, William Dunham, Editorial Pirámide
Bombelli's Algebra (1572) and a new mathematical object , Giorgio T. Bagni

Paseo matemático e xeolóxico por Santiago

Julio Rodríguez Taboada explica moi ben en que consite un paseo matemático. Trátase de ir pola rúa observando os elementos matemáticos que hai polo percorrido que se realice. Javier Santiago Caamaño fai o mesmo, pero agora usando as gafas da xeoloxía nese paseo. Os dous acompañan ao alumnado do CPI Os Dices (Rois) e nós podemos facelo tamén mediante esta admirable peza audiovisual.
Simetrías, elipses, círculos, traxectorias dos planetas, catenarias, determinación da altitude sobre o nivel do mar, GPS, cantidade de persoas nunha manifestación na Quintana, o cadrado dunha suma, calendarios, espirais,... Todo iso respecto das matemáticas polo que hai que temos que engadirlle as rochas graníticas, o Pórtico da Gloria e a orixe das pedras que o forman, a construción en pedra, o efecto da auga e o sal no granito, as anfibolitas, o gas radón,...
Estou seguro de que o alumnado que participou da xornada aínda non é quen de apreciar en que medida son afortunados por poderen disfrutar desta xornada. Pero tamén teño a certeza de que, cando dentro duns poucos anos, volvan a remexer neste vídeo, fagan memoria do acontecido ou simplemente vexan outra vez as elipses polas rúas compostelanas, lembrarán con agradecemento todo canto aprenderon.

Tapando un burato: a ecuación cúbica

Boa parte do tempo e dos esforzos no ensino secundario están ocupados pola álxebra, quizais nun grao un tanto excesivo. Con todo, os estudos limítanse ás formas lineares e cuadráticas. Quedámonos ás portas do estudo das expresións cúbicas. Se un segue profundizando nestes estudos na universidade volverá sobre a cuestión da resolución de ecuacións, pero pegando un gran salto, xa no ámbito da teoría de Galois, xernerándose así un baleiro que dificilmente pode ter xustificación.  Despois de rematar a carreira eu aínda tardei moitos anos en tapar este burato. Deixo aquí algunhas notas con ese remendo.

E, de súpeto, apareceu Cardano.
A finais do século XV Luca Pacioli (1445-1517), nesa altura un dos matemáticos que con máis coñecementos sobre o tema, estaba tan convencido da imposibilidade da cuadratura do círculo como da resolución da ecuación cúbica. Por iso o Ars Magna, publicado no 1545, debeu causar unha profunda impresión na pequena comunidade matemática da época, xa que despois dunha apaixoante historia e non pouco traballo, ese estraño personaxe que foi Girolamo Cardano (1501-1576), non só ofrece a solución da ecuación cúbica senón que coa inestimable axuda de Ludovico Ferrari (1522-1565) tamén o fai coa de grao 4 [nota aparte: un dos libros máis divertidos que lin nunca foi a autobiografía de Cardano, recoméndoo vivamente]
Naqueles tempos non se tomaban en consideración os números negativos. Tampouco se expresaban as solucións das ecuacións mediante fórmulas. Os manuais explicaban o método de resolución nun caso particular e entendíase que aplicando o mesmo algoritmo tamén se poderían resolver outras ecuacións da mesma forma. Por estas razóns compría facer un estudo de múltiples casos nos que os coeficientes serían todos positivos, polo que nalgúns deses casos algúns coeficientes debían aparecer no segundo membro da ecuación. Así, Cardano distinguirá 13 casos posibles para a ecuación cúbica. Para nós isto resultaríanos demasiado pesado, así que desenvolveremos a solución da ecuación cúbica segundo Cardano pero actualizando as formas e as notacións.
Unha das grandes aportacións de Cardano foi que, dada unha ecuación cúbica xeral: $$a{ x }^{ 3 }+b{ x }^{ 2 }+c{ x }+d=0$$ mediante o cambio $$x=y-\frac { b }{ 3a } $$ podemos eliminar o termo de segundo grao. Por exemplo, se partimos da ecuación $$2{ x }^{ 3 }-30{ x }^{ 2 }+162x-350=0\quad \quad \quad \quad [7]$$
$$x=y-\left( \frac { -30 }{ 6 }  \right) =y+5$$
$$2{ \left( y+5 \right)  }^{ 3 }-30{ \left( y+5 \right)  }^{ 2 }+162\left( y+5 \right) -350=0$$
Botando contas queda:$${ y }^{ 3 }+6y=20\quad \quad \quad \quad [2]$$
Esta última expresión é das que Cardano denominaba "cubo máis cousa igual a número" e que hoxe escribiriamos $${ y }^{ 3 }+py+q=0\quad \quad \quad \quad [z]$$
No noso exemplo p=6 e q=-20
Sen perda ningunha de xeneralidade, basta resolver este tipo de ecuacións para podermos establecer a resolución dunha cúbica calquera. Con este propósito Cardano servíase do desenvolvemento do cubo dun binomio.
Consideremos o seguinte cubo de aresta u+v . O cubo desta suma desenvólvese a seguir

Cubo dun binomio u+v

$${ \left( u+v \right)  }^{ 3 }={ u }^{ 3 }+3{ u }^{ 2 }v+3u{ v }^{ 2 }+{ v }^{ 3 }$$
Pasando todo ao primeiro membro e sacando factor común 3uv no terceiro e cuarto sumandos:
$${ \left( u+v \right)  }^{ 3 }-{ u }^{ 3 }-3{ u }^{ 2 }v-3u{ v }^{ 2 }-{ v }^{ 3 }=0\\ { \left( u+v \right)  }^{ 3 }-3uv\left( u+v \right) -{ u }^{ 3 }-{ v }^{ 3 }=0$$
Tomando: $$x=u+v\\ -p=3uv\\ -q={ u }^{ 3 }+{ v }^{ 3 }$$
Temos outra vez a expresión [z]: $${ y }^{ 3 }+py+q=0\quad \quad \quad \quad [z]$$
Cun novo cambio de variables: $$\begin{cases} t={ u }^{ 3 } \\ s={ v }^{ 3 } \end{cases}\quad \quad \quad \begin{cases} t+s=-q \\ t\cdot s={ u }^{ 3 }{ v }^{ 3 }={ \left( \frac { -p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } \end{cases}\quad \quad \quad \quad \begin{cases} t=-q-s \\ \left( -q-s \right) s={ \left( \frac { -p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } \end{cases}\quad $$
Resulta que a última ecuación é de segundo grao en s con solución $$s=\frac { -q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } } $$
De aí que $$t=-q-s=\frac { -q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } } $$
E así, por fin, obtemos a solución $$y=u+v=\sqrt [ 3 ]{ t } +\sqrt [ 3 ]{ s } =\sqrt [ 3 ]{ \frac {- q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } }  } +\sqrt [ 3 ]{ \frac { -q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } }  } $$
No caso da nosa ecuación [2] temos que tomar p=6 e q=-20 polo que obtemos:
$$y=\sqrt [ 3 ]{ 10+\sqrt { 108 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 10-\sqrt { 108 }  } $$
O realmente curioso é que Cardano enxergou detrás desta expresión o valor y=2 (!) que, efectivamente, será solución da ecuación [2].
Finalmente vemos como unha boa elección da denominación para esta ecuación anticipa a súa solución ;)... e o mesmo pasa coa [7].

Un problema de máximos

Determinar o ángulo no punto de corte

Unha das actividades que fago para organizar mellor as clases é a de revisar como e o que aprendera no seu día, incluso os sentimentos e as ideas que me provocaba o estudo deste ou daqueloutro tema.
Entre os obxectivos máis destacables do bacharelato temos o da introdución ao cálculo diferencial. Para iso requírense uns coñecementos bastante amplos de álxebra. Despois comenza unha escalada bastante dura. En primeiro lugar cómpre ter na faltriqueira unha certa gama de funcións, coas súas características máis importantes. O seguinte paso é o estudo dos límites e especialmente ás técnicas de cálculo de indeterminacións. Lembro que cando tivera que estudar o cálculo de límites quedara completamente desconcertado. Non lle vía a lóxica. Aínda máis, aquilo non me parecía matemáticas. O asunto aínda se puxera máis feo cando tivera que abordar o cálculo de derivadas. O concepto de derivada estaba encerrado dun límite que facía o asunto pouco menos que incomprensible. Con todo, os métodos para traballar coas derivadas non eran tan complicados como cabería esperar dese concepto tan encerellado.
Por fin o premio chegaba cando se podían resolver problemas realmente marabillosos, que só unhas semanas antes parecerían inabordables. Gardo un especial recordo dun no se que pedía calcular o ángulo que formaban dúas curvas no seu punto de corte. Pero había moitos máis, entre eles os clásicos de representación da gráfica de funcións.
Entre os problemas dos que máis gocei están os de optimización. Quizais o menos interesante foi polo que comenzamos; con todo é o que comparto aquí

Determina dous números que sumen 26 de forma que o seu produto sexa máximo.

Despois de toda esta volta de despiste, velaquí o problema que quería propoñer:

Consideremos todas as particións de 26, por exemplo 26 = 13+13 = 10+12+4 = 9+7+6+2 .... Achar a que nos dea o produto máximo.

Se un se centra no problema, verá que non é dificil de resolver. Incluso a súa resolución pode levarnos facilmente a facelo co caso xeral, o de determinar a partición de produto máximo para calquera natural. A  solución desta última cuestión é unha desas marabillas das matemáticas que nos reconcilian co espírito humano.

Mate-glifos, un libro para recomendar

Ano tras ano observaba con envexa como o profesorado de lingua galega recomendaba lecturas ao alumnado. Eu, non podía facer o mesmo se non era traizoando a miña lingua. Por fin, aínda que mínimamente, como lle corresponde a unha lingua minorizada, podo comenzar a facelo.
Ao contrario do que sucede coa contaminación luminosa, que está apagando as estrelas, a colección de Xerais Básicos Ciencia é a única luz nesta escuridade que afecta á normalización dentro divulgación científica.
Nesa colección vén de publicarse Mate-glifos (Xerais 2019), da autoría dos profesores do Departamento de Matemáticas da Universidade de Vigo Nicanor Alonso e Miguel Mirás. O primeiro deles é o autor doutro libro publicado este ano, A lista de Hilbert (UVigo, 2019), un texto que na súa parte principal podía consultarse na Biblioteca Virtual de Literatura Universal en Galego e que agora publicou a Universidade de Vigo con algunha engádega como os Problemas Clay. Nesta mesma biblioteca virtual atopamos unha tradución da que Nicanor Alonso é co-autor, a do Libro I dos Elmentos de Euclides. Por outra banda Miguel Mirás é un dos partícipes nun texto pensado para a docencia universitaria, Matemáticas á Boloñesa (UVigo, 2014) que tivo que ser ser reestruturado para adaptalo ás novas normas e esixencias, dando lugar a, Un mar de matemáticas (UVigo, 2016). Non é Mate-glifos a única colaboración destes dous autores pois xa se xuntaron para ofrecernos Arenarius, a tradución ao galego da obra de Arquímedes. Estamos, polo tanto, fronte a dous autores experimentados e cun aval no ámbito da escritura sobre o coñecemento matemático máis que certificado. Aínda máis, como demostran todas estas referencias anteriores ambos os dous están interesados e comprometidos coa normalización da lingua, valor que os fai merecedores de todo o noso agarimo.
 Pero, que son os mate-glifos? Se como resposta ofrecésemos unha outra pregunta: "que son os petróglifos?", de certo que colleríamos o fío de por onde van as cousas. Un glifo, RAG dixit, é "un signo ou debuxo de carácter simbólico empregado en diferentes sistemas de escritura". Velaí que este libro está adicado á escritura dos algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0), mais tamén doutros símbolos matemáticos como o punto ou a coma decimais, as parénteses, corchetes ou chaves como glifos de agrupamento,  +, ー, ✕ ou ⋅, ÷ ou a/b, √, a^b, r॥ s (r paralela a s), r丄s (r perpendicular a s), ＞, ＜, =, x como incógnita, as abreviaturas trigonométricas sen, cos e tan, log como abreviatura de logaritmo, ∑, Π,  f ', ∫, ou os números e, π, i.
Quen propuxo toda esta simboloxía?, cando? cales son as razóns da escolla actual? Nicanor Alonso e Miguel Mirás intentan responder a estas cuestións.Teñamos presente que a resposta nunca é inmediata. Todas as ideas que gardan estes glifos escribíronse de distintas maneiras dependendo da época e incluso do autor. Consideremos por exemplo o símbolo da igualdade (=). Escollino porque, segundo a miña experiencia,  o creativo alumnado de secundaria está empeñado en substituílo por frechas (➝). Cada vez que o fan preséntolles a Robert Recorde, quen no 1557 expresou o seu argumento para introducir o símbolo = e que viaña sendo que el non era que de imaxinar dúas cousas máis iguais que dúas paralelas. En Mate-glifos faise referencia a outras escrituras para representar a igualdade tales como Ч (copistas do III e IV), pha, aeq., ae, ...
Aínda hai outra característica deste libro que o fai máis atractivo. Tomando como desculpa os tópicos que vai tratando, introdúcense a modo de pílulas, cuestións de carácter divulgativo. Esta estratexia de elaboración do libro faino moito máis dinámico para o lector que busca algo máis que unha restra de explicacións sistemáticas sobre a escritura matemática. Ao falarnos dos símbolos da división explícase en que consiste a proba do 9 (teño que confesar que é a primeira vez que a vexo nun texto impreso). A carón do sistema de numeración binario detállase un truco de maxia que utiliza este sistema. Os logaritmos van acompañados do problema do coleccionista de cromos: cantos cromos se espera que teña que comprar para completar unha colección de 200? A resposta, que recollo do libro, é de 1176. Noutro capítulo, a raíz da demostración do teorema de Pitágoras coñecida como a cadeira da noiva, preséntasenos un quebracabezas de Henry Dudeney consistente en cortar un triángulo equilátero en 4 pezas de forma que ao volver a xuntalas poidamos formar un cadrado.

Velaquí o triángulo equilátero, recórtao e forma un cadrado

Como regalo final, ofrécesenos un pequeno dicionario etimolóxico dalgúns termos matemáticos e unha táboa (ou glifoteca) con símbolos, ano de aparición e autor. Non sei que esperades para ler e, xa que logo, recomendar.

Matemáticas na rúa, en Ourense

Este pasado sábado 06/04/19 celebrouse na Praza Maior de Ourense un acto divulgativo das matemáticas organizado polas asociacións de profesores AGAPEMA e ENCIGA. 
Como tiña que ir a Ourense algunha destas fins de semanas, aproveitei a ocasión e acudín a ver o que montaran os compañeiros nesa fría mañán do mes de abril.
O día era moi desapacible: chuvia e baixas temperaturas durante toda a mañán así que a montaxe tivo que resgardarse nos soportais da praza. Pola contra arredor dos obradoiros había unha enorme calor humana. Ducias de rapaces remexían interesados entre as mesas expositoras.
Había toda clase artefactos como os clásicos cubos de Rubik, as torres de Hanoi, labirintos, tangramas, actividades de papiroflexia ou algún tipo de tres en raia (ou pai-nai-fillo, como lle chamaba eu de cativo). Deixo por aquí algunhas imaxes que dan algo de idea das sensacións da xornada.

Cónicas enfiadas

Superficies regradas

Rosalía anamórfica

Nas seguintes imaxes veremos como se supera a falta de medios con imaxinación. Para presentar os poliedros utilízanse escarvadentes e gominolas. Cantos escarvadentes e cantas gominolas precisamos para construir un tetraedro?
Veremos os cadrados máxicos elaborados con fotocopias e tapóns de plástico ou xogos elaborados con mistos.

Poliedros con gominolas

Cadrados máxicos

Xogos con mistos

Finalmente, velaquí na parte inferior o que máis me chamou a atención por ser descoñecido para min. Temos un taboleiro 4x4 e un total de 16 pezas de distintas alturas: 4 amarelas (de altura 4), 4 vermellas (de altura 3), 4 verdes (de altura 2) e as 4 máis baixas, as azuis (de altura 1). Colocalas todas no taboleiro de forma que non haxa na mesma fila nin na mesma columna dúas da mesma cor/altura non é nada difícil. Pero a cuestión complícase porque hai que fixarse no modelo que rodea o taboleiro; alí vemos uns números que neste caso son, comenzando pola parte superior esquerda e, movéndonos no sentido contrario ao das agullas dun reloxo: 3-1-2-2--3-1-3-2--2-1-3-2--3-1-2-2. Pois ben, situémonos agora coa vista á altura da mesa, entón desde cada un dos lugares indicados por cada número debemos ver, tantos bloques como indica cada un deses números.
O modelo da restra de números pódese variar, polo que para cada cada unha desas restras, teremos un reto distinto. A min divirtiume moito. Mágoa non ter un destes para esta semana de avaliacións!

Moito máis que un taboleiro 4x4