Desafíos trigonométricos e logarítmicos para secundaria

Velaquí unha terceira entrega da recompilación de problemas do David Linker e Alan Sultan Mathematics Problem-Solving Challenges for Secondary School Students and Beyond (Wordl Scientific 2016). 

1. Nun triángulo $\mathrm{△}ABC$, $\mathrm{\angle }C=90$. Obtén o valor de $cotA\cdot cotB$

2. O cadrado ABMN constrúese sobre a hipotenusa do triángulo rectángulo $\mathrm{△}ABC$. Se $AC=1$ e $BC=20$, determina MC.

3. Acha o valor de $sen\frac{\pi }{7}+sen\frac{4\pi }{7}+sen\frac{7\pi }{7}+sen\frac{10\pi }{7}+sen\frac{13\pi }{7}$

4. Acha todos os $x$ tales $xϵ[0,360]$ e $\frac{1-cos2x}{sen2x}=1$

5. Se $ta{n}^2(180-x)+sec(180+x)=11$ determina todos os posibles valores de $cosx$.

6. Calcula $x$ tal que $xϵ[0,90]$ e $co{s}^{4}x+se{n}^{4}x=\frac{3}{4}$

7. Calcula $\frac{sen75+cos75}{sen75-cos75}$

8. En $\mathrm{△}ABC$, $AB=20$, $BC=13$ e $AC=21$. Se $cosA+cosB+cosC=\frac{p}{q}$, onde $p$ e $q$ son enteiros positivos e coprimos, acha $p+q$

9. Os ángulos dun triángulo con lados 3, 4 e x forman unha progresión aritmética. Determina todos os valores de x.

10. Se $se{n}^{6}x+co{s}^{6}x=\frac{2}{3}$ e $xϵ[0,90]$, calcula $sen2x$.

11. Inscribimos un polígono regular de $n$ lados nunha circunferencia de raio $r$. Acha todos os $n$ tales que a área do polígono é un múltiplo enteiro de $r^2$

12. Acha o valor de $y$ se $\left(lo{g}_{3}x\right)\left(lo{g}_{x}2x\right)\left(lo{g}_{2x}y\right)=lo{g}_x{x}^2$

13. Se $lo{g}_5\left(senx\right)=-\frac{1}{2}$ determina o valor numérico do $co{s}^{2}x$

14. Calcula o $lo{g}_{\frac{1}{8}}sen4350$

15. Acha todos os números reais $x$ tales que $lo{g}_{x}2+lo{g}_{2}x=\frac{5}{2}$

16. Se $lo{g}_2{3}^4\cdot lo{g}_3{4}^5\cdot lo{g}_4{5}^6\cdot ...\cdot lo{g}_{63}{64}^{65}=x!$, acha $x$.

17. Calcula o valor numérico de $lo{g}_{10}\frac{1}{2}+lo{g}_{10}\frac{2}{3}+lo{g}_{10}\frac{3}{4}+...+lo{g}_{10}\frac{99}{100}$

18. Acha o valor de $log\left(tan{1}^{\circ }\right)+log\left(tan{2}^{\circ }\right)+log\left(tan{3}^{\circ }\right)+...+log\left(tan{90}^{\circ }\right)$