Os problemas alxébricos do "Sumario Compendioso" de Juan Díez

Cuestións de arte maior, tocantes á álxebra

Este mesmo título é co que se abre o capítulo de 6 páxinas de contido alxébrico do Sumario compendioso de Juan Díez.(se non sabes do que estou falando, mira a entrada anterior)  Podemos enmarcar a redacción dentro da habitual na súa época. Estamos diante dunha álxebra retórica, que usa a terminoloxía propia dos tratados alxébricos do XVI. Ao que nós denominariamos $x$, a incógnita,  Díez denomináa cousa, ao seu cadrado, $x^2$, chámalle censo e finalmente para referise a $x^3$ fala de cubo, neste último caso, tal e como o facemos tamén na actualidade.

O apartado alxébrico do Sumario está formado por 10 problemas coas súas respectivas solucións. De entre todos eles os máis interesantes son os dous primeiros. Estudémolos con algo de vagar.

Primeira cuestión. Acha un cadrado tal que restando del $15\frac{3}{4}$ quede a súa raíz.

Hoxe estableceríamos a ecuación $x^2-15\frac{3}{4}=x$ que dá como solución (positiva) $x=4\frac{1}{2}$. Como se verá estamos utilizando a notación mixta para a escritura dos números aínda que non sexa habitual facelo por estas latitudes. Facémolo para respectar a forma orixinal en que viñan presentados estes números. Como o resolve Díez? Poderiamos recoller a tradución de D. E. Smith, pero prefiro dar unha versión máis próxima ao orixinal. A razón é que Smith, o que pretendía era presentar o que fixera Díez, e coa súa versión conseguía este obxectivo. Dar unha tradución máis literal por unha parte dificulta a lectura do texto pero por outra permite achegarnos á cuestión de como traballaba Díez e quizais nos dea algún indicio de quen era. Velaquí o comentario de Juan Díez á primeira cuestión:

Regra. Digo que o número sexa unha cousa, demediaa, é media cousa, multiplícaa por si mesma e fai $\frac{1}{4}$ de censo, xúntalle  15 e $\frac{3}{4}$, fai 16, cuxa raíz cadrada e máis o medio da cousa é raíz do número demandado.

Nos libros de álxebra do XVI a resolución de ecuacións cadráticas clasificábase en varios casos para evitar o tratamento con números negativos. Por poñer un exemplo dun texto de certa importancia e da mesma época, no Libro del Algebra en Artihmetica y Geometría (1567) de Pedro Nunes (1502-1578) hai dous tipos e ecuacións: simples e compostas. As primeiras serían as ecuacións cuadráticas incompletas; 

(i) $a{x}^2=bx$    censos iguais a cousa                     

(ii) $a{x}^2=c$      censos iguais a número                 

(iii) $bx=c$            cousas iguais a número                

as segundas representarían os casos completos. En todos, os valores dos coeficientes son positivos.

(iv) $x^2+bx=c$   censos máis cousas iguais a números

(v) $x^2=bx+c$    censos iguais a  cousas máis números 

(vi) $x^2+c=bx$    censos máis números iguais a cousas

Así, para evitar os negativos, o primeiro problema alxébrico do Sumario presentaríase en notación actual como: $$x^2=x+15\frac{3}{4}$$que unha ecuación do tipo (v) e asúa solución: $$x=\frac{b}{2}+\sqrt{{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+c}$$ que é compatible coa regra que nos dá Díez polo que dá a impresión de que coñecía o algoritmo que resolve esta clase de ecuacións. Non só iso, senón que se enxerga que para obter o exemplo partiu da resolución. Podémolo imaxinar razoando así: "como nesta debemos realizar unha raíz cadrada, presentaremos unha que teña solución enteira, de aí que o radicando deba ser un cadrado, por exemplo 16. Como ese cadrado se obtén sumando o número, c, co cadrado da metade da cousa, ${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$, e se no problema só temos unha cousa, b=1, temos que ${\left(\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$, polo que o número debe ser o que falta para completar 16, isto é, o número será$15\frac{3}{4}$. Se analizamos os outros nove problemas reforzarase a idea de que a elaboración dos problemas foi no estilo que acabamos de describir. 

Chama a atención que no enunciado apareza un número negativo. Non é caso único. Abraham bar Hiia (ca. 1070-1136), tamén coñecido como Savasorda, presentou varias cuadráticas nas que aparecían restas. Isto dá indicio que máis que un avance, a aparición de negativos identifique unha característica retrógrada no sentido de que isto sería impensable dentro dun estudo sistemático do estilo de Pedro Nunes.

Segunda cuestión. Un home compra unha pasaxe nun barco e pregunta ao patrón que debe pagar. Respóndelle que non ten que pagar máis que os outros. Cando llo pregunta outra vez o patrón respóndelle que será o número de pesos que multiplicados por si mesmo e engadidos  ao número dará 1260. Demando canto demanda o patrón.

A resolución actual presentaríase así:  $x^2+x=1260$, que é do tipo (iv) "censos máis cousas igual a números". Se escribimos a súa forma xeral, (iv) $x^2+bx=c$, a solución dada polos contemporáneos sería equivalente á fórmula $$x=-\frac{b}{2}+\sqrt{{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+c}$$

 No Sumario podemos ver como, efectivamente, segue este procedemento:

Digo que a pasaxe sexa unha cousa de pesos, a metade é media cousa, cádraa, fai $\frac{1}{4}$ de censo, xúntao a 1260, fai 1260 e un cuarto. A raíz disto menos medio da cousa é o número demandado da pasaxe: reduce 1260 e $\frac{1}{4}$ a cuartos, son $\frac{5041}{4}$, a súa raíz é 71 medios, resta o medio da cousa que é medio, quedan 70 medios, que son 35 pesos, e tanto é o que demanda a pasaxe.

É significativo que Juan Díez non trate o outro tipo das que Nunes chamaría ecuacións completas. No resto dos exercicios non aparecen ecuacións do tipo (vi). Tampouco veremos as simples dos tipos (i) e (iii). Digámolo doutro xeito, Díez non é sistemático. En en fecto, no resto dos problemas refirese esencialmente a ecuacións tipo (ii). De aí que o perfil do autor do Sumario se presente como dun home que coñecía a literatura matemática da época pero que non quixo presentar completa e ordenadamente os coñecementos alxébricos; preferiu centrarse en problemas tipo especial, procurando, iso si, ofrecer unha variedade orixinal de presentacións xogando coas proporcións ou os produtos de proporcións. Así nalgúns casos dá potencias superiores para incógnita.

Para certificar algunhas das afirmacións xa realizadas, daremos o enunciado do resto dos problemas xunto coa presentación e resolución en notación actual recollida do libro de Smith.

Terceira cuestión. Hai unha cantidade de cabras que multiplicando o seu zenso ($x^2$) por 4 dá 90000.

$4x^2=9000;x=150$

Cuarta cuestión. Un home que vai por un camiño pregunta a outro cantas leguas hai ata un certo lugar e o outro respóndelle que hai tantas leguas que se as multiplicas por si mesmas e divides o produto por cinco, o resultado será 80. Demándase o número de leguas.

$\frac{1}{5}{x}^2=80;x=20$

Quinta cuestión. Un home compra pezas de roupa de tal xeito que se multiplicando o triplo pola súa cuarta parte o produto será 48. Demando o número de prezas que comprou.

$3x\cdot \frac{1}{4}x=48;x=8$

Sexta cuestión. Un home ten eguas e vacas en quíntuple proporción [5 veces máis vacas que eguas]. Se calculas o cadrado das vacas e das eguas e sumas os resultados terás 1694. Demando o número de eguas e de vacas.

$x^2+25x^2=1664;x=8$

Sétima cuestión. Un home ten tres xoias en cuádruple proporción de valor de tal forma que o produto dos seus valores é 1748. Demando o valor de cada xoia.

$x\cdot 4x\cdot 16x=1728;x=3$

Oitava cuestión.Un home ten fillos e fillas en altera proporción de forma que a metade do produto dos fillos polas fillas é 162. Demándase o número de fillos e de fillas.

Dous números están en altera proporción se o seu cociente é $\frac{3}{2}$.

$x\cdot \frac{3}{2}x\cdot \frac{1}{2}x=162;x=6$

Novena cuestión. Un home ten que facer dous pagos en cuádruple proporción de meses, de tal forma que o cadrado do primeiro polo cuádruplo, e levado ao cubo este produto resulta 32768. Demando cantos pagos debe facer.

${(x^2\cdot 4x)}^3=32478;x=2$

Décima cuestión. Un home ten dous fillos en quarta proporción de idade de xeito que multiplicando un cuarto da idade do máis novo por un quinto da idade do máis vello e cuadriplicando o resultado e do producido facendo a súa raíz e elevando ao cubo a metade do último dá 125 anos. Demando a idade que ten cada un.

Dúas cantidades están en quarta proporción se a razón e é de $\frac{5}{4}$.

Tense que $\frac{x}{4}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{5x}{4}=\frac{x^2}{16}$, entón $4\cdot \frac{x^2}{16}=\frac{x^2}{4}$ e de aí $\sqrt{\frac{x^2}{4}}=\frac{x}{2}$ polo que ${\left(\frac{x^2}{4}\right)}^3=125;x=20$