| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | $10$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f_{n}$ | $a$ | $b$ | $a+b$ | $a+2b$ | $2a+3b$ | $3a+5b$ | $5a+8b$ | $8a+13b$ | $13a+21b$ | $21a+34b$ |
| $S_{n}$ | $a$ | $a+b$ | $2a+2b$ | $3a+4b$ | $5a+7b$ | $8a+12b$ | $15a+20b$ | $21a+33b$ | $34a+54b$ | $55a+88b$ |
Esta cuestión recollina do libro The Mathematics of Various Entertaining Subjects (Princenton University Press, 2016), un libro no que cada capítulo está asinado por un autor distinto. Chamoume a atención o de Anany Levitin, que trata sobre adiviñas matemáticas que se resolven nun só paso. A autora destaca este tipo de retos porque son sorprendentes e escasos, un par de características que os fan moi valiosos. Por se esta perla non anima o suficiente a botarlle un ollo ao capítulo de Levitin, vou recoller un par de problemas máis desta mesma fonte. Cando lin o enunciado do primeiro vin inmediatamente a solución. Claro! foi divulgado por Martin Gardner e seguramente xa non era a primeira vez que o tiña diante.
Unha pía de moedas falsas. Hai 10 pías de 10 moedas de aparencia idéntica. Todas as moedas dunha destas pías son falsas, mentres que todas as moedas das outras pías son auténticas. Cada moeda auténtica pesa w gramos, mentres que cada moeda falsa pesa w + 1 gramos, onde w é coñecido.Tamén existe unha báscula dun só prato que pode determinar o peso exacto de calquera número de moedas. Identifica a pía coas moedas falsas nunha soa pesada.
O segundo trata o mesmo tópico, moedas legais vs. moedas falsas. Deste vou dar a solución máis abaixo, así que se queres gozar con el, non fagas scroll máis abaixo da imaxe. Por certo, na imaxe aparecen moedas de peseta. Os que xa temos certa idade lembramos que as moedas de 5 pesetas chamábanselle pesos. Normalmente non se falaba dos billetes de cen pesetas, senón dos de vinte pesos.Tiven o malicioso pensamento de usar no seguinte enunciado a palabra peso no canto de moeda para encerellar máis o problema, pero contívenme. Retrospectivamente creo que fixen mal, así que queda como exercicio ao lector que lea o enunciado facendo o cambio e verá que o meu espírito malicioso tiña razón.
Unha moeda sospeitosa. De 101 moedas, 50 son falsas. O peso dunha moeda auténtica é un número enteiro descoñecido, mentres que todas as moedas falsas teñen o mesmo peso, que difire do peso dunha moeda auténtica en 1 gramo. Pedro ten unha báscula de dous pratos que mostra a diferenza de peso entre os obxectos colocados en cada prato. Pedro elixe unha moeda e quere determinar nunha soa pesada se é auténtica ou falsa. Pode facelo?
 |
| Tanto monta, monta tanto |
 |
| Canto pesan 20 pesos? |
Colócase nun prato da balanza a moeda escollida e no outro o resto. Sexa $a$ o peso dunha moeda auténtica e $f=a\pm 1$ o dunha moeda falsa.
Se a moeda escollida é falsa a diferenza entre os pratos será $51a+49f-f=51a+48f=51a+48(a\pm1)=99a\pm48$ que é múltiplo de $3$
Se a moeda escollida é auténtica a diferenza entre os pratos será $50a+50f-a=49a+50f=49a+50(a\pm1)=99a\pm50$ que non é múltiplo de $3$
Tamén podemos resolver o problema segundo as indicacións de Fomin et al, do libro Círculos matemáticos (SM&RSME 2012), editado na colección Estímulos Matemáticos. Agora déixase a un lado a moeda escollida e colócanse 50 moedas en cada prato da balanza.
Estudemos o que sucede se a moeda retirada é auténtica. Nese caso quedan 50 de cada tipo. Supoñamos que no primeiro prato poñemos as 50 auténticas que pesan $50a$ e no segundo as 50 falsas, que pesan $50(a\pm1)=50a\pm50$. Daquela a diferenza de peso entre os pratos será $\pm50$. Se intercambiamos unha moeda falsa do primeiro prato cunha falsa do segundo, a diferenza variará en $\pm2$. Se repetimos o intercambio a diferenza seguirá sendo par.
Se a moeda retirada fora falsa quedarían 49 falsas e 51 auténticas. Supoñamos que no primeiro prato temos 50 auténticas e no segundo están as 49 falsas máis a outra auténtica. Entón a diferenza entre os pesos dos pratos será $50a-(49f+a)=49a-49f=49a-49(a\pm1)=\pm49$, un número impar. Outra vez, se intercambiamos unha moeda auténtica dun prato con outra falsa do outro, a variación da diferenza será de $\pm2$. En conclusión, cando a moeda retirada é falsa, a diferenza de peso entre os pratos é impar.
