Todos os triángulos son equiláteros

 Cando comecei a carreira de Matemáticas fíxeno con moi mal pé. Asistía ás clases diariamente e, diarimente, saía delas sen entender absolutamente nada. Isto levoume a considerar facer un cambio de carreira. Ao final, felizmente non o fixen. Entre outras moitas razóns está un libro. Como das aulas non sacaba nada en limpo, e dérase a circunstancia de que acababan de publicar un libro de Martin Gardner, Ruedas, Vida y otras diversiones matemáticas (Editorial Labor 1985), pasei as tardes lendo nel pois o estudo ficaba unha e outra vez infructuoso. Así, no canto de intentar descifrar o que eran os p-subgrupos de Sylow, lía un par de capítulos do libro e cando, despois dunhas horas de frustante incompresión, me fartaba de bater cos criterios de converxencia de series, pasaba o resto da tarde cubrindo en folio cuadriculados, un paso tras outro dalgunha configuración do xogo daVida de Conway.

Un dos capítulos dese libro titulábase  Falacias xeométricas.  Contiña varios resultados disparatados tales como que $\pi=2$, ou que o quinto postulado pode ser demostrado a partir dos restantes da xeometría euclidiana. Ademais viñan coas súas correspondentes demostracións. Quizais o máis destacable de todos eles porque só se usa xeometría elemental e ademais non resulta evidente desentrañar o engano, era o que se indicaba que estaba entre os favoritos de Lewis Carroll. Efectivamente, esta falacia recollíase dun libro do creador de Alicia. O seu enunciado dicía así: 

Teorema. A veces un ángulo obtuso pode ser igual a un recto

Resulta que volvín ver este enunciado xunto coa súa demostración noutro libro, Recreations in Mathematics, de H. E. Licks (D. Van Nostrand Company 1917) que descubrín grazas a este chío de Cliff Pickover. Esta mesma publicación contén outro resultado, que é o que vou compartir aquí. O autor comenta que é dos que paga a pena conservar.

Teorema. Todos os triángulos son equiláteros

Sexa un triángulo calquera $ABC$ con lados $a$, $b$ e $c$ opostos respectivamente aos ángulos $A$, $B$ e $C$.

Ampliamos a recta $CA$ ata o punto $D$ cun segmanto de lonxitude $c$. Así o triángulo $ABD$ será isóscele con dous ángulos iguais a $\frac{A}{2}$.

Ampliamos a recta $AB$ ata o punto $E$ cun segmento de lonxitude $b$. Así o triángulo $ACE$ será isóscele con dous ángulos iguais a $\frac{A}{2}$

Consideremos en primeiro lugar o triángulo $BCD$. Aplicándolle o teorema do seno teremos:

$$\frac{CD}{CB}=\frac{b+c}{a}=\frac{sen\left( B+\frac{A}{2} \right)}{sen\left( \frac{A}{2} \right)}$$

Consideremos agora o triángulo $CBE$. Aplicándolle o teorema do seno teremos:

$$\frac{BE}{BC}=\frac{b+c}{a}=\frac{sen\left( C+\frac{A}{2} \right)}{sen\left( \frac{A}{2} \right)}$$

Igualando as dúas expresións: $$\frac{b+c}{a}=\frac{sen\left( B+\frac{A}{2} \right)}{sen\left( \frac{A}{2} \right)}=\frac{sen\left( C+\frac{A}{2} \right)}{sen\left( \frac{A}{2} \right)}$$

Daquela $sen\left( B+\frac{A}{2} \right)=sen\left( C+\frac{A}{2} \right)$ entón $B+\frac{A}{2}=C+\frac{A}{2} $ e polo tanto $B=C$

Análogamente poderiamos demostrar que $A=B$ e de aí teremos que o triángulo é equilátero.