Relación entre series infinitas, fraccións continuas teito e constantes. Parte 2: Conxectura de Erdős-Straus.

 

por Andrés Ventas

$\newcommand{\Mod}[2]{\equiv #1\ (\mathrm{mod}\ #2)}$ A conxectura de Erdős-Straus é un problema sen resolver en Teoría de números. A conxectura consiste en que, por cada enteiro $n$ igual ou maior que 2, existen enteiros positivos $x$, $y$, e $z$ para os que

$\dfrac{4}{n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}.$

Noutras palabras, o número $4/n$ pode ser escrito como a suma de tres fraccións unitarias.

O nome da conxectura débese a Paul Erdős e Ernst G. Straus, quen a formularon en 1948. As sumas de fraccións unitarias, como a deste problema, coñécense como fracción exipcia , polo seu uso nas matemáticas do antigo Exipto.

Existen varios algoritmos para obter fraccións exipcias, o documento de D. Eppstein ( D. Eppstein,Ten Algorithms for Egyptian Fractions ) mostra 10, o máis famoso deles o algoritmo cobizoso e nós mediante aplicación directa do teorema da suma por pares (visto na parte 1) temos un novo algoritmo que imos comparar co algoritmo cobizoso.

Para a comparación imos usar a fracción $\tfrac{4}{1009}$ onde o denominador é un dos famosos denominadores de Mordell . Mordell mediante unha serie de congruencias obtivo que os únicos denominadores da conxectura de Erdős-Straus que podían non ter solución eran os números primos da forma $840k + (1, 121, 169, 289, 361, 529) $, para $k$ natural. O primeiro primo desa secuencia sería o $840 + 169=1009$.

O algoritmo cobizoso consiste en ir ficando cada vez coa fracción unitaria que máis se aproxima á fracción orixinal, restar e repetir o proceso coa seguinte mellor aproximación. O algoritmo das sumas por pares consiste en calcular a fracción continua teito mediante o algoritmo de Euclides e despois usar directamente a suma por pares dos numeradores dos converxentes. Vexamos un exemplo comparativo.

ALGORITMO COBIZOSO

num	denom	cociente teito	fracción restante
$1009$	4	$253$	$\dfrac{4}{1009}-\dfrac{1}{253} = \dfrac{3}{255277} $
$255277$	3	$85093$	$\dfrac{3}{255277}-\dfrac{1}{85093} = \dfrac{2}{21722285761} $
$21722285761$	2	$10861142881$	$\dfrac{2}{21722285761}-\dfrac{1}{10861142881}$ $= \dfrac{1}{235928849352132817441} $

Resultado $\dfrac{4}{1009} = \dfrac{1}{253} + \dfrac{1}{85093} + \dfrac{1}{10861142881} + \dfrac{1}{235928849352132817441}$

Aparte do algoritmo cobizoso, para obter todas as solucións teríamos que principiar polo denominador $x$ do algoritmo cobizoso e despois escoller un denominador $y$ unha unidade maior e facer ese bucle ata que o denominador cubrise a metade do restante e se non damos atopado solución voltar ao bucle principal e aumentar nunha unidade o denominador $x$. Se chegamos a un denominador inferior a un terzo do valor da fracción sen atopar solución daquela non a hai.

ALGORITMO DAS SUMAS POR PARES

Primeiro aplicamos Euclides teito

num	denom	cociente teito $(c_i)$	resto
$1009$	4	253	3
$4$	3	2	2
$3$	2	2	1
$2$	1	2	0

E agora a fracción continua teito

$c_i$	253	2	2	2
$p_i$	253	505	757	1009
$q_i$	1	2	3	4

(os denominadores $q_i$ non son necesarios mais móstranse por completar)

Resultado $\dfrac{4}{1009} = \dfrac{1}{253} + \dfrac{1}{253 \cdot 505} + \dfrac{1}{505 \cdot 757} + \dfrac{1}{757 \cdot 1009}$
$= \dfrac{1}{253} + \dfrac{1}{127765} + \dfrac{1}{382285} + \dfrac{1}{763813}$

Debido a que se temos $\dfrac{4k}{n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$ como suma de tres fraccións unitarias tamén temos $\dfrac{4}{n}=\dfrac{1}{kx}+\dfrac{1}{ky}+\dfrac{1}{kz}$ como suma de tres fraccións unitarias, con este algoritmo só temos que procurar numeradores múltiplos de 4 (para todo $4k \le 2n$). Por exemplo temos:

num	denom	cociente teito $(c_i)$	resto
$1009$	$44=4\cdot 11$	23	3
$44$	3	15	1
$3$	1	3	0

E agora a fct

$c_i$	23	15	3
$p_i$	23	344	1009
$q_i$	1	15	44

Solución $\dfrac{4}{1009} = \dfrac{1}{11 \cdot 23} + \dfrac{1}{11 \cdot 23 \cdot 344} + \dfrac{1}{11 \cdot 344 \cdot 1009}$
$\dfrac{4}{1009} = \dfrac{1}{253} + \dfrac{1}{87032} + \dfrac{1}{3818056}$

PEQUENAS CONCLUSIÓNS

1. O algoritmo por pares demostra que para un numerador calquera $t$ e fracción $\dfrac{t}{n}$ temos un máximo de $t$ fraccións unitarias e sempre ten solución.
2. As solucións máis longas son para $1 \equiv n \mod{t}$
3. A conxectura cúmprese se para calquera $p$ primo impar, existe alomenos un $4k, k \in \mathbb{Z}$ para o que
   $p \Mod{-r_0}{4k}.$
   $4k \Mod{-1}{r_0}.$
4. Nas probras con ordenador na casa dá que existe solución dada polo algoritmo por pares até $n=10^{9}$, canto máis grande é o denominador máis solucións existen.
5. Mentres que no caso da conxectura de Erdős-Straus as $fct$ de 3 elementos solucionan todos os denominadores primos, para a variante de Sierpiński hai dous valores de tipo $60k+1$, que non dá solucionado, $\{541, 1381\}$, para denominadors superiores hai varias solucións para cada $n$ tamén máis abundantes canto maior é o denominador $n$.
6. Unha demostración supoño que chegará da man da teoría de números analítica (tipo Conxectura de Goldbach, ver bibliografia documento de Harald Andres Helfgott), tendo en conta que as solucións son cada vez máis numerosas cando o denominador aumenta, mais as miñas matemáticas non chegan a ese nivel.

Bibliografia

1. D. Eppstein,Ten Algorithms for Egyptian Fractions
2. Harald Andres Helfgott The ternary Goldbach problem