Marzo, mes das matemáticas; en galego

Marzo, mes das matemáticas. Sempre me pareceu un mal nome para esta enorme iniciativa pois sobarda con moito o citado mes. A rede de divulgación das matemáticas DIMa, a partir da proclamación por parte da UNESCO do 14 de marzo como Día das Matemáticas, decidiu participar cunha serie de eventos durante todo o mes. Pero parece que o asunto botou por fóra e o listado de actividades xa ocupa máis de medio ano e non se lle ve trazas de que teña finalización. 

Entre outros proxectos divulgativos hai unha gorentosa colección de exposicións. Agora podemos acceder á versión en galego dalgunha delas. En concreto:

• Sabías que...?
• Marzo, mes das matemáticas en galego

O primeiro destes recursos lévanos á descarga do material desta exposición. O segundo é un portal no que podemos acceder á exposición Matemáticas para un mundo mellor, con 10 pósteres distintos xunto con outra exposición de 12 fotografías matemáticas comentadas.

De toda esta colección de recursos sabemos grazas a Elena Vázquez Abal, profesoa do Departamento de Matemáticas na Área de Xeometría e Topoloxía da USC quen comparte todo isto coa seguinte petición:

A descarga de todo este material é libre, o único que pedimos é que no caso de realizar unha exposición pública se nos informe (por motivo de recollida de impacto) ao enderezo marzomates@ull.edu.es do lugar e período da exposición e, se é posible, que nos envíen fotos. Se comparten información en redes da exposición, por favor, inclúan #MarzoMates DiMa - Divulgación Matemáticas F E C Y T ·

Sen dúbida ningunha son unha boa colección de recursos que permiten abordar novas miradas ás matemáticas. Tamén aparecen recollidos no web Retallos de matemáticas, no seu apartado de Material didáctico.

 

Grazas Poniachick!

Hai uns días, limpando o faiado atopei un pequeno fateixo de revistas que comprara cando era novo. Eran exemplares de Cacumen, unha revista mensual publicada por Zugarto,  editorial madrileña especializada en crucigramas e pasatempos. Sacáronse un total de 47 números entre os anos 1983 e 1986. 

Para os meus petos era moi cara. Con todo chegara a comprar algúns números.  A revista estaba adicada aos xogos. Nela podías encontrar relatos breves con algunha conexión lúdica, retos, curiosidades, cuestións, bandas deseñadas e tamén artigos sobre matemáticas recreativas e xogos. Moitas tardes teño pasado cun xogo de cartas recollido do nº 31 ! O xogo, chamado noventa e nove é facilmente adaptable á baralla española. Como curiosidade, nese mesmo número había un artigo sobre o "extravagante" libro das sucesións de números enteiros de Sloane. Daquela non existía internet.

Practicamente en todos os números había algún artigo e varias referencias ás matemáticas. Por exemplo no nº 34 explícase en poucas palabras a demostración mediante conos do teorema de Monge que foi obxecto doutra entrada neste blogue.

No nº 16 lera por primeira vez a demostración de Euclides da existencia de infinitos números primos. Só por estas poucas liñas xa pagaba a pena a revista. A extraordinaria demostración é unha referencia central das matematicas. Supoñamos, segundo nos indica Euclides, que só hai unha cantidade finita de números primos: 2, 3, 5, 7,...., p, onde lle chamamos p ao maior deles. Consideremos agora o número N=2・3・5・7・....・p + 1. N pode ser primo ou non selo. Se o é xa achamos un primo maior que p. Se non o é terá que ter algún divisor primo pero nin 2, nin 3, nin 5, nin 7,...., nin p son divisores de N xa que o resto da división de N por calquera deses números será 1. De aí que ese eventual divisor primo de N ten que outro maior que p que non estea na relación dada. En calquera caso ten que haber algún primo máis que os supostos, isto é, ten que haber infinitos.

Entre as páxinas de Cacumen tamén se poden achar xogos de Sam Loyd ou artigos de Henry Dudeney, mais cando se fala de xogos e de matemáticas ten que aparecer indefectiblemente Martin Gardner. Apareceron artigos seus nos exemplares nº 24,  nº 26, nº 27 e do nº 32. Neste último trata sobre a cicloide e no primeiro sobre o número π. En moitos outros hai referencias a contribucións súas. En concreto no nº 33 un tal Tadeo Monevin expón e resolve o seguinte problema do divulgador norteamericano:

Un número fantasmal. Unha dama, interrogada polo seu número de teléfono contestou de forma ben curiosa: "o número termina en 4, e se vostede corre o 4 cara adiante de forma que se converta no primeiro díxito, o novo número resulta ser 4 veces o orixinal". Cal é o número telefónico da dama?

Tadeo Monevín é o pseudónimo de Jaime Poniachick (1943-2011), un matemático nacido en Uruguai moi destacado no mundo das matemáticas recreativas. En Arxentina editou da Revista del Snark, que tivo unha curta vida entre os anos 1976 e 1978. Uns anos despois sería o responsable da publicación doutra revista, El Acertijo. Poniachick era un colaborador habitual de Cacumen. El é o autor dun artigo publicado no nº 39 que me quedou gravado a lume. Presentaba o seguinte problema:

O cinto da Terra. Imaxinemos un cordel cinguido á Terra sobre o ecuador. Se lle engadimos un metro, vai quedar algo folgado, canto? Axustemos agora outra o cordel arredor dunha laranxa e despois agregámoslle tamén un metro. O sorprendente é que agora a folgura do cinto da laranxa coincide coa da Terra.

A explicación é ben simple. A lonxitude da corda inicial é 2πr. Se lle engadimos un metro será $$2\pi r+1=2\pi \left ( r+\frac{1}{2\pi } \right )$$

polo que o raio da circunferencia corda extendida supera en 1/2π unidades ao raio da circunferencia inicial independentemente do valor do raio. No caso que nos ocupa, como incrementamos a lonxitude nun metro, o raio aumentaría uns 16 cm tanto no caso da Terra como no da laranxa.

A alma de Poniachick era profundamente matemática. Este artigo continúa preguntándose que pasaría se o cordel ata cadrados de distinto tamaño, ou trigángulos, ou hexágonos,.... Remata con outra perla:

O raíl dilatado. Consideremos un raíl recto de 500 m. de lonxitude fixado nos seus extremos. Coa calor do verán expándese 2 m formando unha xiba no seu centro. Se o arqueamento que se produce é simétrico, que altura estimarías que acadará? 

A resposta, como no caso anterior da Terra e a laranxa, é sumamente antiintuitivo. Poniachick indícanos que unha boa estimación desa altura poderiamos obtela supoñendo que no canto dunha curva temos dúas rectas. 

Quizais o lector coñeza xa a métrica do taxi, atribuída a Minkowski. Para obter a distancia entre dous puntos debemos desprazarnos polas horizontais ou verticais determinadas por eses puntos. A distancia entre os puntos A e B da seguinte figura será 5+3=8. Sobre isto escribe Poniachick no nº 35

A combinatoria dinos que podemos emparellar 4 puntos de 6 formas distintas. Na imaxe que se mostra a continuación están colocados 4 puntos de forma que as distancias entre eles sexan 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 

Sabemos que podemos emparellar 5 puntos de 10 formas distintas. Poderemos colocar 5 puntos sobre o plano de forma que coa métrica do taxi as súas distancias cubran todos os valores enteiros entre 1 e 10? A resposta é que non e a razón ten que ver coa paridade. Fagamos un esquema conectando 5 puntos entre si. O resultado é un pentágono coas súas 5 diagonais. Cada conexión entre dous puntos terá unha medida ben par, ben impar. Fixemos uns valores de paridade para as conexións co punto A: p indica par e i indica impar. No seguinte esquema aparecen en laranxa e a escolla aos puntos B, C, D e E foi p, i, i, i. Isto determina todas as demais pois cada vez que tracemos un triángulo ten que verificarse a "regra dos signos" pois, por exemplo, se entre B e A hai unha distancia par e entre A e C hai unha impar, A distancia entre B e C será impar.

Se facemos o reconto veremos que hai un total de 4 conexións pares e 6 impares cando o número de pares e impares entre os números 1 e o 10 distribúense equitativamente 5 a 5. Con outras escollas iniciais de paridade para o punto A volve a suceder o mesmo, de aí que sexa imposible resolver o problema con 5 puntos. Tamén é imposible facelo con 7 pero sí é posible con 6. Neste caso verás que se obterán todas as distancias entre 1 e 15 colocando eses 6 puntos sobre un rectángulo de dimensións 7🇽8.

No seu artigo do nº 40 Poniachick propón a seguinte cuestión:

Triangulación. Dentro dun triángulo grande distribuímos 5 puntos que, xunto cos 3 vértices do triángulo utilizamos para dividilo en 11 trianguliños. Cantos triganguliños conseguiremos distribuíndo 1000 puntos dentro do triángulo grande?

As ideas aquí recollidas non o foron cun criterio sistemático. Centreime nas revistas que aínda conservo e noutras que coñecía polas portadas. Poden consultarse todos os números de Cacumen nesta entrada do blogue Espejo lúdico. 

Ah! Unha última anotación. Os artigos aos que se fixo referencia ao principio que trataban sobre o libro das sucesións de Sloane, o teorema de Monge e a demostración euclidiana da existencia de infitnitos primos tamén eran da autoría de Poniachick. Ata que nestes días revisei estas revistas e me decatei disto non sabía que el foi unha das persoas que máis me influiu en que quixera estudar matemáticas. Grazas Poniachick!

Os premios de Explícoche Matemáticas 2.0, edición 2021

 "Explícoche matemáticas 2.0" chega á súa novena edición. Trátase dun concurso convocado pola Comisión de Normalización Lingüística da Facultade de Matemáticas da USC no que se promove o galego como lingua de transmisión de coñecementos matemáticos fronte ao deostado decreto 79/2010 que prohíbe os materais didácticos na nosa lingua para materias de carácter científico no ensino non universitario. 

Outra vez o concurso foi todo un éxito de participación pois recibiron un total de 60 propostas. O traballo que recibiu o primeiro premio consiste nun vídeo sobre Ada Lovelace, realizado por Sara Ramos López e Uxía Varela Castro do IES Afonso X O Sabio (Cambre)

Dous foron os vídeos premiados cun accésit. Seguramente é casualidade, pero os dous tratan as progresións xeométricas. Son ‘Explícoche matemáticas cociñando e xogando’ de Aroa Blanco Guerreiro do IES Castro da Uz (As Pontes) e ‘Pódese chegar á lúa dobrando un papel?’ de Alba Casás Fuentes IES Manuel Murguía (Arteixo)

 

   

O xurado tamén outorgou mencións aos vídeos ‘As inecuacións’ de Andrea Freire Valiño do IES Pontepedriña (Santiago)e ‘Miúdo traxecto as matemáticas orientais: Bashkara II’ de Alexandre Lago Pereira e Pablo Savino Real do IES Mendiño (Redondela)

   

   

O traballo máis popular foi ‘Coñeces a banda de Möbius?’ de Hada Galán Lamas daEscola Waldorf Meniñeiros (Friol).  A categoría B dedicada a alumnado universitario ficou deserta.

 

Pola miña banda eu tamén faría referencia a un vídeo do Colexio San José de Cluny (Santiago) por estar técnicamente moi ben realizado, "Os corpos de revolución"

Penso que tanto os organizadores como os premiados merecen os parabéns. O que boto en falta é un portal que recolla todas as edicións e premios outorgados, pero polo menos temos unha escolma dos vídeos de varias edicións na canle de Youtube da Facultade de Matemáticas. Á correspondente á edición 2021 pódese acceder desde aquí.

Coma sempre o aspecto negativo foi a presenza na persoa da subdirectora da Secretaría Xeral de Política Lingüística deste organismo na entrega de premios. Supoño que agardaba que a ela tamén lle darían un, o da hipocrisía. Teno ben gañado.

Cotanxentes e arcotanxentes

Cando abordamos o estudo da trigonometría na secundaria poden tratarse determinadas funcións pouco agradecidas como as dadas polas razóns inversas do seno, coseno e tanxente. Unha vez presentadas estas, para que estudar a cosecante, secante e cotanxente? Pola propia definición destas ultimas aparentan superfluas. En todos os meus anos de docente apenas lembro outra cousa que dar as súas definicións para un uso esporádico. Nunca expliquei a representación gráfica destas razóns inversas. Para non expulsalas por completo, tería sentido usalas nalgún exercicio nos que o seu papel non sexa irrelavante. No temario de Matemáticas I de 1º de bacharelato trátanse as fórmulas  trigonométricas dos ángulos suma e resta. Para comprobar se o alumnado as comprendeu ben pódeselle pedir que deduzan fórmulas como a seguinte

$$cot(A+B)=\frac{cotA\cdot costB-1}{cotA+cotB}\quad\quad   [1]$$

Hai outro grupo de funcións que teñen únicamente un valor instrumental. Estoume a referir ás inversas das funcións trigonométricas: o arcoseno, o arcocoseno e o arcotanxente. É imprescindible coñecelas para a resolución de triángulos pero acaban reducidas a unha tecla na calculadora.

Ou non?

Na canle de youtube de Michel Penn propúxose un problema recollido dun concurso de matemáticas húngaro do 1959. Afórrovos a publicidade do Youtube pois recollo de seguido o seu enunciado:

Consideremos un poste vertical sobre un plano horizontal. A distancia de tres puntos ao poste é de 100 m, 200 m e 300 m. A suma dos ángulos de elevación deses puntos ao extremo superior do poste é de 90 graos. Acha a altura do poste.

Vou reproducir a solución de Michael Penn. Sexan A, B e C o ángulos de elevación do poste desde os tres puntos que distan 100 m, 200 m e 300 m respectivamente da súa base. As súas cotanxentes serán:

$$cotA=\frac{100}{h}\quad\quad cotB=\frac{200}{h}\quad\quad cotC=\frac{300}{h}$$

Agora ben, $$Se A+B+C=90 \Rightarrow cotA+cotB+cotC=cotA\cdot cotB\cdot cotC\quad\quad [2]$$

$$\frac{100}{h}+\frac{200}{h}+\frac{300}{h}=\frac{100}{h}\cdot \frac{200}{h}\cdot \frac{300}{h}$$

De onde facilmente obtemos o valor buscado:

$$\frac{600}{h}=\frac{6000000}{h^{3}}\\h^{2}=10000\\h=\pm 100$$

Claro que teriamos que xustificar a fórmula dada en [2]. Para iso poderiamos partir da fórmula da cotanxente dunha suma:

$$cot(A+B)=\frac{cotA\cdot costB-1}{cotA+cotB}\quad\quad   [1]$$

Que inmediatamente nos leva esta outra de suma de cotanxentes:

$$cotA+cotB=\frac{cotA\cdot costB-1}{cot(A+B)}$$

Agora ben, 

$$A+B=90-C\Rightarrow cot(A+B)=cot(90-C)=\frac{cos(90-C)}{sen(90-C)}=\frac{senC}{cosC}=tanC$$

e substituíndo en [1]:

$$cot(A+B)=\frac{cotA\cdot cotB-1}{cotA+cotB}=\frac{cotA\cdot cotB-1}{tanC}=cotA\cdot cotB\cdot cotC-cotC \quad\quad\square$$

Cando vin o problema pasoume pola mente, coma un lóstrego, esta outra fórmula de máis abaixo. É unha desas cousas que ves algunha vez e que te chaman a atención pero que deixas aparcadas pensando: é bonita, aínda que non vexo que nunca a vaia utilizar.

$$arctan1+arctan2+arctan3=180º $$

Quizais o mellor desta fórmula sexa a súa demostración. Sobran as palabras:

Volvendo outra vez ao problema húngaro, agora desde a perspectiva desta nova achega, sexan A'=90-A, B'=90-B e C'=90-C os ángulos complementarios de A, B e C. A súa súma A'+B'+C'=180º. Basta que o valor de h=100 para que tanA=1, tanB=2 e tanC=3.

Problemas da 'American Mathematics Competitions' para secundaria

En entradas anteriores recollera neste blogue unha escolma de problemas da UKMT tanto para o alumnado da ESO (primeira etapa, segunda etapa) como para o do bacharelato. Desta volta non cambio de idioma pero salto o charco.

Nas competicións AMC (American Mathematics Competitions) preséntanse 25 problemas con cinco respostas posibles a escoller para realizar nun tempo limitado: 40 minutos (AMC 8) ou 75 minutos (AMC 10 e AMC 12). Hai varias categorías, segundo o nivel (a idade) do alumnado. Os AMC 8 están pensados para alumnos dunha idade correspondente a 2º da ESO, os AMC 10 para 4º da ESO e os AMC 12 para 2º de bacharelato. De seguido recollo algúns exemplos, aínda que lles retirei as respostas pois prefiro enfocar a resolución de problemas sen ter que escoller a solución entre un grupo de respostas dadas. Os títulos tamén son obra miña.

Os dous seguintes problemas son do AMC 8 do ano 2005. Do primeiro estrañáronme moito as dúas primeiras liñas, adicadas a describir o campo de xogo, que non é outro cousa que un reloxo. Neste caso engadinlle a ilustración.

A saltos polo reloxo. Alice e Bob participan nun xogo que se desenvolve nunha circunferencia dividida  en 12 puntos igualmente espazados. Os puntos están numerados no sentido das agullas dun reloxo, do 1 ao 12. Ambos comezan no punto 12. Alice móvese no sentido das agullas dun reloxo e Bob no sentido contrario. En cada turno do xogo Alice móvese 5 puntos no sentido das agullas do reloxo e Bob móvese 9 puntos no sentido contrario. O xogo remata cando ambos paran no mesmo punto. Cantos turnos lles levará rematar?

Puntos e triángulos. Cantos triángulos distintos se poden debuxar usando tres dos seguintes puntos como vértices? 

Vai agora un da AMC 10, do ano 2004

Diferenza triangular. Na figura ∠ EAB  e   ∠ABC son ángulos rectos. AB=4, BC=6, AE=8 e AC e BE intersécanse en D. Cal é a diferenza entre as áreas dos triángulos  △ABE  e △BDC

Outro do mesmo nivel, pero doutro ano, en concreto, do AMC 10 do ano 2014

 

Catro cubos. Catro cubos de lonxitudes de aresta 1, 2, 3 e 4 están amontoados como se mostra. Cal é a lonxitude da porcións de XY contida no cubo de aresta 3?

Para rematar, un par de problemas do nivel 12. O primeiro deles é do AMC 12 do ano 2011.

Medias. A media aritmética de dous naturais distintos x e y é un número natural de dous díxitos. A media xeométrica de x e y obtense invertendo os díxitos da media aritmética. Cal é o valor de |x-y| ?

A figura do seguinte problema chamoume a atención porque é a dun spinner, ese artefacto que non hai tanto foi obxecto dunha moda efémera, sobre todo entre os rapaces. Collíano polo centro entre dous dedos e non paraban de darlle voltas. Haiche gustos!

 O problema apareceu no AMC 12 do 2012. Neste caso non me gustou a redacción  porque dá demasiados datos e ofrece unha vía para a súa resolución polo que pecha a posibilidade de razoala desde cero, que é o realmente interesante. Por iso ofrezo no "meu spinner" un enunciado alternativo. 

O spinner. A curva cerrada da figura está formada por 9 arcos circulares congruentes, cada un de lonxitude 2π/3 onde cada un dos centros das circunferencias correspondentes está nos vértices dun hexágono regular de lado 2. Cal é a área delimitada pola curva?

O meu spinner. A curva cerrada da figura está formada por 9 arcos circulares congruentes debuxados tomando como centros os 6 puntos marcados con raios de lonxitude 1. Cal é a área delimitada pola curva?

Isto de aquí é unha pequena mostra. Na wiki do Art of Problem Solving hai como estes, a centos.  Dá para entreterse unha boa temporada.

O oficio de ser profesor de matemáticas. O vértice da parábola.

Como exemplo de en que consiste o oficio de ser profesor de matemáticas vou relatar algunha das consideracións que fixen ao dar unha clase en 3º da ESO ao abordar o estudo das funcións cuadráticas, en concreto, a representación gráfica das parábolas.

Antes de nada comento algunha das cousas que aparecen nos libros de texto de Matemáticas Aplicadas actuais escollidos ao chou. En primeiro lugar o de 3º da ESO de Bruño. Antes do contido da fotografía só se daba a gráfica de y=x² destacando dela un feito ao que Galileo lle sacou moito partido pero que neste contexto non serve máis que para despistar: que a diferenza entre valores enteiros das ordenadas dá a sucesión de impares. Despois xa temos a seguinte receita.

O seguinte recorte é do libro de 4º da ESO de Santillana. As epígrafes anteriores estaban adicadas ás parábolas y=ax² , y=ax² +c e y=ax² +bx. Para cada un dos casos dase unha fórmula distinta para a obtención do vértice. En ningún deles se estuda como varía a forma da gráfica segundo varía a. Tampouco se indica en ningún sitio o papel que xoga o termo independente c. En resumo, as matemáticas son unha restra de receitas. No summum desta filosofía, explicítasenos ademais a ordenada do vértice. É necesaria esta fórmula cando basta con substituir o valor da abscisa na expresión alxébrica da parábola?

Temos que aceptar a fórmula para a abscisa do vértice ou, pola contra, podemos deducila? Está claro que me gusta facer preguntas retóricas. A resposta é afirmativa, pois de non selo, non a faría. Parto da base de que soltar unha fórmula tras outra non é dar clase de matemáticas pois non é facer matemáticas. As fórmulas non caen do ceo polo que, sempre que sexa posible, cómpre derivalas doutros coñecementos que teñamos adquiridos. Ademais isto permite a fixación a longo prazo e a aprendizaxe de estratexias de resolución de problemas.

Como todos estes materiais, alén das problemáticas comentadas, só os podemos encontrar en castelán, eu recomendo os recursos do Descartes ED@D, que podemos consultar en galego e permiten unha relación máis dinámica que un libro de texto ao conter escenas interactivas que guían a aprendizaxe. Con todo, se queremos só libro de texto, tamén o podemos descargar (aquí un exemplo do tema en cuestión), aínda que eu prefiro usar os cadernos de traballo editables (e editalos) que atopamos sempre na primeira páxina de cada tema. Pasemos a traballar coa unidade do Proxecto Descartes.

 

Despois de botarlle unha ollada ao texto, centrémonos na escena da dereita. Trátase de representar a parábola y=x²  cubrindo unha táboa de valores (hai que premer enter cada vez que introduzamos un valor) Os alumnos deben facelo tamén no seu caderno. Ao finalizar insistimos nas características máis importantes da representación: o eixe de simetría e o vértice da parábola.

Aparécenos unha frecha para continuar traballando coa escena. Agora trátase de ver a representación das funcións da forma y=ax² para distintos valores de a. Xogamos con eses valores e vemos na escena como varían os valores de y, pero sobre todo observamos os cambios da gráfica segundo variamos o parámetro a. Despois de varias preguntas e respostas na clase acordamos que:

• Canto maiores (en valor absoluto) son os valores de a, máis pechada é a parábola e canto menores (en valor absoluto), máis aberta.
• Para valores positivos de a a parábola ábrese por arriba e o vértice é un mínimo. 
• Para valores positivos de a a parábola ábrese por abaixo e o vértice é un máximo

Se nos fixamos na seguinte escena interactiva, agora podemos ver como varía a gráfica da parábola ao introducir o termo independente c. A función  y=ax² trasládanse c unidades sobre o eixo de ordenadas para darnos a gráfica de  y=ax² +c

 

Os problemas comezan coa lectura do texto destacado á esquerda que nos remiten ás mesmas cuestións que as apuntadas cando revisamos os libros de texto. Aquí vólvenos a aparecer a eiva anteriormente comentada. Recóllese sen xutificación ningunha a fórmula para a abscisa do vértice. Vexamos como podemos introducila a este nivel de ensino. Para iso, antes de nada, vou repasar os coñecementos previos que son necesarios para esa dedución.

Coñecementos previos

• No seu día traballamos a resolución de ecuacións de segundo grao. Fixémolo con certa profundidade pois ademais da dedución da fórmula que dá as solucións da ecuación, deducimos as fórmulas de Vieta que nos indican a relación da suma (e do produto) das raíces cos coeficientes da ecuación. En concreto, sexan x₁ e x₂ as solucións de ax²+bx+c=0$$x_{1}=\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\quad x_{2}=\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\S=x_{1}+x_{2}=\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a}$$
• Tamén se estudaron as ecuacións das rectas na súa forma explícita. En particular traballáronse as ecuacións das rectas horizontais y=k e as das rectas verticais x=k.
• Por suposto, tamén saben calcular unha media.
• Non nos esquezamos de que acabamos de ver que a gráfica de  y=ax² +c é a translación de c unidades sobre o eixo Y de  y=ax² 
• Nin de que as parábolas teñen un eixo de simetría vertical 
• E que isto significa que cortan as rectas horizontais "á mesma altura"
• E que o vértice está nese eixo

O vértice da parábola

Con todo isto na faltriqueira, podemos abordar a dedución da fórmula en cuestión. Decatémonos de que son unha gran cantidade de ítems e que isto pode producir en moitos alumnos unha saturación cognitiva. Por iso convén repasar e  clarificar todas estas ideas anteriores antes de continuar. Agora ben, o emprego de tantas ideas dadas durante o curso permiten o seu repaso e desvelan a súa utilidade noutras partes da materia. Especialmente destacable é a fórmula de Vieta para suma das solucións que no seu día parecía unha extravagancia, unha profundización sen moito sentido, e que agora se vai revelar como a porta á resolución dun novo problema.

Como o proceso é bastante complicado adiántase que únicamente traballaremos con parábolas co coeficiente a>0; isto é, parábolas abertas "por arriba". O profesor propón dous exercicios. No primeiro explica unha estratexia de resolución e as súas razóns.

Exercicio 1.Representación gráfica de  de  y=x² -4x+3 . 

Xa vimos nas escenas anteriores que as gráficas daquelas parábolas son simétricas. Adiántase que isto seguirá sendo así. Comenzarase con algo coñecido, a resolución da ecuación   x² -4x+3=0 . Reflexiónase que isto é equivalente a achar os puntos de corte da parábola co eixo dos X.  Obtemos  x₁ = 1 e x₂=3. Represéntase no plano cartesiano:

Ponse en evidencia que estes son dous puntos da parábola que están á mesma altura, ergo son simétricos. Polo tanto o eixo de simetría pasará polo punto medio x=2 e terá como ecuación x=2:

Tamén sabemos que o vértice estará nalgún lugar deste eixo, isto é, a primeira coordenada do vértice é v_x = 2 . Para calcular a segunda, basta con valorar a función y=x² -4x+3 neste punto e obtemos v_y = -1. Agora podemos facer uso da simetría e dar valores por parellas á mesma distancia do eixo porque sabemos que para cada parella o valor da función será o mesmo. Velaquí a táboa, os puntos representados e a gráfica.

Agora é o turno do alumnado, sen guía do profesor.

Exericio 2. Representación gráfica de  y=x² -2x-3 . 

Neste caso os puntos de corte co eixo dos X son  x₁ = -1 e x₂=3 polo que a primeira coordenada do vértice será media destas raíces que é v_x = 1. Este valor tamén nos indica o eixo de simetría. A solución neste novo caso é a seguinte:

Quedou ben claro que o eixo de simetría é o punto medio das raíces da ecuación de segundo grao. Lembrando as fórmulas de Vieta para este tipo de ecuacións podemos deducir a ansiada fórmula:

$$v_{x}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{S}{2}=\frac{\frac{-b}{a}}{2}=\frac{-b}{2a}$$

Se aplicamos esta fórmula aos dous exercicios anteriores veremos que a fórmula nos dá os valores achados anteriormente:

$$\underline{Exercio 1.}\quad v_{x}=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left ( -4 \right )}{2\cdot 1}=2\\\underline{Exercio 2.}\quad v_{x}=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left ( -2 \right )}{2\cdot 1}=1$$

Ademais destacamos que aplicar esta nova fórmula afórranos o cálculo das solucións da ecuación de segundo grao. Pídeselles que o fagan nos seguintes exercicios.

Exercicio 3. Representación gráfica de  y=2x² -12x+10 

Exercicio 4. Representación gráfica de  y=x² +4x+6 

O máis interesante de todo este proceso é observar o que sucede na aula cando propoñemos comprobar neste último exercicio que o eixo de simetría coincide co punto medio das solucións da ecuación x² +4x+6=0. A cuestión é que non ten solucións reais. Entón, como é que puidemos achar o vértice da parábola? Non era que a fórmula se obtiña precisamente ao calcular a media das solucións da ecuación? Como é posible que a fórmula funcione máis alá de onde foi obtida? É practicamente seguro que ningún alumno deste nivel sexa quen de dar resposta satisfactoria a estas cuestións. Non se trata de crearlles inseguridade nas matemáticas. Polo contratrio, o obxectivo está en destacar o extraordinarias que son. Seguro que hai razóns inescrutables que fan que funcione a fórmula. No improbable caso de que haxa un ambiente de interese por buscalas, e se despois dalgún tempo de reflexión e traballo non xurde ningunha idea, pódeselles recordar que a variación do termo independente trasladaba a curva verticalmente ou, equivalentemente, quizais conveña cortar a parábola con rectas horizontais como y=3 ou y=4 que darán lugar a puntos equidistantes do eixo de simetría.

Seguindo no contexto do exercicio 4, que pasa coas parábolas da forma y=x² +4x+c ? E se c=0?Ou, fixándonos na fórmula da abscisa do vértice, decatamonos de que non depende de c para nada? Iso que significa? As fórmulas non só non son obra dun demiurgo, senón que ademais fálannos e dinnos cousas das que non nos decataremos nunha lectura superficial. Velaí que todos estes procesos significan unha maior profundización no tema a tratar. A desvantaxe consiste en que precisan de moito máis tempo. A vantaxe é que se tratan as matemáticas coma se fosen matemáticas. 

Finalmente unha aclaración. Non se trata de que aquel que non explique como calcular o vértice dunha parábola exactamente tal e como o fixen aquí esté poñendo en práctica unha docencia irreflexiva pois nin eu mesmo o fago exactamente así. O importante é que no modo de enfocar as clases haxa unha corrente subterránea que cuestione todo aquilo que se vai levar á aula baixo os parámetros da materia. Espero que quede establecido que unha cousa é ensinar a razoar, a xeneralizar, a reflexionar sobre casos extremos, a facerse preguntas e incluso a dar algunha resposta, en definitiva, dar clases de matemáticas. Outra cousa moi distinta é recitar libros de texto, revelar listados de leis e propiedades, adicar os días e as noites a listas de exercicios repetitivos. Isto outro é dar clase de relixión.

Cerrando o círculo con Martin Gardner

Polo meu ben, non debería escribir estes parágrafos porque o primeiro que se vai destacar é a miña falta de cultura matemática. Hai unhas poucas semanas redactaba outra entrada, "Recuncando en Alcuíno" na que recollía un grupo de problemas semellantes nos que entraban en xogo un medio de transporte e o combustible para o seu funcionamento. Pedíase optimizar os recursos para chegar con ese transporte a un determinado obxectivo. Os problemas aparecen copiados ao final desta entrada.

Ben sei que non se pode pretender ser perfectamente sistemático. Con todo, a miña intención era recoller a familia máis ampla de problemas que se puideran agrupar baixo un mesmo paraugas. Non podía imaxinar que pouco tempo despois había de bater cun novo problema desta clase, e nada menos que nun libro de Martin Gardner que, está claro, tiña sen ler, The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions. 

Despois desta lección, dubido que poida cerrar o círculo deste tipo de problemas; posiblemente haxa algún outro semellante á espreita en calquera volta de folla. Polo momento recollo de seguido o de M. Gardner:

O voo arredor do mundo. Un grupo de aeroplanos teñen base nunha pequena illa. O tanque de cada aeroplano ten o combustible xusto para media viaxe arredor do mundo. Calquera cantidade de combustible pode transferirse do tanque de calquera aeroplano ao doutro durante o voo. A única fonte de combustible está na illa e asumimos que o trasvases son instantáneos.

Cal é o menor número de aeroplanos deben sair en voo para que un consiga dar unha volta completa arredor do mundo nunha traxectoria círcular. Suponse que tanto as velocidades como os consumos son sempre os mesmos e que todos os aeroplanos regresan a salvo á illa base.

Despois de lelo cómpre un momento de repouso e o intento da súa resolución. Paga a pena. Máis abaixo recollo tamén a solución de Martin Gardner. Fágoo sobre todo por unha razón, pola simplicidade e fermosura do esquema que nos proporciona esa solución.

Para darlle tempo ao enventual solucionador do problema, meto polo medio os enunciados mencionados anteriormente.

Problema do camelo. Un camelo debe transportar 90 modios de trigo dunha casa a outra que queda a 30 leguas. O camelo nunca pode levar unha carga superior a 30 modios. Ademais o camelo come un modio por cada legua. Con cantos modios pode chegar á segunda casa?

Problema do jeep. Nunha base fixa hai n unidades de combustible. Dispoñemos dun jeep que pode levar ata 1 unidade de combustible, e nunca máis. Cun consumo constante o jeep gasta 1 unidade de combustible por unidade de distancia. En calquera punto do camiño pode deixar calquera cantidade de combustible ou recoller calquera cantidade deixada nunha viaxe anterior. combustible. Cal é a máxima distancia que se pode alcanzar?

O problema da motocicleta. Unha pista circular nun deserto debe ser patrullada. Un explorador e unha motocicleta serán transportados en helicóptero a algún punto da pista, e o explorador debe facer un circuíto completo no sentido das agullas do reloxo  na motocicleta, que ten un tanque de 1 litro. O piloto do helicóptero dille ao explorador: "Teño boas e malas noticias". "Cales son as malas noticias?" "O tanque desta motocicleta está baleiro". "Oh ! E cales son as boas noticias? “A boa noticia é que hai latas de gasolina colocadas ao longo da pista, e xuntas conteñen 1 litro de gasolina, que é suficiente gasolina para que vostede e esta motocicleta circulen pola pista unha vez. Aquí hai un mapa que mostra onde están as latas e canta gasolina contén cada unha. Onde queres que che deixe?"

Agora a solución. Como o esquema é tan claro, non cómpre engadir ningunha aclaración. 

Onde outros ven un cadrado,
un matemático ve un cilindro