Matemáticas, linguas e outros asuntos. Unha conferencia de Victoria Otero

A catástrofe da pandemia da COVID 19 obrigou a que a programación de conferencias presenciais, reservadas para o público da localidade, multiplicase un tipo de charlas paradoxalmente máis próximas, máis cara a cara e máis preparadas para poder ver en vídeo. Presento aquí a conferencia que M. Victoria Otero Espinar impartiu telemáticamente para o Ateneo de Santiago baixo o título "Matemáticas, linguas e outros asuntos"

Na conferencia explícanse varios modelos matemáticos que desenvolven a dinámica entre dúas linguas en conflito. Botei en falta unha perspectiva normalizadora. Fálase da morte de tal forma que parece natural e non se incide en que o declive dunha lingua vén dado pola implantación dunha política lingüística co obxectivo do asasinato lingüístico. 

As matemáticas poden sintetizar a evolución lingüística nun territorio? O problema consiste en cuantificar a dinámica lingüística

Pártese das seguintes hipóteses: o uso da lingua aumenta cando aumenta o número de falantes e tamén cando aumenta o seu prestixio.

Establécese o cambio lingüístico dunha lingua X a outra lingua Y en función das hipóteses anteriores. A partir de aquí establécese unha ecuación diferencial

$$\frac{dx}{dt}=c\cdot {\left ( 1-x \right )}^a s - cx{\left ( 1-x \right )}^a \left ( 1-s \right )$$

onde tanto  s coma o resto dos parámetros, toma valores no intervalo [0,1] e mide o estatus da lingua X  fronte a 1-s que nos daría o estatus da outra lingua. O parámetro a pondera a fracción de membros dun grupo para atraer novos falantes. Demostrouse que este parámetro a é prácticamente igual independentemente das linguas que estean en competición.O primeiro sumando representa os falantes de Y que cambian a X e o segundo o dos falantes de X que pasan a falar en Y.

Este modelo, publicado por Daniel M. Abrahams e Steven H. Strogatz en Nature no 2003 predice a morte dunha das linguas. O problema deste modelo é que considera linguas  moi diferentes como o éuscaro e castelán e considera unha dinámica entre grupos estrictamente monolingües. Por iso introduciuse outro parámetro, k, que cuantifica a proximidade entre dúas linguas e tamén se introduce un grupo B de bilingües.

$$\frac{dx}{dt}=c\left [\left ( 1-x \right )\left ( 1-k \right )\left ( \left ( 1-s \right ) \right ) {\left ( 1-y \right )}^a  -x\left ( 1-s \right )\left ( 1-x \right )^{a} \right ]\\\frac{dy}{dt}=c\left [ \left ( 1-y  \right )\left ( 1-k \right ) \left ( 1-s \right )\left ( 1-x \right )^{a}-ys\left ( 1-y \right )^{a}\right ]$$

Este novo modelo, de Otero Espinar, Seoane, Nieto e Mira,  axustouse para Galicia atendendo á evolución do galego e o castelán entre os anos 1875 a 1975. O seguinte paso consistiría en empregar este modelo para predecir a evolución da dinámica lingüística no futuro e establecer simulacións segundo cambien as condicións iniciais.

Partindo dunha alta similaridade entre galego e castelán: k=0.8 (o 1 sería a coincidencia), e dunha medida para o estatus do galego s=0.26 (versus un prestixio do castelán de 1-s=0.74) situariamonos onde está marcado o punto vermello. Como vemos está na zona verde, isto indica que as dúas linguas coexistirían pero cun claro declive do uso do galego. Como referencia, ao final do vídeo coméntase que os valores do éuscaro eran k=0,22 e s=0,4.

Este modelo de Otero Espinar et al  é máis elaborado que o de Abrahams-Strogatz, pero desde o meu punto de vista ten aínda aspectos cuestionables. Introdúcese mediante o parámetro k o concepto de "similaridade lingüística" pero isto pode ocultar un fenómeno cada vez máis presente en casos como o galego e o catalán. Resulta que a lingua minorizada, por ser semellante á dominante e tamén por esa minorización, vai recollendo como propias as estruturas da lingua A. Así temos un galego cada vez máis inzado de castelanismos, pero tamén, e isto é moito máis perigoso para a supervivencia da nosa lingua,  a sintaxe galega está perdendo forza e converxendo cada vez máis cara a española. Neste sentido a similaridade entre linguas ten un efecto de dilución da lingua B que non vexo tratado neste modelo e que aceleraría a súa decadencia nun aspecto aínda máis preocupante que a da simple perda de falantes. Como se ve, hai campo para seguir elaborando modelos. O que teño claro é que en todos eles, unha perspectiva social normalizadora de defensa sen ataduras da lingua minorizada dará prediccións con perspectivas de crecemento e afianzamento da lingua ameazada nas condicións iniciais.

Pero, pódese medir a similitude entre linguas? Como se fai? Neste artigo do GCiencia divúlgase o traballo do Atlas Lingüístico Galego (ALGa) e, entre outras cousas coméntase un estudo de Xulio Sousa no que se mide mediante un índice a proximidade da fala de cada lugar co estándar. Entre outras cousas desmóntase o mito da enorme diferenza entre o galego falado e o normativo. Este tipo de estudos dialectolóxicos inclúen mapas tan fermososos como o seguinte, elaborado con diagramas de Voronoi ,como o deste chío do ILG sobre a denominación do derradeiro día do ano

Día tras día, chegamos hoxe ao 31 de decembro, o último día do ano.
Despedímonos do 2018 e desexámosvos o mellor para o 2019! pic.twitter.com/xUo4o0Zg1t

— Instituto da Lingua Galega (@ILG_USC) December 30, 2018

Na última parte da conferencia Victoria Otero toca fala do uso do big-data, supuxo un cambio moi importante na análise da evolución das linguas. Están a crearse mundos virtuais no que o sofware pode crear linguas novas. Conta o caso duns investigadores de facebook que deixaron a dúas máquinas manter unha conversa entre elas. O resultado foi que crearon unha nova lingua, máis eficiente que o inglés.

Finalmente tamén se fala do problema da escaseza de licenciados en matemáticas que teñan como perspectiva profesional o ensino. 

Os autores de Mate-glifos, unha gran vocación de divulgar as matemáticas

Nicanor Alonso e Miguel Mirás son dous profesores de matemáticas da Universidade de Vigo que escribiron un libro de divulgación titulado "Mate-glifos" (Xerais, 2019) do que temos falado neste mesmo blogue. O pasado 14 de marzo visitaron o IES Antón Losada (A Estrada) para ofrecer unha charla ao alumnado de 2º e de 4º da ESO. Ambos demostraron unha gran vocación de divulgación, unha actitude contínua de achegar as matemáticas aos rapaces botando man de múltiples recursos: ábacos, imaxes, xogos con números, un cubo máxico ou un simple folio.

Comezaron preguntando que é un mate-glifo. Esta palabra non existe nos dicionarios, pero si acharemos o termo glifo. Se sabemos o que é un petróglifo, ou un xeroglifo xa podemos enxergar o significado do vocablo mate-glifo. Efectivamente, estámonos referindo aos símbolos matemáticos. Os principais podémolos consultar neste póster que nos ensinaron no transcurso do seu relatorio. Vemos como a carón de cada símbolo temos o seu significado, quen e en que ano o usou por primeira vez. 

Póster Glifoteca by kiarqu2458

Durante as súas intervencións Nicanor e Miguel non só nos falaron dos símbolos matemáticos ou do significado da idea matemática de base dun sistema de numeración, senón que tamén compartiron diversos xogos matemáticos que desenvolvían as ideas matemáticas que estaban tratando.

Como se abordou o tema do uso do corpo humano como soporte para contar, presentouse un método para obter a táboa do 9 a partir dos dedos das mans. 

  

Nestas imaxes podemos ver ao alumnado en plena práctica de repaso da táboa de multiplicar.

Tamén se falu do sistema de numeración en base 2, e en relación con el, mediante o cubo das idades do matemago Werner Miller, os poñentes adiviñaron as datas de nacemento de varios alumnos. O cubo en cuestión é un artefacto moi curioso, con 5 das súas caras formando cadrados máxicos con números do 1 ao 31. Ademais cada un deses 5 cadrados máxicos verifica a propiedade de que todos os números que o forman comparte a propiedade de teren un 1 no mesmo lugar da súa escritura en forma binaria. Lembremos que un cadrado máxico consiste nunha táboa de 3x3, 4x4, 5x5,.... números de forma que a suma de todas as filas, a de todas as columnas e a das dúas diagonais dá sempre o mesmo resultado. Por exemplo, no cadrado máxico 4x4 da imaxe de abaixo, todas estas sumas dan 70. 

Anotacións á "Variábel sombra do sol" de Antón Otero

 O Departamento de Matemáticas do IES Monelos ten nome, chámase Departamento Antón Otero Baamonde "Tonón" en memoria do que fora membro do mesmo. Na propia páxina do Departamento achamos varios apuntes sobre a biografía de Antón Otero. Así sabemos que ademais de moitas aportacións no campo do ensino das matemáticas como os libros para todos os cursos da ESO de Baía Edicións (hoxe prohibidos pola Xunta), estivo implicado na loita antifranquista e guiose sempre por tres directices: "a reivindicación do laicismo escolar[...], a galeguización do ensino e a innovación educativa".Neste último aspecto, na súa biografía ten no seu haber a participación nas folgas e manifestacións polo expediente aberto a Xosefa Baamonde por impartir clase en galego no colexio Dices-Rois.

Para min foi unha sorpresa que me encheu de ledicia a lectura o artigo, publicado en galego, no nº 17 revista SUMA da FESPM, titulado "A variábel sombra do sol", de autoría compartida con David Buján e Ana Otero. Aquí explícase botando man dunha boa colección de debuxos, como é a forma da sombra do sol segundo a latitude do observador ou a data do ano.

Eu non coñecín a Tonón, pero bastaría o pouco dito sobre el ata quí para afirmar que comprían centos coma el no mundo do ensino. Así que, como quixera dalgunha maneira sumarme á homenaxe que lle fan desde o seu departamento, van de seguido estas anotacións ao artigo "A variábel sombra do sol". Non vou engadir nada novo senón só presentar as mesmas ideas cunha nova cara. Trátase de obter explícitamente a ecuación da curva que describe a sombra do sol para poder usala nun programa de xeometría dinámica.

 

Cuestións previas

Coloquemos un pau de unha unidade de altura chantado perpendicular ao chan. O problema consiste en determinar cal será a súa sombra. O norte marcará o eixo das abscisas e o oeste o das ordenadas. 

Nun momento dado o Sol estará no punto X da esfera celeste. Representamos o triángulo parláctico para X. Trátase de obter a ecuación da sombra no plano horizontal en coordenadas (x,y)

Ampliamos o pau en C e a súa sombra. Ao escollermos un pau de lonxitude unitade, a sombra medirá tanz, de aí que as coordenadas do punto que marca a sombra serán 

$$x=tanz\ cos(-a)= tanz \ cosa$$ $$y=tanz\ sen(-a)=-tanz\ sena$$

Noutra entrada anterior xa obtiveramos as fórmulas que nos dan o cambio das coordenadas ecuatoriais (δ, t) ás horizontais (z,a):

$$cosz=sen \varphi  \ sen\delta +cos\varphi \ cos\delta \ cost\quad\quad [1]$$ $$senz\ sena=cos\delta \ sent\quad\quad\quad\quad\quad\quad [2]$$ $$senz\ cosa=-cos\varphi \ sen\delta +sen\varphi \ cos\delta \ cost\quad[3]$$

Dividindo [3] entre [1] obteremos a coordenada x da sombra. 

$$\frac{senz\ cosa}{cosz}=\frac{-cos\varphi\ sen\delta +sen\varphi \ cos\delta \ cost  }{sen\varphi \ sen\delta +cos\varphi \ cos\delta \ cost}$$ $$x=\frac{-cos\varphi \ tan\delta +sen\varphi \ cost}{sen\varphi\  tan\delta+cos\varphi \ cost }$$

Dividindo [2] entre [1] obteremos a coordenada y da sombra:

$$\frac{senz\ sena}{cosz}=\frac{cos\delta \ sent}{sen\varphi \ sen\delta +cos\varphi \ cost}$$ $$-y=\frac{sent}{sen\varphi \ tan\delta +cos\varphi \ cost}$$

Con estes vimbios xa estamos en disposición de obter a ecuación da sombra. Para que os cálculos se fagan menos pesados fagamos os cambios:

senφ=s             cosφ=c           tanδ=d

Agora nas expresións anteriores das coordenadas da sombra x e máis y, poderemos despexar sent e cost:

$$x=\frac{-cd+s\cdot cost}{sd+c\cdot cost}$$ $$xds+sc\cdot cost=-cd+s\cdot cost$$ $$(s-cx)cost=cd+sdx$$ $$cost=\frac{cd+sdx}{s-cx}$$

$$sent=-y\left ( sd+c\cdot cost \right )=-y\left ( sd+c\frac{cd+sdx}{s-cx} \right )=-y\left ( \frac{s^{2}d-scdx+c^{2}d+scdx}{s-cx}\right )=\frac{-yd}{x-cx}$$

Agora, aplicando a fórmula fundamental da trigonometría:

$$sen^{2}t+cos^{2}t=\frac{d^{2}y^{2}}{\left ( s-cx \right )^{2}}+\frac{c^{2}d^{2}+2csd^{2}x+s^{2}d^{2}x^{2}}{\left ( s-cx \right )^{2}}=1$$ $$d^{2}y^2{}+c^{2}d^{2}+2csd^{2}x+s^{2}d^{2}x^{2}=s^{2}-2scx+c^{2}x^{2}$$ $$d^{2}y^{2}=\left ( c^{2}-s^{2}d^{2} \right )x^{2}-\left ( 2sc+2scd^{2} \right )x+s^{2}-c^{2}d^{2}$$

Podemos traducir a nova igualdade e poñer así en evidencia que estamos fronte a unha cónica que vai depender únicamente de dous parámetros: a latitude φ do lugar no que colocamos o gnomon e a declinación δ do Sol. Teñamos presente que esta última ten -23,5º como valor mínimo e +23,5º como valor máximo.

$$tan^{2}\delta \cdot y^{2}=\left ( cos^{2}\varphi-sen^{2}\varphi \cdot tan^{2}\delta  \right )x^{2}-\left ( 2sen\varphi \cdot cos\varphi +2sen\varphi \cdot cos\varphi\cdot  tan^{2}\delta  \right )x+sen^{2}\varphi -cos^{2}\varphi\cdot  tan^{2}\delta $$

Agora só nos queda introducir esta identidade nun progrma de xeometría dinámica como o Geogebra para xogar coas dúas variables que nos dan a ecuación da sombra, a latitude do lugar φ e a declinación solar δ.

As anotacións 

No mencionado artigo de Antón Otero et al comézase destacando que a traxectoria da sombra nos equinoccios é unha recta que distará da liña leste-oeste unha lonxitude que dependerá da latitude do lugar de observación. En todos os casos aparece a lonxitude da sombra no mediodía.

En todos os GIFs aparece indicado o valor da lonxitude da sombra ao mediodía.

Agora ben, como será a traxectoria da sombra no transcurso dun ano nas nosas latitudes. Velaquí a temos, será unha rama de hipérbole que corta á liña leste-oeste durante a primavera e o verán (δ>0): e que fica no semiplano OLN durante o outono e o inverno.

E como será a sombra do gnomon no polo norte? Velaquí:

E no ecuador? Cando a declinación solar é positiva a sombra manterase no semiplano OLS e cando a declinación é negativa ficará no semiplano OLN.

Finalmente, situándonos en latitudes superiores ao círculo polar ártico (φ>66.5) non nos custará vertoda unha variedade de cónicas: desde unha recta, a unha elipse, pasando por hipérboles e unha parábola:

Sistemas de coordenadas astronómicos

NOTA previa: moléstame moito escribir *círculo cando me estou referindo a unha circunferencia. Con todo, vouno facer porque ese parece ser o terríbel costume instaurado na literatura que trata dos elementos xeográficos e astronómicos.

Coordenadas xeográficas

Consideraremos a Terra como unha esfera que xira arredor do eixo imaxinario que pasa polos polos (Polo Norte:P e Polo Sur: P') [nota aparte:encántame escribir unha palabra varias veces seguidas nunha frase con sentido]. O cículo máximo perpendicular a este eixo é o ecuador EE'. Os círculos paralelos ao ecuador chámanse precisamente paralelos. Cada un dos paralelos estará a unha distancia angular CTE denominada latitude, un ángulo φ que se mide entre 0º e 90º no hemisferio norte e no mesmo rango, pero con valores negativos, no hemisferio sur. Hai dous paralelos destacados, que ata reciben nome propio. O de latitude +23º26' é o chamado trópico de Cáncer, e o de latitude -23º26' denomínase trópico de Capricornio.

Máis abaixo falaremos das coordenadas celestes. Nese momento seguiremos a falar do eixo do mundo PP'. Agora P indicaranos o polo norte na esfera celeste. Resulta que nun punto da Terra no paralelo de latitude φ, a altura (ángulo entre o ecuador e o punto) do polo norte será precisamente φ: h_P=φ

Para determinar un punto na esfera cómpre outra coordenada. Se a latitude se determina a partir do círculo máximo do ecuador, a lonxitude determinarase tomando como referencia un dos meridianos ou círculos máximos que pasan polos polos [outra vez]. Tómase como referencia o meridiano que pasa polo Observatorio Real Observatorio de Greenwich (en Londres, Inglaterra). A distancia angular respecto deste meridiano é a lonxitude λ. Toma valores positivos cara o leste do meridiano, ata os 180º, e negativos cara o oeste. Se na figura 1 consideramos o meridiano PGP' como o de Greenwich, a lonxitude do punto T sería o ángulo λ entre este meridiano e o meridiano PTP'.

Por poñer un exemplo, o IES Antón Losada Diéguez (A Estrada) ten como coordenadas xeográficas unha latitude φ=42º 41' 33,5''= 42,69264 e uñha lonxitude λ=-8º 30' 24''=-8,50667

Pasemos agora ao estudo das coordenadas na esfera celeste. 

Sistema de coordenadas horizontais

Para determinar un punto na esfera celeste teremos como referencia o plano do horizonte, o plano NLSO. A recta perpendicular a este plano e na que se encontra o observador denomínase liña vertical. Esta liña cortará en dous puntos á esfera celeste. O punto Z situado enriba do observador C chámase cénit e Z', situado debaixo, recibe o nome de nadir. Os círculos máximos que teñen diámetro ZCZ' denomínanse círculos verticais.

Unha das coordenadas horizontais dun astro X será a altura h: o arco AX do círculo vertical AXZ. Toma valores entre 0º e 90º na parte visible da esfera celeste. Os valores negativos ata -90º correspóndense ás alturas na dirección do nadir. Alternativamente pódese dar a distancia cenital z: o arco ZX (que se mide entre 0º e 180º). Fica claro que se verifica que z+h=90º

Un círculo paralelo ao plano do horizonte denomínase almicantarat. Todos os puntos dun almicantarat teñen a mesma altura.

A outra coordenada horizontal é o acimut a: o ángulo SCA entre o círculo vertical do observador e o do astro X, medido desde o sur en dirección oeste. Pode tomar valores entre 0º e 360º. Algunhas veces podemos ver definido o acimut  partindo do norte, especialmente en xeodesia. Os puntos dun mesmo círculo vertical compartirán o mesmo acimut (土180º).

Polo movemento diario da Terra, unha estrela estará cambiando continuamente de coordenadas horizontais. Isto é unha desventaxa.

Primeiro sistema de coordenadas ecuatoriais

Tal e como anunciamos, denominaremos eixo do mundo PP' ao que une os polos. O círculo máximo perpendicular a PP' será o ecuador celeste QQ'. A declinación (ou latitude celeste) δ dun punto X situado sobre a esfera celeste é o ángulo que forma o raio vector CX co plano ecuatorial QQ'. Toma valores entre 0º e 90º para as estrelas do hemisferio boreal e terá valores negativos para as do hemisferio austral. A veces subsitúese esta coordenada polo arco p=PX, denominado distancia polar. Verifícase que p+δ=90º.

Os círculos máximos de diámetro PP' chámanse círculos horarios. A segunda coordenada obterase ao escoller o círculo horario QPQ'P'. Se medimos desde Q, sobre o ecuador celeste, o ángulo ata o círculo horario do punto X, teremos a coordenada t denominada ángulo horario. Este ángulo mídese desde Q cara o occidente para valores positivos de ata 180º. A dirección contraria resérvase para os valores negativos.

Segundo sistema de coordenadas ecuatoriais

A eclíptica é o plano ε'γεΩ no que se move o Sol. Forma un ángulo de 23º 26' co ecuador celeste e intersécao en dous puntos: o punto vernal ou punto Aries γ  que determina o equinocio de primavera e o punto Libra Ω, que é aquel polo que pasa o Sol no equinocio de outono.

Agora podemos falar dun un segundo sistema de coordenadas ecuatoriais. Tal e como indica o seu nome, tómase como referencia o ecuador celeste. De aí que unha das coordenadas sexa a antes mencionada declinación δ. O outro plano de referencia será a eclíptica, de aí que a outra coordenada deste sistema sexa  a ascensión recta α que será o arco sobre o ecuador celeste desde o punto Aries ata o círculo horario do astro. Toma valores ata os 360º.

O triángulo paraláctico.

Xa sabemos que as coordenadas horizontais están cambiando contiuamente co movemento diurno da Terra.. Pola contra as ecuatoriais permanecen fixas. Tamén é certo que as primeiras son máis intuitivas, de feito historicamente preceden ás segundas. Imos intentar establecer un sistema de cambio entre unhas es outras. Estas trasformacións poden facerse mediante o chamado triángulo paraláctico. Trátase dun triángulo esférico ZPX que ten como vértices o cénit do punto de observación Z, o polo norte celeste P e a estrela ou punto da esfera celeste X.

O lado PZ é o ángulo complementario da latitude do punto de observación: PZ=90-φ

O lado PX é o ángulo completentario da declinación do punto X: PX=90-δ

O lado ZX é o ángulo complementario da altura do punto X: ZX=90-h=z

O ángulo PZX é o ángulo suplementario do acimut de X: PZX=180-a

O ángulo ZPX é o ángulo horario t.

Tomando a distancia cenital z=90-h e aplicando as fórmulas do coseno e dos senos da trigonometría esférica ao triángulo paraláctico teremos:

$$cos\left ( 90-\delta  \right )=cos\left ( 90-\varphi  \right )senzsen\left ( 180-a \right )$$ $$sen\left ( 90-\delta  \right )sent=senzsen\left ( 180-a \right )$$  $$sen\left ( 90-\varphi  \right )cost=sen\left ( 90-\varphi  \right )cosz-cos\left ( 90-\varphi  \right )senzcos\left ( 180-a \right )$$

Polas propiedades básicas das razóns trigonométricas quedarían reducidas ao seguinte grupo de fórmulas que, a partir das coordenadas horizontais (z,a) nos darían as ecuatoriais (δ, t):

$$sen\delta =sen\varphi \ cosz-cos\varphi \ senz\ cosa$$ $$cos\delta \ sent=senz\ sena$$ $$cos\delta \ cost=cos\varphi \ cosz + sen\varphi\  senz\ cosa$$

Aplicando outra vez as fórmulas dos senos e coseno da trigonometría esférica ao triángulo paraláctico:

$$cosz=cos\left ( 90-\varphi  \right )\  cos\left ( 90-\delta  \right ) + sen\left ( 90-\varphi  \right )\ sen\left ( 90-\delta  \right )\ cost$$ $$senz\ sen\left ( 180-a \right )=sen\left ( 90-\delta  \right )\ sent$$ $$senz\ cos\left ( 180-a \right )=sen\left ( 90-\varphi  \right )\cos\left ( 90-\delta  \right )-cos\left ( 90-\varphi  \right )\ sen\left ( 90-\delta  \right )\ cost$$

Simplificando obtemos as fórmulas que nos dan o cambio das coordenadas ecuatoriais (δ, t) ás horizontais (z,a):

$$cosz=sen \varphi  \ sen\delta +cos\varphi \ cos\delta \ cost$$ $$senz\ sena=cos\delta \ sent$$ $$senz\ cosa=-cos\varphi \ sen\delta +sen\varphi \ cos\delta \ cost$$

Algúns resultados de trigonometría esférica

Os teoremas planos

O teorema do seno e o do coseno forman parte do temario de Matemáticas I de 1º de bacharelato. Son fórmulas válidas para calquera triángulo plano. 

O teorema do coseno

É unha xeralización do teorema de Pitágoras:

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cosA$$ $$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot cosB$$ $$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot cosC $$ 

O teorema dos senos

Consiste na seguinte igualdade entre proporcións que, por certo, ten como valor o diámetro da circunferencia circunscrita 

$$\frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}$$

Hai unhas fórmulas análogas para triángulos esféricos pero que non teñen cabida no currículo de secundaria. Eu mesmo nunca a estudei, nin tan siquera nos anos de universidade. Claro que isto é debido a non ter escollido a optativa de Astronomía. Estrañamente acabaría impartindo eu esta optativa na ESO durante dous cursos. Non foron máis debido a circunstancias bastante miserables que prefiro non comentar. 

Para poder preparar o temario desta materia entendía que debía coñecer os seus fundamentos cunha profundidade bastante maior que a que se debe abordar despois na aula. Un dos textos que máis me axudou foi o Curso de astronomía general de Bakulin, P. I., Kononovich, E. V. e Moroz, V.I, (Editorial MIR- Ribiños-1860, S.A., 1992). Daquela tomara algúns apuntes que transcribo hoxe aquí. 

Teorema do coseno para un triángulo esférico

Consideremos tres planos que pasen polo centro dunha esfera. Así determinaremos tres circunferencias máximas sobre a esfera e formarase un ángulo triedro con vértice no centro O da esfera. Xa que logo obtemos o triángulo esférico ABC onde OA=OB=OC=r, o raio da esfera. Temos ademais as seguintes igualdades:

O lado a =∠BOC, o lado b=∠AOC e o lado c=∠AOB

As rectas AD e AE, tanxentes á esfera, son perpendiculares a OA. Construímos así o triángulo ADE  que ten en A o mesmo ángulo que o ángulo correspondente do triángulo esférico. 

Aplicando o teorema do coseno aos triángulos ADE e OEM e igualando:

$$DE^{2}=AE^{2}+AD^{2}-2AE\cdot ADcos$$ $$DE^{2}=OE^{2}+OD^{2}-2OE\cdot ODcosa$$ $$AE^{2}+AD^{2}-2AE\cdot ADcosA=OE^{2}+OD^{2}-2OE\cdot ODcosa$$

A última igualdade tamén a podemos escribir así: $$2OD\cdot OEcosa=OE^{2}-AE^{2}+OD^{2}-AD^{2}+2AE\cdot ADcosA$$

Como os triángulos OAE e OAD son rectángulos, as dúas diferenzas do segundo membro pódense substituir por OA². Despois dividimos por 2ME・MD: $$2OD\cdot OEcosa=2OA^{2}+2AE\cdot ADcosA$$ $$cosa=\frac{OA}{OE}\frac{OA}{OD}+\frac{AE}{OE}\frac{AD}{OD}cosA$$

Finalmente substituímos polas razóns trigonométricas correspondentes e obtemos a fórmula coñecida como 

Teorema do coseno do triángulo esférico: $$cosa=cosb\cdot cosc+senb\cdot senc\cdot cosA$$

Se agora despexamos cosA temos unha expresión coa que calcular os ángulos a partir dos lados dun triángulo esférico: $$cosA=\frac{cosa-cosb\cdot cosc}{senb\cdot senc}$$

Teorema do seno para un triángulo esférico

Continuemos. Elevando ao cadrado e restando de 1, obtense o sen² A: $$sen^{2}A=1-cos^{A}=1-\frac{\left ( cosa-cosb\cdot cosc \right )^{2}}{sen^{2}b\cdot cos^{2}c}=\frac{sen^{2}b\cdot sen^{2}c-\left (cosa-cosb\cdot cosc  \right )^{2}}{sen^{2}b\cdot sen^{2}c}$$

Dividindo por sen²a e simplificando chegamos a: $$\frac{sen^{2}A}{sen^{2}a}=\frac{1-cos^{2}a-cos^{2}b-cos^{2}c+2cosa\cdot cosb\cdot cosc}{sen^{2}a\cdot sen^{2}b\cdot sen^{2}c}$$

O segundo membro desta fórmula é moi curioso, se permutamos os valores de a, b e c permanece invariante. De aí que ese valor sexa a constante das seguintes razóns: $$\frac{sen^{2}A}{sen^{2}a}=\frac{sen^{2}B}{sen^{2}b}=\frac{sen^{2}C}{sen^{2}c}=cte$$

Inmediatamente temos as seguintes fórmulas que se coñecen como o 

Teorema do seno para o triángulo esférico: $$\frac{senA}{sena}=\frac{senB}{senb}=\frac{senC}{senc}$$ $$\frac{sena}{senb}=\frac{senA}{senB}\quad\quad \frac{senb}{senc}=\frac{senB}{senC}\quad\quad \frac{senc}{sena}=\frac{senC}{senA}$$

Un tipo de triángulos estudados por Euler

Novi commentarii academiae scientiarum
imperialis petropolitanae Vol. XI, 1765
páx. 67-102

No ano 1767 Leonhard Euler publica o traballo Proprietates triangulorum, quorum anguli certam inter se tenent rationem   no que aborda o estudo de determinados triángulos. Trátase de identificar a relación entre os lados dun triángulo do que coñecemos dous ángulos, un deles sería o ángulo A e outro n•A, con n un número natural. 

Nun principio as características do estudo son ben simples, tanto que nun curso de 1º de bacharelato poderíase dar un primeiro paso no seu tratamento. A cuestión poderíase propoñer do seguinte xeito:

a) Determina o lugar xeomético determinado polo punto C dun triángulo ABC que teña os ángulos A e B iguais

b) Determina o lugar xeométrico do punto C dun triángulo ABC tal que ∠B=2∠A

O primeiro apartado é obvio, refírese á mediatriz do segmento AB. O segundo pódese tratar facendo uso da tanxente do ángulo dobre:

$$tanA=\frac{y}{x}\\tan\left ( 2A \right ) =\frac{y}{c-x}\\tan\left ( 2A \right )=-\frac{2tanA}{1-tan^{2}A}$$

Das igualdades anteriores tense que

$$\frac{y}{c-x}=\frac{\frac{2y}{x}}{1-\frac{x^{2}}{y^{2}}}$$

Finalmente obtemos a cónica que soluciona o problema

$$3x^{2}-2cx-y^{2}=0$$ 

Esta é a versión moderna
da foto de máis arriba

Euler non trata o problema desde esta perspectiva, senón que o enfoca desde un punto de vista máis sintético. Dado o triángulo ABC, biseca o ángulo ∠ABC e obtén o punto D. 

Coa notación usual consistente en nomear os lados opostos coa mesma letra que os ángulos, pero en minúscula, teremos, a partir da semellanza de ABC con BCD as seguintes relacións:

$$\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{CD}\quad\quad; \quad \frac{b}{a}=\frac{c} {BD}=\frac{a}{CD}$$

 $$BD=\frac{ac}{b}\quad\quad\quad CD=\frac{a^{2}}{b}$$

Como o triángulo ABD é isóscele,  temos a igualdade entre os lados AD=BD. Xa obtivemos unha expresión de BD en función dos lados do triángulo orixinal. Fagamos o mesmo para AD e igualemos:

$$AD=AC-DC=b-\frac{a^{2}}{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{b}$$

$$AD=BD\Rightarrow \frac{b^{2}-a^{2}}{b}=\frac{a^{2}}{b}\Rightarrow b^{2}-a(a+c)=0$$

Euler non parou aquí. Tratou o caso de que o ángulo B fose o triplo, o cuádruplo, o quíntuplo de A.... Na seguinte applet de geogebra temos unha solución analítica a estes problemas. Pódese obter a partir das fórmulas das tanxentes do ángulo triplo, do ángulo cuádruplo e do ángulo quíntuplo. Aínda que nos aparecen curvas por todo o plano, para a solución deste problema só nos interesa a rama da dereita.

Pola súa banda, Euler obtén as seguintes relacións entre os lados para B=n•A

$$n=1:\quad\quad b-a=0$$

$$n=2:\quad\quad b^{2}-\left ( a+c \right )=0$$

$$n=3:\quad\quad b^{3}-ab^{2}-a \left(c^{2}-a^{2} \right )=0$$

$$ n=4 : \quad\quad b^{4}-a\left(c+2a \right )b^{2}-a \left(c+a \right )\left(c^{2}-a^{2} \right )=0$$

$$n=5 : \quad\quad b^{5}-ab^{4}-2a^{2}b^{3}-a \left(c^{2}-2a^{2}b^{2} \right )-a^{2}\left(c^{2}-a^{2} \right )b-a \left(c^{2}-a^{2} \right )^{2}=0$$

Pero o cíclope matemático non parou aquí, continuou ata n=8. Inlcuso máis, unha vez chegado a este punto establece unha fórmula recursiva tanto para os valores pares de n como para os impares. Quen quixera seguir todos estes razoamentos, pode botarlle un ollo ao artigo de Vicente Meavilla Seguí no v.8 n.15 (2008) da Revista Brasileira de História da Matemática. Todo un exemplo de traballo,  perseverancia, xeneralización e precisión dun dos máis grandes matemáticos da historia. Ata nun resultado menor se enxerga o xenio euleriano.

A sorpresa 3D no teorema de Monge

Cando estudamos xeometría do plano, pode darse o caso de que se acudimos a ferramentas tridimensionais, obteñamos atallos realmente sorprendentes. Este tópico xa o ten tratado JJ no seu blogue Matemáticas na Rúa ( [1] e [2]). Agora eu non puiden resistir desenvolver aquí outro caso que me pareceu realmente espectacular e que ten que ver co teorema de Monge, así denominado na honra do revolucionario, e matemático, Gaspard Monge (1746-1818). Antes de nada algunhas palabras de introdución.

Dadas dúas circunferencias podemos pensar en trazar as rectas tanxentes comúns a ambas. En xeral obteremos dúas solucións. Por unha banda teremos as dúas tanxentes exteriores e por outra as dúas tanxentes interiores. Os puntos de corte das tanxentes son os chamados centros de homotecia, un deles será o centro de homotecia externo O e o outro o centro de homotecia interno O'. En efecto, dúas circunferencias serán sempre semellantes, polo tanto poderemos transformar unha na outra mediante unha (normalmente dúas) homotecia(s).  

 

Se no canto de considerarmos dúas circunferencias, poñemos en xogo tres, estaremos en disposición de enunciar o teorema de Monge. Neste caso, cada un dos tres pares de circunferencias que podemos formar dará lugar a un centro de homotecia exterior.

Teorema de Monge. Dadas 3 circunferencias, os tres centros de homotecia exteriores correspondentes a cada par de circunferencias son colineares.

 

 Curiosamente este teorema recorda outro resultado moi semellante que en lugar de facer referencia a 3 circunferencias, trata sobre 2 triángulos.  Debémosllo ao precursor da xeometría proxectiva Girard Desargues (1591-1661).

Teorema de Desargues. Se as rectas que unen os vértices homólogos de dous triángulos se cortan nun punto O (o centro de homoloxía), entón os pares de lados homólogos córtanse en tres puntos colineares.

 

 En realidade non só se dá a implicación, senón que é certa a equivalencia. 

É moi gratificante comprobar que se pode demostrar o teorema de Monge a partir do de Desargues. Así os triángulos fanlle un bo servizo ás circunferencias, tal e como se diría no Flatland de Edwin Abbot.

Para iso basta con considerar os dous triángulos seguintes. O primeiro, o formado polos centros A, B e C das circunferencias. O segundo, o determinado polas interseccións das tanxentes exteriores: A', B' e C'.

 A'A, B'B e C'C son as bisectrices dos ángulos do triángulo A'B'C' polo que se cortarán no incentro O. De aí que os triángulos ABC e A'B'C' verifican as condicións do teorema de Desargues polo que os puntos de corte de AB e A'B', AC e A'C' e de BC e B'C' serán colineares.

A sorpresa

A sorpresa é a seguinte demostración alternativa do teorema de Monge na que se se fai uso da terceira dimensión. Cada unha das tres circunferencias, ao rotaren sobre calquera dos seus diámetros, darán lugar a unha esfera. Agora, o plano no que estamos traballando, chamémoslle plano П, atravesa esas esferas polos seus centros. É obvio que podemos pousar un plano П' tanxente ás tres esferas que cortará a П na recta desde a que podemos trazar tanxentes ás tres circunferencias. 

Grazas a esta applet de Tungsteno podemos ver esta imaxe ilustrativa.

 

П'é un plano tanxente a cada un dos conos con vértices en P, Q R que teñen como xeneratrices as rectas tanxentes ás circunferencias.