Algúns problemas de Lewis Carroll.1

Alicia no país das marabillas cumpriu 150 anos. No instituto aproveitouse a ocasión para facer varias actividades arredor do libro e da figura do seu autor, Charles Lutwidge Dodgson, ou, para quen o prefira,  Lewis Carroll. A última hora min tocoume tamén o tema, desde o reducido punto de vista das matemáticas, claro.
Cóntase que á raíña Vitoria lle gustou moito libro de Alicia, editado no ano 1865 así que lle escribiu ao autor, que era profesor de matemáticas en Oxford, reclamándolle que desde aquela data lle enviara todos os seus libros. Charles Dodgson obedeceu escrupulosamente a petición. Tan pronto como se publicou o seu novo libro no ano 1867, o primeiro que fixo foi enviarllo á raíña. Tratábase do Teoría elemental de determinantes. Parece que non hai constancia dunha nova felicitación real.

Para comenzar, un pequeno e sinxelo problema que Lewis Carroll lle enviou por carta a unha das súas pequenas amigas. Trátase de debuxar a seguinte figura se levantar o lapis do papel:

Velaquí outro moi sinxelo, e que creo que vin por primeira vez referenciado nun libro de Martin Gardner. Temos unha finca cadrada. Nunha esquina está situada unha casa, tamén cadrada. O resto é un xardín. Trátase de dividir o xardín en catro partes iguais.

O terceiro problema é o que ten algo máis de dificultade. Non foi creado por, pero que ten moito que ver con el e co libro de Alicia no país das marabillas. É obra de Sam Loyd, un norteamericano que viviu durante a segunda metade do século XIX, autor de moitos crebacabezas matemáticos. Outra vez debemos facer referencia a Martin Gardner, que foi quen máis fixo por divulgar e reivindicar a obra de Loyd.

Unha das aportacións de Sam Loy máis coñecidas é precisamente o que fai referencia ao libro de L. Carroll. Nunha das aventuras Alicia encóntrase co gato de Cheshire. Sobre este relato Loyd constrúe este palíndromo que multiplica creando un cadrado realmente fantástico:

A pregunta é: cantos camiños podemos percorrer seguindo a frase: Was it a cat I saw?

Para unha primeira aproximación ao problema podes probar a pintar algúns camiños sobre o seguinte esquema:

Cada vez que se me presenta un palíndromo venme á cabeza un poético e fermoso libro de Gonzalo Navaza. O seu título revela ben o seu interior: A torre da derrotA. Trátase dun libro que contén poemas feitos con versos palindrómicos, e incluso poemas palindrómicos. Un dos versos, Luz azuL, pode ser un bo entrenamento para o estudo do problema que nos propuxo Sam Loyd:

O libro de Navaza, visto desde este novo punto de vista, estaría cheo de retos:

 O sono é o nosO

Ouso pisar o mar, amor, así posúO

Velaí que nunca sobre a seguinte recomendación:  Ame o pobo o bo poemA

.................................................................................................................................................. E se despois de entreterse un pouco co problema non se chega a ningures, sempre se pode premer aquí e...

Onde está o centro de Silleda?

Nesta curtade de dous minutos, un grupo de alumnos  de 2º de bacharelato Denise Varela, Sonia Troitiño e Carlos Mato(2º bacharelato) explican o que é o centroide dun polígono e calculan o do concello no que viven: Silleda. É un dos traballos que se presentaron este ano ao concurso Explícoche matemáticas 2.0 (pódense votar as que máis vos gusten) dentro dun programa iniciado pola Comisión de Normalización Lingüística da Facultade de Matemáticas da USC e que agora se organiza en colaboración con EducaBarrié. Outra vez estamos ante a cuestión  das matemáticas en galego, polémica únicamente por culpa do funesto decreto do plurilingüismo, que nesa cruzada antigaleguizadora da Xunta identifica esta materia co castelán. Se visitades a páxina do concurso veredes comprobaredes que Onde está o centro de Silleda? Trátase de resolver o problema de atopar o punto central dunha rexión plana de fronteira irregular como a do Concello de Silleda. Sobra dicir que isto podería facerse con calquera outro concello ou, máis en xeral, con calquera rexión plana. O caso dos polígonos regulares ou dos rectángulos é ben simple pero a pouco que se complique o polígono increméntase moito a dificultade do problema. O centroide debe poder determinarse a partir das coordenadas dos vértices do polígono. Neste traballo aproximouse a fronteira de Silleda mediante un polígono de 597 lados. Sobre este polígono calculouse o centroide sobre un sistema cartesiano  Para obter as coordenadas xeográficas considerarase o centroide como punto de corte de dous segmentos. A liña que vai aproximadamente de norte a sur parte do Río Deza (Pazos) e chega ata a Serra do Candán (Parada). A que a cruza vai dende o Humedal do Lombo da Lagoa (Xestoso) ata o Río Deza (Vilar). Velaí que o punto central do concello de Silleda é unha veiga chamada Pena Vidal, no lugal de Bustelo, na parroquia de Escuadro, apenas a 2700 m do IES Pintor Colmeiro, o centro no que se argallou todo o traballo. Neste mapa pódese ver a súa localización exacta. O punto A indica a localización do insituto e o punto B é o centro de Silleda. A quen lle temos que agradecer esta determinación é ao profesor e compañeiro Xoán Carlos Porral, sen o seu coñecemento da topografía silledense seríanos imposible chegar a ela.

"O soño" de Kepler

Se dispoñer na nosa lingua do libro O soño, de Johannes Kepler, é todo un luxo, esta xoia vén acompañada dunha impagable introdución do seu tradutor, Alfonso Blanco, na que se nos achega un perfil biográfico de Kepler e polo tanto tamén unha contextualización histórica ademais dunha introdución aos avatares sufridos por esta obra en particular. Por iso eu recomendaría  antes de nada ler primeiro as claves que nos debulla Alfonso Blanco. De certo que despois non hai quen pase sen ler O soño. Unha primeira lectura  pódese facer sen atender ás anotacións. Pois cómpre saber que a maior parte do texto está nas máis de 200 anotacións, introducidas por Kepler entre 10 e 20 anos despois de ter escrito o libro. Ademais hai unha boa colección de notas desta edición tanto ao corpo principal do texto como ás anotacións de Kepler. Da lectura de O soño obtemos un certificado de cal era o signo dos tempos. É do máis interesante comprobar por un mesmo como estamos diante dunha obra escrita nunha época cargada de supersticións pero que a un tempo é na que se está a incubar a revolución científica que daría un xiro copernicano á historia do pensamento da humanidade. Poño como exemplo un par de notas, case consecutivas, que contan moito da mentalidade da época, substanciada na curiosa personalidade de Kepler. Nunha, a número 55, Kepler comenta en broma, mais con toda naturalidade, como os malos espíritos son considerados poderosos nas tebras. Por esta razón, cando se producen eclipses de Lúa eses espíritos desprázanse polo cono de sombra da Terra e invaden a Lúa. Velaquí a parte máxica do pensamento que Kepler utiliza para viaxar ao satélite. Pola contra na nota 57 o astrónomo calcula a velocidade á que deben viaxar eses espíritos para chegar a tempo á Lúa, isto é, antes de que remate a eclipse: 90.390 km/h. Éste é o exemplo da outra cara da moeda; nun mundo que cría que a uns metros, baixo os seus pés, os demos do inferno e o purgatorio realmente estaban a aplicar  tormentos aos pecadores, comezaba a abrollar o espírito do tratamento científico da realidade. Un texto copernicano O obxectivo co que fora elaborado nun principio O soño aparece explicado nunha carta que Kepler lle envía a Galileo para comentarlle os revolucionarios descubrimentos feitos co telescopio polo astrónomo italiano no 1610: "fundei unha astronomía nova como se fose para aqueles que habitan a Lúa". Kepler era un gran astrónomo, un perfecto coñecedor das disposicións dos planetas e as estrelas. O ano anterior publicara unha das grandes obras da ciencia de todas as épocas, Astronomía Nova, na que despois dun pulso de varios anos cos datos de Marte herdados de Tycho Brahe, da súa imaxinativa mente xurdiron as leis que serían a rocha sobre a que se había de fundar a nova física. Polo tanto non podemos pensar en ninguén mellor para explicar como un astrónomo selenita vería os seus ceos. Non era da mesma opinión o emperador Rodolfo II, que non lle permitiu a publicación. O problema estaba en que a astronomía lunar kepleriana era profundamente copernicana. Tomar o punto de vista dun habitante de Lúa era un movemento estratéxico moi intelixente. Este selenita pensaría que vive nun mundo inmóbil e desde a súa posición no satélite ofreceríase unha astronomía moi distinta á nosa. O cambio de punto de vista evidencia a febleza do xeocentrismo. Para completar a xogada efectúa tamén un cambio de nomes. A Lúa recibe o nome de Levania e a Terra o de Volva. Así podemos distinguir dúas rexións ben diferenciadas na xeografía da Lúa: a cara que mira permanentemente á Terra, Subvolva, e a cara oculta, ou Privolva. Kepler debulla as características máis importantes da astronomía lunar. Os días na Lúa duran un mes terrestre, divididos en aproximadamente 15 días de sol e outros tantos de noite. Tamén fala de como na Lúa as eclipses solares e de Volva se suceden coa mesma cadencia que para nós as de Lúa e Sol respectivamente. Desde Subvolva obsérvanse as fases de Volva, e o que resulta un unha toma de postura plenamente copernicana, tamén se pode comprobar a rotación diaria do noso planeta. Este cambio de denominacións, lonxe de ser inocente é un dardo mortal na cerna do xeocentrismo. O libro, así concibido, era un excelente texto de divulgación científica. Precisamente o que pretendía divulgar era o que facía complicada a súa publicación. Lutero e Calvino xa levantaran as palabras da Biblia como garante da inmobilidade da Terra. A pesar de todo, Kepler non se rende. Convencido que a irracionalidade das críticas contra o De revolutinibus se debía á ignorancia en astronomía intenta unha nova estratexia. Engádelle unha historia para envolver esa xeografía lunar nunha narración imaxinaria recollendo a tradición das narracións de viaxes. O protagonista ten un soño que consiste na lectura dun libro. Ese libro relata a historia de Duracontus, un mozo islandés, quen finalmente grazas a unha invocación da nai comeza a escoitar na voz dun xenio a descrición da xeografía lunar kepleriana. Se ben con esta transformación o cambio de perspectiva proposto por Kepler pode perder forza ao estar adubado de xogos narrativos nos que incorpora a maxia, o estilo descritivo da parte científica é tan claro, tan distinto á primeira parte do Soño, que cómpre pouca perspicacia para que o libro siga mantendo a súa  carga de propaganda e defensa copernicana. Finalmente esta conversión do libro nunha historia fantástica tería indesexadas e terribles consecuencias tanto para a obra o como para a propio futuro de Kepler. Katharina, a nai de Kepler foi acusada de bruxaría e unha copia do Soño sería usada como material contra ela no xuízo. A lectura do manuscrito facía moi doada a identificación da nai de Kepler coa menciñeira nai do protagonista do Soño. O libro convertérase nun magnífico apoio para acusación de bruxaría de Katharina. Johannes asumiu directamente a defensa da súa nai . Isto foi unha preocupación continua e unha ruína económica durante os anos que durou o proceso. Moito se ten escrito e debatido sobre o proceso a Galileo e a prohibición da publicación do seu Diálogo. Estamos ante un caso das mesmas características, coa diferenza de que a represión protestante non estaba tan organizada como a Igrexa católica. Porén a súa ideoloxía e defensa fundamentalista estaba ben establecida na estrutura social da época.  Neste caso volvemos a ver un enfrontamento no que o poder actúa contra a nacente revolución científica que estaba a socavar os piares do coñecemento férreamente controlado pola oficialidade. Non hai ningunha dúbida de que O soño era un ensaio para a difusión do copernicanismo. Non concordo para nada coa adscrición, mil veces repetida, desta obra como  precursora da ciencia-ficción. Aínda que isto signifique ir en contra da clasificación dada por dous grandes xenios da divulgación científica como Carl Sagan e Isaac Asimov, se O soño pode ser considerada pioneira dun estilo, éste sería precisamente o da divulgación científica.

GAMMA 13

Desde que se presentou a finais de setembro tiven a intención de escribir unha referencia ao número 13 de  Gamma, a revista da Asociación Galega do Profesorado de Educación Matemática (AGAPEMA). Por primeira vez esta revista publícase dixitalmente e sen restricción de acceso aos seus contidos. Un acerto desde o meu punto de vista pois é unha excelente oportunidade de achegar aos non profesionais do ensino das matemáticas os traballos e intereses destes. Artigos Seguro que a moitos lles sorprenderá que o primeiro dos artigos comence cunha referencia a Uxío Novoneyra.  Tamén teño a certeza de que será un artigo do que calquera persoa allea ás matemáticas pode gozar. Moi distinto é o que repasa algunhas das aportacións de Euler á teoría de números. O seu autor foi profesor meu de matemáticas e nas súas liñas podo achar o que para min é o seu inconfundible estilo, cargado dunha beleza precisa e núa. Posiblemente o único artigo que non recomendaría a quen non teña ansia polas materia. Hai tamén un artigo adicado ao xogo do Mancala, que eu descubrira naquelas revistas Cacumen, outro sobre os números nos billetes, no NIF, no IBAN e nos códigos de barras, un máis que relata unha experiencia educativa dentro do marco e-Twining e para rematar unha oferta ben diversa, o cuarto e último capítulo dun dicionario de matemática escolar.

 Seccións
O apartado PRENSAndo as matemáticas recolle noticias de prensa desde unha mirada matemática. A blogosfera matemática achéganos unha lista de 37 blogues con referencias matemáticas, 8 deles en galego, toda unha heroicidade. No apartado audiovisual ofrécenos unha recompilación de momentos da serie de debuxos Os Simpsons con cortes matemáticos. A arte do origami vén cun relato que nos leva a construir unha rá saltarina.

Actividades
Na caixa das actividades atopamos unha serie de concursos (Olimpíada, Rebumbio), encontros (Feira, Seminario federal, xornadas) e congresos que dan boa medida do interese do profesorado de matemáticas pola mellora profesional e o achegamento deste tantas veces deostado saber ao resto da poboación, especialmente ao alumnado. Unha das achegas "Léxico matemático galego en Secundaria" fai referencia a unhas xornadas celebradas hai case un ano na Facultade de Matemáticas na que se fixo unha primeira aproximación ao estado da cuestión.

O Chinn-Steenrod

O libro editado por Alhambra, Primeros conceptos de topología, foi o primeiro que comprei cando fixen a carreira e por iso lle teño un aquel especial. Os seus autores son W. G. Chinn e N. E. Steenrod.

O certo é que daquela non chegara a ler máis que unha pequena parte. Comenzárao coa ansia desaber ben en que consistía iso da topoloxía, unha materia que desde a súa propia denominación xa era esotérica. Por fin, trinta anos despois, desfruteino enteiro.

O libro está dividido en dúas partes, unha adicada sobre todo a desenvolver un teorema de existencia na dimensión un e outro na segunda parte para a dimensión dous.

A primeira parte

A estrutura do libro non é estándar. No canto de desenvolver conceptos e teoremas de forma ordenada (de menos a máis), comenza por un teorema e establécense as dificultades para a súa demostración para proceder a resolvelas e estudalas. O teorema principal desta primeira parte é o seguinte, referenciado en moitos manuais como teorema de Weierstrass:

Se unha función f, continua e definida nun intervalo cerrado [a,b], entón existe un valor mínimo m e un valor máximo M para a función. Ademais para cada valor y do intervalo [m,M], a ecuación f(x)=y ten polo menos unha solución no intervalo [a,b].

Con esta referencia como punto de partida pásase a facer un percorrido pola definición de distancia euclídea, a de conxunto aberto e cerrado, demostrar a completitude do conxunto dos números reais, o estudo da conexión ou a compacidade. Foi todo un gusto volver a repasar esas demostracións de propiedades nun conxunto compacto nas que xa se vía vir como ao construir unha colección, presumiblemente infinita, recubrindo o conxunto xurdía finalmente a propiedade ao escoller un subrecubrimento finito. E, por suposto, tamén aparece o teorema do punto fixo: toda aplicación continua f dun intervalo cerrado en si mesmo ten polo menos un punto no intervalo tal que f(x)=x.
Un toque de orixinalidade do libro é a inclusión deste par de teoremas:

Toda aplicación continua dunha circunferencia na recta ten algún par de puntos diametralmente opostos coa mesma imaxe

Teorema da tarta. Dados dous trozos de tarta colocados nunha bandexa é posible dividilos en dúas partes iguais con só un corte

O final da primeira parte é curioso para un libro de topoloxía pois fai referencia a un teorema puramente alxébrico: todo polinomio de grao impar ten polo menos unha raiz real. Non é un capricho, terá a súa xustificación.

Segunda parte
De xeito paralelo ao realizado na primeira parte vaise propoñer un teorema principal e desenvolveranse todos os pasos necesarios para poder demostralo. Velaquí o teorema:

Sexa f unha función dun disco D no plano, C a fronteira de D e y un punto do plano que non pertence a f(C).Se o número de voltas de f|C respecto de y é distinto de cero, entón y forma parte da imaxe do disco D.

Homotopía, da Wikipedia

Para abordar este teorema hai que definir estrictamente a difusa, pero intuitiva idea de "número de voltas dunha curva arredor dun punto". Tamén haberá que facer un parada no mundo das homotopías. Unha homotopía, tal e como se aprecia no gif da esquerda non é outra cousa que unha transformación continua entre dúas curvas. Resulta que o número de voltas respecto a un punto que non sexa varrido polo feixe de curvas da homotopía consérvase por esa homotopía.
Este repaso permite a demostración do teorema principal desta segunda parte do libro. Pero non remata aí. Sobre esta base chégase aos seguintes resultados:

Se f é unha aplicación continua dun disco D en sí mesmo, entón existe polo menos un punto x de D que f deixa fixo: f(x)=x.

Toda función continua da esfera sobre o plano aplica algún par de antípodas no mesmo punto.

Teorema do sándwich de xamón. Sexan A, B, C tres conxuntos limitados e coonexos do espazo. Existe un único plano que divide o volume destes tres conxuntos pola metade.

Nos últimos capítulos introdúcense os campos vectoriais e abórdase o célebre teorema da bóla cabeluda para rematar ofrecendo unha demostración orixinal do teorema fundamental da álxebra.
En definitiva, un texto ideal para mergullarse nas matemáticas nestas tardes de invernía.

O teorema de Xavier Queipo

No número 120 do Sermos Galiza o escritor Xavier Queipo escribía unha columna titulada "A política galega e o segundo teorema de Mikami-Kobayashi"
Pasaba o escritor a explicar como visualizar o teorema:

Vailles soar unha chisca excéntrico, mais pídolles que se armen de lapis e papel, contando con que se teñen unha boa visión tridimensional (non é o meu caso) non van precisar deses aparellos

Esa falta de visión espacial tampouco debería ser un problema para Xavier Queipo porque o resultado é de xeometría plana. Chéganos polo tanto cun par de dimensións. De todas formas explica moi ben o seu teorema:

Tracen un círculo e inscriban nel un cuadrilátero non regular. Si xa teñen os catros puntos e as liñas  que os unen debuxadas, daquela xa poden trazar as diagonais do cuadrilátero. Ben. Xa imos avanzando. Agora deberán inscribir un círculo en cada un dos catro triángulos que resultaron ao trazar as diagonais.[...] Agora chega o momento curcial, marquen o centro deses catro círculos inscritos en cadnseu triángulo, xunten os centros deses círculos e obterán, sen dúbida, un rectángulo.

 Así o fixen. Ou polo menos iso foi o que entendín. Pero, oh, sorpresa! non aparecía rectángulo por ningures:

Que é o que pasa? Xavier Queipo referíase ao chamado segundo teorema de Mikami-Kobayashi, que di que nun cuadrilátero cíclico os incentros dos triángulos formados ao trazar unha diagonal xunto cos incentros dos outros dous triángulos de trazar a outra diagonal, forman sempre un rectángulo. Podemos ver unha demostración aquí.

O teorema de Xavier Queipo
De todas formas é interesante saber para que usou no seu artigo Xavier Queipo o nomeado teorema de Mikami-Kobayashi. Queipo recolle unha idea xeométrica como argumento para trazar as liñas da xeometría política galega. Os catro incentros son

os puntos cardinais das catro tendencias políticas que están na mente de todos, a saber, os conservadores cirtiano-demócratas (PP), os socialistas (PS), os galeguistas (BNG, ANOVA e outros) e os partidos de esquerda ou centro esquerda estatalista (EU, Podemos ou outros) [...] O miolo da cuestión é que siginifica ese rectángulo en toda esta trama unha chisca estraña. Pois o rectángulo significa a correlación de forzas do poder: as ideas que marcan unha época.

Continuando co paralelismo, cada vez que temos eleccións muda a configuración do esquema; uns círculos vólvese máis grandes e outros minguan. Pero tal e como nos di o teorema,  os marcos referenciais fican ortogonais.

Anotacións finais.
Se no artigo do Sermos Galiza non se fixera ningunha referencia á xeometría, seguramente eu non o lería agora non tería na cabeza a idea explicada sobre o retrato do panorama político. Gustoume moito que nun artigo lonxano ao mundo das matemáticas se fixera uso das mesmas.
Vemos como unha persoa allea ao mundo das matemáticas retomou momentáneamente o seu interese polas mesmas ao escoitar unha conversa. En efecto, Queipo oe por azar como dúas persoas falan do teorema de Carnot. A curiosidade lévao a profundizar no tema e, tirando do fío chega a un grupo de resultados que teñen que ver cunha curiosa tradición xaponesa, o sangaku. Trátase neste caso dunhas tabliñas dos séculos XVIII e XIX  con problemas de carácter xeométrico onde abundan construcións con figuras tanxentes e normalmentes con cículos ou polígonos inscritos uns dentro doutros. O importante é que as matemáticas non lle producen o que a moitos, rexeitamento. Non ten medo de achegarse a elas, incluso de empregalas para facer unha análise da estrutura política galega. E isto é moi bo.
Se hai algo do que o mundo das matemáticas, especialmente o seu ensino,  está moi necesitado, é dunha relación máis fluída coa sociedade. E iso é o que fai Xavier Queipo.Cómpre romper prexuízos, sobre todo nun momento no que as liñas directrices da política educativa van por camiños pouco desexables. O papel que a LOMCE asigna á materia de matemáticas dentro co currículo é estarrecedor. Aparecen claramente como a máquina perfecta de etiquetaxe e discriminación no contexto escolar. Por iso cómpre, máis que nunca tecer liñas de reforzo doutra visión das matemáticas. Temos que potenciar un achegamento integrado, amable, próximo, útil e usable. Artigos como o de Queipo son exemplos deste labor. Por certo, esas liñas do número 120 do Sermos Galiza son as únicas impresas en papel que puden ler en galego neste ano. Significativo, non si?

O crebacabezas de Freer

Winston Freer (1910-1981) foi un mago norteamericano que argallou famosos xogos de maxia. Un deles é este que se presenta neste vídeo. Para ver a explicación do truco, que o hai, pois noutro vídeo.