Desafortunadamente puiden comprobar en non poucas ocasións que a lectura de textos de matemáticas son a mellor ferramenta para acurtar as xornadas de acompañamento hospitalario na que o tempo se estarrica indefinidamente. Esta entrada ten que ver coa lectura dun texto que me acompañou non pouco tempo hai xa máis dun ano e que, por unha cousa ou pola outra, ata agora non soltei na arañeira.
8 de agosto en París, unha xornada de moita calor. Non se trataba dunha conferencia plenaria, ademais non era en francés. O relator tampouco chegaría a desenvolvela en toda a súa extensión, apenas tocaría a metade dos puntos do total. Con todo, nesa mañán do 1900, no anfiteatro da facultade de ciencias da Sorbona, pronunciouse unha das disertacións máis famosas da historia da ciencia dentro do marco do II Congreso Internacional de Matemáticas (CIM). David Hilbert, o seu autor, propoñía
23 problemas que, desde o seu punto de vista, serían cruciais para o desenvolvemento futuro das matemáticas. Tratábase dunha resposta a outra conferencia pronunciada no I CIM por Herin Poincaré. Se éste debuxara un panorama dunhas matemáticas que bebían da fonte da física e que estaban en condición de establecer cuestións irresolubles ou que posiblemente nunca se chegaran a resolver, Hilbert negaba a imposibilade da ignorancia nas matemáticas e presentou un programa no que se ofrecía unha ciencia autosuficiente.
Son moitas as razóns polas que Hilbert resultaba ser a persoa ideal para ofrecer as chaves da matemática que había de vir. Hilbert resolvera inesperadamente o problema de Gordan, aínda que o fixera dunha forma completamente inesperada. Se Gordan fixera o cálculo explícito dunha base finita de invariantes para unha forma binaria de calquera grao, Hilbert demostra a existencia xeral desas bases, pero sen dar unha demostración construtiva. De aí a famosa frase de Gordan ante este traballo: "isto non é matemática, é teoloxía!".
Hilbert elaborara un profundo e exhaustivo informe sobre a teoría de números e tamén publicara os
Fundamentos da xeometría, un tratado en clave axiomática que se considera un clásico. Con toda esta bagaxe a intervención de Hilbert no II CIM tiña boas expectativas. Hoxe sabemos que as superou todas.
Un século despois, o experto en historia das matemáticas Jeremy Gray fixo un balance do sucedido neses 100 anos arredor deses 23 problemas.
Algúns deles son especialmente famosos e relevantes, incluso fóra do ámbito estrito das matemáticas. Citemos por exemplo a hipótese do continuo (problema 1) ou a cuestión da consistencia da aritmética (problema 2). No entanto aquí falaremos dun dos menos coñecidos, o problema número 17 desa lista. Como referencia comentaremos que Jeremy Gray só lle adica unha páxina escasa dun total das 320 páxinas das que consta o libro.
O problema 17
Antes de enunciar o problema temos que dar unha definición.
Sexa f un polinomio de n variables sobre un corpo R. Diremos que f é semidefinido positivo se $$\forall \left( { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n } \right) \in { \Re }^{ n }f\left( { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n } \right) \ge 0$$
Sexa R un corpo. R(x
1, x
2, ...,x
n) é o conxunto dos polinomios de n variables sobre R. R[x
1, x
2,....,x
n] é o conxunto das fraccións alxébricas sobre R.
Problema 17. Será certo que todo polinomio f de R(x1,x2,....,xn) semidefinido positivo, poderá poñerse como suma de cadrados de R[x1,x2,....xn]?
Realmente Hilbert non enunciara o problema para un corpo calquera, senón específicamente para o dos números reais. Con todo o enunciado é curioso. fixémonos que Hilbert non pregunta se é posible poñer
f como suma de cadrados de polinomios, senón como suma de cadrados de fraccións alxébricas. Tiña as súas razóns para formular así a cuestión. Verémolo.
Converter un produto nunha suma
Comencemos pensando en cuestións máis simples. Sabemos que todos os números positivos son cadrados. A cuestión será intentar estudar se sucede o mesmo cos polinomios semidefinidos positivos dunha soa variable. O polinomio
x 2+1 non se pode escribir como cadrado doutro polinomio de grao 1. Entón haberá polinomios que teñan que escribirse como suma de varios cadrados.
Para poder abordar o problema, comenzaremos escribindo os números positivos como suma de cadrados
A seguinte fórmula, $$\left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) \left( { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } \right) ={ \left( ac-bd \right) }^{ 2 }+{ \left( ad+bc \right) }^{ 2 }$$
de verificación inmediata, demostra o
lema 1: un produto da suma de dous cadrados pódese poñer como suma de dous cadrados.
En xeral será certo o
lema 2: un produto n sumas de dous cadrados pode poñerse como suma de dous cadrados.
Para comprobar este último procedemos por indución.
Está visto o caso dun produto de dous números que son suma de dous cadrados. Supoñámolo certo para un de
n-1 factores e comprobemos que tamén o é cando consideramos
n factores. Sexan
a1, a2, ....an os factores. Chamémoslle
a=a1a2....an-1
$${ a }_{ 1 }^{ 2 }\cdot ....\cdot { a }_{ n-1 }^{ 2 }\cdot { a }_{ n }^{ 2 }={ { a }^{ 2 }\cdot }{ a }_{ n }^{ 2 }$$
e polo lema 1, queda demostrado o lema 2 (se escribín todo isto dos lemas foi para poder poñer esta frase)
Convén ter presente que estes dous lemas non só se verifican no corpo dos números reais, senón que son certos en calquer anel conmutativo, en particular no anel dos polinomios dunha variable.
O caso dos polinomios dunha variable
Teorema 1: Sexa f(x) un polinomio dunha variable sobre o corpo dos números reais. Se f é semidefinido positivo pode poñerse como suma dos cadrados de dous polinomios.
Vexamos por que isto é así.
f terá varias raíces reais e/ou complexas.
Para cada raiz real
c, de
f, teremos un factor da forma
x-c
Para cada raiz complexa
a+bi, de
f, como os seus soeficientes son reais,
a-bi será tamén raiz polo que teremos factores da forma:
$$\left[ x-\left( a+bi \right) \right] \cdot \left[ x-\left( a-bi \right) \right] =\left[ \left( x-a \right) -bi \right] \cdot \left[ \left( x-a \right) +bi \right] ={ \left( x-a \right) }^{ 2 }-{ \left( bi \right) }^{ 2 }={ \left( x-a \right) }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }$$
Todos estes factores estarán elevados a unha determinada potencia. Podemos agrupar todos aqueles que teñan potencia par. O produto de todos eles dará un polinomio que pode escribirse como un cadrado:
g2.
Así teremos a seguinte descomposición de
f:
$$f={ g }^{ 2 }{ f }_{ 1 }\cdot ...\cdot { f }_{ r }{ h }_{ 1 }\cdot ...\cdot { h }_{ s }$$
Onde cada
f i (x)=x - ci e cada
h j(x)=(x-aj)2+ bj2
Está claro que
h j en calquera punto será positivo. Sen perda de xeneralidade podemos supoñer que os valores
c1,c2 ,..., cr están ordenados de menor a maior. Nese caso, podemos escoller un punto intermedio
α do intervalo
(c1, c2).
Entón
fi(α )>0 para i=,2,.....r e f1(α ) < 0 . Nese caso, en contra do suposto,
f(α ) < 0 . A conclusión é que na descomposición de
f non pode haber polinomios do tipo
fi
$$f={ g }^{ 2 }\cdot { h }_{ 1 }\cdot ...\cdot { h }_{ s }$$
Como os
h j son sumas de cadrados, a descomposición anterior pode reducirse a un produto de factores que son todos e cada un deles suma de dous cadrados. Polos lemas comentados anteriormente, calquera polinomio
f poderá escribirse como suma de dous cadrados.▢
O enunciado do problema 17
Visto isto podemos estar áinda máis confundidos polo enunciado do problema 17. Para os polinomios semidefinidos positivos
dunha variable non cómpren fraccións alxébricas pois non só se poden poñer como suma de cadrados de polinomios senón que incluso esa suma se pode reducir a dous sumandos. Pero... Hilbert chegara a un resultado de existencia de polinomios de
dúas variables, semidefinidos positivos, que non se podían poñer como suma de cadrados de polinomios pero si como cadrados de fraccións alxébricas.
No eido das matemáticas estamos afeitos a ver teoremas de existencia aínda sen ter exemplos concretos nos que substentar esa certeza ontolóxica. Esta foi a situación durante sete décadas ata que no ano 1967 o polinomio de Motzkin tomou corpo. Velaquí o temos:
$$H(x,y)={ x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }{ y }^{ 4 }+1-3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }$$
Comprobar que é semidefinido positivo é moi sinxelo. Basta ter en conta que a media aritmética é sempre maior (ou igual) que a xeométrica e aplicarlla aos termos
x4y2, x2y4 e
1:
$${ m }_{ a }=\cfrac { { x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }{ y }^{ 4 }+1 }{ 3 } \ge { m }_{ x }=\sqrt { { x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }\cdot { x }^{ 2 }{ y }^{ 4 }\cdot 1 } ={ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }$$
Tampouco é moi complicado comprobar que
H(x,y) non pode escribirse como suma de cadrados de polinomios de dúas variables (remítome á páxina 3 do
libro de Fernando e Gamboa)
Agora estamos en disposición de entender que Hilbert non podía pedir máis cando expuxo o seu problema 17.
A solución
A solución viría da man de Emil Artin no ano 1926 dentro do ámbito dos chamados corpos reais e as clausuras reais. Dise que un
corpo é
real cando o -1 non pode poñerse como suma de cadrados ou, equivalentemente, cando unha suma de cadrados do corpo dará cero únicamente no caso de que todos os elementos sexan cero.
Establecer unha ordenación nun corpo
E consiste en determinar un subconxunto, o
"dos números positivos". Este subconxunto, chamémoslle
P, debe conter todos os cadrados e debe ser cerrado para a suma e o produto: $${ E }^{ 2 }=\left\{ { x }^{ 2 };x\in E \right\} \subset P,\quad P+P\subset P,\quad P\cdot P\subset P$$
Un subconxunto
P destas características denomínase
cono, e se non contén ao
-1, dise que é un
cono propio. Un par
(E,P) será un corpo ordenado, basta definir
x≤y mediante a relación
y-x∈P. Establecer o conxunto
P equivale a establecer unha relación de orde no corpo
E.
Un caso especialmente interesante dos corpos reais é o dos
cerrados reais, que son aqueles que non admiten ningunha extensión real. Empregando o lema de Zorn establécese que os cerrados reais son aqueles corpos que só admiten unha ordenación. Máis concretamente, un corpo cerrado real só admitirá a ordenación na que os positivos son os cadrados. Todo corpo ordenado admitirá unha única extensión cerrada real, será a denominada clausura real.
Para un corpo cerrado real pódense demostrar o teorema de Bolzano e o do valor medio. Estes resultados serán necesarios para establecer a solución ofrecida por Artin ao problema 17 de Hilbert. Esta solución ofrécese mediante o seguinte resultado:
Teorema de Artin. Sexa R un corpo cerrado real. Todo polinomio f de R(x1,x2,....,xn) semidefinido positivo, poderá poñerse como suma de cadrados de R[x1,x2,....xn]
