Percorridos entre A e B

Nada máis simple que o que podemos ver nesta imaxe, un segmento entre dous puntos A e B. Nun principio parece que tan pouca cousa non pode dar para moito. Non é así.

Comecemos polo principio. No principio foi Euclides (III a.C.). Nos seus Elementos partía de 5 postulados. Recollo os seguintes aspectos e comentarios da edición feita pola USC, con tradución de Ana Gloria Rodríguez e Celso Rodríguez. O primeiro postulado era este:

[Postúlese] 1. Trazar unha liña recta dende un punto calquera ata un punto calquera

Precisamente nesa edición coméntase que isto implica a existencia de (polo menos) dous puntos. Tamén se resalta que, nun principio, non se pode trazar unha recta arbitraria a partir dun punto. A pesar do seu evidente éxito, no transcurso dos séculos Euclides había de ser criticado en moitos aspectos. Como xa teño comentado as críticas comezaban xa co primeiro postulado que establece a existencia dunha recta entre dous puntos calquera pero non se asegura a unicidade da mesma a pesar de que Euclides tamén dou isto por certo sen postulalo previamente. Decatémonos de que aínda non se estableceu que a liña poida ser infinita. Isto último será materia do segundo postulado:

[Postúlese] 2. E prolongar en liña recta de forma continua unha recta finita.

Este principio había de revelarse fundamental ao profundizar nos fundamentos da xeometría. Cando Giovanni Gerolamo Saccheri (1667-1733) quixo establecer a xeometría euclidiana como a única posible. Para este propósito elaborou dúas xeometrías alternativas nas que non se verificaba o polémico quinto postulado co obxectivo de chegar a unha contradición. Esas xeometrías serían posteriormente denominadas elíptica e hiperbólica. Na xeometría elíptica non tardaría en demostrar a finitude das rectas, a negación directa do segundo postulado, unha contradición evidente que era o que estaba buscando Saccheri. Despois creu obter unha "falsidade manifesta" dentro da xeometría hiperbólica pero foi unha saída en falso. 

Non quero insistir na axiomática da xeometría pois a este tema xa adicara un par de entradas (Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.1 e Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.2). O segmento AB é o esquema de moitos problemas das matemáticas escolares. Pensemos só en todos aqueles que teñen como protagonistas do seu enunciado un par de trens que parten de dous puntos A e B. Como non me quero meter nesta selva, inzada de problemas de todo tipo, voume centrar nun que recollo dun libro de título ben curioso. Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, de Paul J. Nahin. De seguido presento unha versión libre da cuestión

Un paxaro vai de A a B e despois volve de B a A a unha velocidade v. Como é habitual neste tipo de propostas v é constante e o cambio de sentido é maxicamente inmediato. Sexa d a distancia entre os puntos A e B e t=2d/v o tempo que tarda en facer o percorrido de ida e volta. Introduzamos agora unha dificultade. Imos supoñer que o traxecto faise en presenza dun vento dunha velocidade constante w. Tamén consideraremos que w<v. Cando o vento sopre no mesmo sentido do corredor as velocidades súmanse : v+w. Cando o vento vai en sentido contrario ao corredor as velocidades réstanse: v-w. A cuestión é se o tempo que se tarda en facer o percorrido é menor con vento ou sen el.

Seguindo a Paenza, o mellor que poderiamos facer agora sería pensar no problema, quizais pensar nalgúns valores particulares para explorar, quizais modificar algo as condicións, pensar en casos extremos, en axudarnos doutro paxaro que parta de B mentras o primeiro parte de A, elaborar unha estratexia de abordaxe e levala a cabo,... Conviña facer algo disto antes de seguir lendo.

Paxaro indo de A a B

As condicións do problema dan  a impresión de que a pregunta garda unha trampa pois non se ten en conta unha terceira posibilidade, que ademais parece a máis lóxica, a de que o paxaro tarde o mesmo tempo con vento e sen el. Sorprendentemente a resposta non é esta. Poñamos por caso que a velocidade do paxaro é de 10 km/h e que a distancia entre A e B é de 10 km. Neste caso o tempo empregado no traxecto de ida e volta é de 2 horas. Cun vento soprando a 2 km/h o tempo empregado será:

$$\frac{10}{12}+\frac{10}{8}=\frac{200}{96}=\frac{25}{12}>2$$

Se xeneralizamos veremos que o tempo do percorrido é maior con vento que sen el:

$$\frac{d}{v+w}+\frac{d}{v-w}=\frac{d\left ( v-w \right )+d\left ( v+w \right )}{\left ( v+w \right )\left ( v-w \right )}=\\= \frac{dv-dw+dv+dw}{v^{2}-w^{2}}=\frac{2dv}{v^{2}-w^{2}}=\frac{2dv/v^{2}}{\left (v ^{2} -w^{2}\right )/v^{2}}=\\=\frac{2d/v}{1-\left ( w/v \right )^{2}}=\frac{t}{1-\left ( w/v \right )^{2}}\geq t$$

O vento non ten por que soprar na dirección marcada polo segmento AB pois se o fai noutra dirección só nos interesará a proxección do vector que indica a velocidade do vento sobre AB. Isto lévanos a sospeitar que se facemos un percorrido co mesmo punto de inicio e fin, o resultado vaia ser o mesmo. A sospeita é acertada, e quen a queira ver desenvolta pode consultar o libro de Paul Nahin. Isto ten unha consecuencia práctica importante no mundo do atletismo. En presenza de ventos de certa intensidade non se recoñecen determinadas marcas deportivas. Polo que acabamos de contar, nas carreiras nas que se dá un número enteiro de voltas á pista as marcas veríanse sempre perxudicadas polo vento, en consecuencia neste tipo de probas non ten sendido anular as marcas obtidas en presenza de vento. Pode que este resultado lle interese ao compañeiro Paulo González Ogando, que acaba de publicar un libro titulado Matemáticas y deporte (Catarata 2022)

Só uns riscos nunha pedra

Unha das cousas que se aprenden nos primeiros curso da ESO é a relación entre as expresións fraccionarias e as decimais. Normalmente a expresión decimal será periódica. Os casos nos que o decimal é exacto son aqueles nos que a fracción ten un denominador da forma $2^{ m}\cdot5^{n}$. Consideremos este tipo de fracións, específicamente as máis simples, as de numerador 1. Isto é, calculemos os inversos dos números que teñan como factores só a 2 e a 5.

$$\frac{1}{2}=0'5\quad \frac{1}{4}=0'25 \quad \frac{1}{5}=0'2 \quad \frac{1}{8}=0'125\quad \frac{1}{10}=0'1$$

Decontado nos decatamos que os pares de recíprocos teñen como produto 10 ou unha potencia de 10. 

Se tivésemos unha base con máis divisores tamén teriamos unha colección de pares de inversos exactos moito maior. O certo é que a temos, ou que a tiña a antiga civilización mesopotámica. Lembremos que usaban un sistema de numeración no que usaban dous símbolos: o das unidades 𒑰=1 que podía agrupar ata un total de 9 elmentos para indicar as 9 primeiras cifras; as decenas representábanse con este outro símbolo 𒌋=10, que se podía agrupar ata un total de 5. Así 𒌍𒐜 indicaría o 38. A partir de 60 utilizaban un sistema posicional. O número 𒌋𒐘 𒌋𒌋𒐗 que nós escribiremos 14 23 representa no sistema decimal o número $14\cdot 60+23=823$. Outro exemplo, 𒐖 𒌋𒐖 𒐐𒐊 é en sexaxesimal o número 02 12 55, que traducido ao sistema decimal vén sendo $2\cdot 60^{2}+12\cdot 60+55=7975$.

Utilizando este mesmo tipo de escritura representábanse incluso números decimais en base 60 que nós escribiremos separando a parte enteira da decimal mediante o símbolo ";", aínda que nas tabelas babilónicas non se usaba ningún tipo de signo de separación. Así 𒐖𒑱𒑱 tanto podería representar 02 40, que é $2\cdot 60+40=160$ como 02;40 que sería $2+40\cdot \frac{1}{60}=2'\,66666...$. Os problemas de interpretación aumentan se temos presente que non tiñan símbolos para o cero. Polo tanto 𒐖𒑱𒑱  tamén podería interpretarse como 02 40 00 ou 00;02 40 ou incluso 02 00 40, ou 02; 00 40,... Non non debe estrañar toda esta ambigüidade. Teñamos presente que moitas das tabelas babilónicas non tiñan vontade de transmitir ningún tipo de mensaxe. Foron recuperadas dun contexto escolar onde primaba a oralidade. Nestas escolas normalmente había un recipiente con auga para poder borrar e reutilizar as tabelas de barro. 

Un escriba babilónico era quen de realizar as operacións aritméticas básicas: suma, resta produto e división. Para levar a cabo esta última multiplicaba polo inverso do divisor. Acháronse táboas con listas de inversos, o que dá a entender que se aprendían de memoria para facilitar os cálculos. Velaquí unha restra de inversos. Imitando aos babilonios evitamos os inversos que non dan valores finitos, isto é só amosamos os inversos daqueles números que son divisores de 60 ou dalgunha potencia de 60. 

Estritamente, os valores non son inversos xa que o produto de cada par non é a unidade, dá 60 (ou 01 00 en base sexaxesimal). Pero iso non é máis que unha cuestión de escala. Por exemplo, no caso do inverso do 24  bastaría con que considerásemos o 0;02 30 no canto de 02;30. O mesmo podemos facer co resto dos valores da táboa. (Un aviso adicional: todos os números que aparecen a partir de aquí están en base sexaxesimal)

As tarefas matemáticas non remataban neste punto. Un exercicio particularmente popular consistía en achar o inverso dalgún número non incluído nas táboas de inversos. Eleanor Robson, especialista en historia das matemáticas babilónicas, explica como debemos ler un destes exercicios, en concreto o dunha tabela do Museo Nacional de Iraq, IM 58446 procedente de Nippur e datada arredor do 1800 a.C. que podemos transcribir así: 

«2» indica que ese valor debe ser un erro. Os números escritos entre corchetes son engadidos do que se supón que debería haber en partes danadas ou perdidas da tabela. Como debemos interpretala? Pídese que calculemos o inverso de 17;46 40. Trátase de buscar unha cantidade que multiplicada por este valor nos dea como resultado 1 00. Imos abordar o problema mediante un razoamento de cortar e pegar, seguindo o procedemento habitual dos antigos escribas. Consideramos un rectángulo de área 1 00 con base 17; 46 40 polo que a altura é o inverso que nos piden

Os babilonios non usaban incógnitas

Para iso descompoñemos a base en dous segmentos, un de 17;40 e outro de 0;06 40. Como sabemos as táboas de inversos, tamén sabemos que 06 40 é o inverso de 9 . Así construímos un gnomon con dous rectángulos de área 1 00

Se multiplicamos 17; 40 ✕ 9 00 obtemos como resultado 2 39 00

En consecuencia o rectángulo completo ten unha área de 2 39 00 + 1 00 = 2 40 00

Polo tanto o rectángulo grande é 2 40 veces maior que o rectángulo orixinal (lembremos este que tiña área 1 00) e iso significa que 9 é 2 40 veces maior que x, o inverso buscado. Mirando na táboa de inversos vemos que o inverso de 2 40 é 0;22 30 así que x será o produto de 9 ✕ 0;22 30. O resultado é 3; 22 30. O problema está resolto. Pero os escolares babilónicos continuaban calculando o inverso do inverso, isto é agora volvían a aplicar o procedemento anterior para achar o inverso do 3; 22 30.

Primeiro multiplicamos por 2 para desfacernos do 30 final. Así 3; 22 30 ✕ 2 = 6; 45. Este valor non é un dos que teñamos un inverso coñecido, así que non nos queda outra que volver a aplicar o procedemento anterior. 

Partimos 6; 45 na súa parte enteira e na decimal 6; 45 = 6 + 0;45. O inverso de 0;45 si que o coñecemos, é 1 20. Formamos o que os xeómetras gregos chamaban "gnomon", unha área en forma de L.

Se agora multiplicamos 1 20 ✕ 6 = 8 e lle engadimos o rectángulo de 1 20 ✕ 0;45 = 1 00 obteremos un rectángulo de área 9 00.

A área total é 9 veces a do rectángulo superior polo que 1 20 é 9 veces o valor x buscado. Como o inverso de 9 é 6;40 sabemos que x = 1 20 ✕ 0;06 40 = 8;53 20. Lembremos que ao principio para librarnos das últimas cifras decimais de 3; 22 30, multiplicáramolo por 2, así que polo momento obtivemos o inverso do dobre. Para obter o inverso de 3; 22 30 teremos que multiplicar 8;53 20 ✕ 2 = 17; 46 40 que é a un tempo o inverso buscado e o número orixinal.

Tabela IM 58446
Recollida desta publicación

No transcurso desta entrada fun marcando en letra grosa os valores que aparecían na tabela IM 58446. Pódese comprobar que fomos percorrendo todos os que aparecen na reprodución desa tabela feita por Eleanor Robson ou na transcripción recollida máis arriba. En todo caso trátase dun titánico esforzo de tradución duns riscos feitos nun anaco de barro endurecido.

Case a modo de post scriptum este achegamento ás matemáticas babilónicas impresiona pola capacidade de manipulación do sistema sexaxesimal. Parece claro que xa no 1800 a.C. eran quen de pasar dun chanzo a outro de unidades numéricas sen ningunha dificultade e en calquera dirección. Isto implica que non tiñan problemas en tratar con cantidades decimais (aquí decimal significa non enteiro), o cal non pode deixar de sorprendernos porque unha vez esquecido o sistema de numeración  babilónico, ou polo menos abeirado ao uso das medidas angulares houbo que agardar ata que Simon Stevin (1548-1620) no seu De Thiende (1585) explicara os algoritmos para o cálculo coas fraccións decimais. Todo isto induce a considerar que a marabilla das matemáticas gregas, o piar sobre o que se asenta o coñecemento matemático occidental, foi tamén unha lousa que impuxo un moi restritivo concepto de número. É ben coñecido que os sistemas de numeración da Antiga Grecia eran aditivos, non posicionais, polo que a súa manipulación era máis pesada. Pero o máis destacable é a dicotomía entre a conceptualización dos números como entidades discretas fronte ás magnitudes xeométricas continuas.As primeiras cóntanse, as segundas mídense. Tan pronto como no V a.C. os pitagóricos observaron como se derribaba o seu universo construído baixo a máxima de "todo é número" coa constatación das magnitudes inconmensurables. A teoría das proporcións de Eudoxo salvou o problema e a un tempo afianzou a aposta pola xeometría dunhas matemáticas cultivadas pola clase ociosa e que desprezaban calquera aplicación práctica. Estes factores alonxaron máis aínda esta ciencia das medicións e do cálculo. Só o peso da historia permite explicar a tardanza europea en desenvolver os números decimais.

Escolma de problemas de Matemáticas na Raia

A raíz da última entrada estiven remexendo nos problemas propostos no concurso Matemáticas na Raia que organizan anualmente AGAPEMA e a APM desde o ano 2015. En cada edición propóñense 5 problemas que un grupo de alumnos de 3º da ESO (9º curso en Portugal) deben resolver durante 90 minutos. Dos 40 problemas propostos nas 8 edicións fixen unha escolla persoal que paso a compartir.

Para resolver este primeiro problema comecei a trazar segmentos sobre a imaxe para trazar unha liña de abordaxe ata que, de súpeto un aire de inspiración me trouxo de golpe a solución que presento aquí. Se queres intentar resolvelo por ti mesmo, non uses o esvarador!

2015. Problema 1. Circunferencia oprimida. Observade agora na figura seguinte a unha circunferencia "oprimida" e lede atentamente as súas lamentacións: "Son unha pobre circunferencia oprimida por 2 triángulos equiláteros. Son tanxentes a cada un dos lados do triángulo grande. E cada un dos tres vértices do triángulo máis pequeno atópase na miña circunferencia. Ás veces pregúntome cantos triángulos pequenos serían necesarios para igualar a superficie do triángulo grande. Que pensades vos Pensade e explicade o voso razoamento.

Quizais os rapaces que participaron na edición do 2016 quedaron algo despistados ao non ofrecérselle a altura dos botes de tomate. Pero a min foi outra cousa a que me chamou a atención. A ver se lle pasa o mesmo ao eventual lector desta entrada. Velaquí o enunciado:

2016. Problema 5. Fabricante de salsa de tomate listo.Un fabricante de salsa de tomate embala latas de 10 cm de diámetro en caixóns cadrados de 80 cm de lado. 

Como un estudo de mercado lle indicou que esas latas eran demasiado grandes, o fabricante decide cambialas por outras cilíndricas, como as anteriores e da mesma altura pero de 5 cm de diámetro. Para embalar as latas, o fabricante segue utilizando as mesmas caixas cadradas de 80 cm de lado, para aforrar cartos. 

A) As caixas que conteñen as novas latas pequenas, conterán máis ou menos salsa de tomate que cando estaban cheas de latas grandes? (Non se terá en conta o espesor das paredes das latas) 

B) E se as latas foran de 6 cm de diámetro. As caixas que conteñen as novas latas non tan pequenas, conterán máis ou menos salsa de tomate que cando estaban cheas de latas grandes?

 C) Cales deben ser as dimensións en valores enteiros do diámetro das latas, para que sempre usemos a mesma cantidade de salsa de tomate para encher as caixas?

Que? Nada estraño?

O problema está pensado para que se responda que podemos colocar 8×8=64 latas de 10 cm de diámetro ou 16×16=256 latas de 5 cm de diámetro para despois pasar a facer un traballo cos divisores de 80. Pero...non collerán máis latas dentro da caixa? Pénsao antes de facer scroll.

O certo é que si. Neste portal que recompilaba os mellores empaquetamentos de círculos no cadrado unidade, indica como se poden colocar 68 círculos de 10 cm e 280 círculos de 5 cm dentro do cadrado de 80×80.

Efectivamente, sen pretendelo fomos bater cun problema realmente difícil, tanto que aínda non ten solución. No libro Unsolved problems in geometry preséntase a cuestión de dúas formas distintas pois o problema do empaquetamento de círculos nun cadrado é equivalente ao do espallamento de puntos nun cadrado. Neste segundo caso trataríase de colocar n puntos nun cadrado unitario de forma que a menor distancia entre eles sexa máxima. Se unha colección de n puntos están a polo menos unha distancia d, eses puntos poden servir como centros de círculos de raio d para empaquetar n círculos nun cadrado de lado 1+d. Velaquí unha ilustración deste feito para o caso n=5.

A distancia d=$\frac{\sqrt2}{2}$

Como efecto colateral vou deixar proposto o seguinte problema:

Problema colateral. Determinar a máxima distancia á que se poden colocar tres puntos sobre o cadrado unidade

Na seguinte proposta explícase como calcular os arranxos de 5 elementos tomados de 4 en 4. Faise para calcular todas as posibles matrículas de catro cifras impares diferentes. O sorprendente é a pregunta. A pesar de ser un resultado de matemáticas elementais, nunca reparara nel.

2018. Problema 4. Matrículas dos automóbiles. Adriano interesábase polos números das matrículas dos automóbiles do seu país, máis concretamente por todos aqueles compostos por catro cifras impares todas diferentes, por exemplo, 3175. Adriano calculou a cantidade de tales números. En efecto, como existen cinco cifras impares 9, 7, 5, 3, e 1, existen cinco formas diferentes de escoller a cifra da dereita, catro formas de escoller a seguinte para que sexa diferente da anterior, tres para escoller a terceira e dúas para escoller a cuarta. Total: 5 x 4 x 3 x 2 = 120. Con todo, Adriano non chegou a calcular a suma destes 120 números. Non obstante, é posible facer este cálculo directamente. Como? Xustificade a vosa resposta

Na última proposta volvín a decidirme por non engadir a imaxe que ofrecían na edición de Matemáticas na Raia. Aquí ofrezo unha que dá máis pistas: que nos indican os puntos vermellos? 

Nesta ocasión esperaba que preguntaran por un punto dos eixos ou da diagonal do primeiro cuadrante como os que aparecen na ilustración. Non é o caso, así que supoño que isto despistaría a moitos dos que o abordaron. Cousas de que o ano 2018 non fose nin un cadrado, nin unha unidade menor que un cadrado, nin tan siquera a suma dun cadrado e a súa raíz. Un ano ben anódino para poñer problemas.

2018. Problema 5. Un robot circula por un plano coordenado da forma que marca o debuxo. 

Así, despois de chegar ao punto (7,0), avanzará unha unidade en horizontal ata o punto (8,0), logo subirá en vertical 8 unidades ata o punto (8,8) e retrocederá en horizontal oito unidades ata o punto (0,8), e así sucesivamente. 

Se cada unidade do plano mide 1 centímetro, en que coordenadas se atopará cando leve percorridos exactamente 2018 centímetros?

Outra vez, imaxe con axuda

Matemáticas na Raia 2022 desde o meu outeiro

Este ano por diversas circunstancias non apuntei ao alumnado de 3º ESO do IES Antón Losada ao certame de Matemáticas na Raia organizado por AGAPEMA e a APM. Así que seguín o concurso desde o meu outeiro, sen mollarme, mais sen desfrutar da súa caloriña.

Vou deixar por aquí os tres últimos problemas da edición deste ano.

3. A ferradura. Na construción dunha mesquita, coma noutras construcións árabes, empregouse moito o arco de ferradura. A súa forma está baseada no círculo, aínda que non chega a ser completo, pero si supera o semicírculo. 

O arco de feradura da figura está construído de forma que o segmento AB mide 1 metro, igual que o raio do círculo interior, e a altura das columnas que os sustentan é de 2 metros. Cal é a área da zona sombreada correspondente ao oco do arco máis o ocos entre as columnas?

No orixinal non aparecía a axuda da dereita

Como no seguinte problema aparece un triángulo de números, seguro que nos vén á cabeza un relampo do triángulo de Pascal. Claro que o alumnado de 3º da ESO non ten aínda esa referencia. De todas formas o triángulo de Pascal non ten nada que ver con este problema. Trátase dun bo exercicio de xeneralización. Non descarto usalo o vindeiro curso ao traballar o tema de progresións.

4. Camiños. O triángulo de números

Un camiño 1-2-3-4-5-6 é unha liña quebrada formada por segmentos horizontais e vertricais que pasan polos números 1, 2, 3, 4, 5, 6.

a) Cantos camiños 1-2-3-4-5-6 hai?

b) Se prolongamos ese triángulo de números da forma en que está contruído ata 20 filas, cantos camiños 1-2-3-4-...-20 hai?

c) Se procedemos desta maneira ata "n" filas, cantos camiños 1-2-3-4-...-n hai?

A miña experiencia dime que o último dos problema propostos debeu ser o que máis dificultades e bloqueos lles debeu producir aos participantes no concurso deste ano. Así tamén foi o caso do certame de Matemáticas na Raia do 2020. Daquela puidera comprobar que nin os meus alumnos nin os do IES que fóra vixiar eran quen de atacar outro problema de lóxica que se propuxera aquel ano (se seguides a ligazón iredes a unha entrada deste blogue publicada o "día do papel hixiénico", é dicir, o día en que comezou o confinamento)

5. Tarxetas lóxicas. Cantas frases falsas hai en cada tarxeta?

Tarxeta 1:

A. Nesta tarxeta, hai exactamente unha frase falsa       

B. Nesta tarxeta, hai exactamente dúas frases falsas.

C. Nesta tarxeta, hai exactamente tres frases falsas.

D. Nesta tarxeta, hai exactamente catro frases falsas.

E. Nesta tarxeta, hai exactamente cinco frases falsas.

F. Nesta tarxeta, hai exactamente seis frases falsas.

Tarxeta 2:

A. Nesta tarxeta, ningunha frase é falsa.

B. Nesta tarxeta, polo menos unha frase é falsa.

C. Nesta tarxeta, polo menos dúas frases son falsas.

D. Nesta tarxeta, polo menos tres frases son falsas.

E. Nesta tarxeta, polo menos catro frases son falsas.

F. Nesta tarxeta, todas as frases son falsas.

Un problema de Kíiv

Nestes días Ucraína é o gran foco de atención mundial. Desafortunadamente éo porque nese espello reflíctese a cara máis aborrecible do ser humano: morte, destrución e guerra con consecuencias imprevisibles pero sempre cargadas de dor. A invasión mediática é tal que incluso desde os lugares máis alonxados  as insitucións máis distanciadas do conflito viraron a súa mirada cara Ucraína. Foi o caso da Real Academia Galega, en concreto do seu Seminario de Onomástica, que se preocupou pola forma que deberían ter na nosa lingua os topónimos ucraínos. O caso máis rechamante quizais sexa o da capital, que ata o momento coñeciamos a través da súa adaptación rusa, Kiev, pero que a partir de agora deberemos escribir, Kíiv, a súa transliteración da pronuncia autóctona do nome.

E que ten que ver todo isto coas matemáticas? O parágrafo anterior serve para explicar a discrepancia de grafías entre o título da entrada e a do libro ao que me vou referir, From Erdös do Kiev: Problems of Olympiad Caliber. O seu autor é, nin máis nin menos, que o canadiano Ross Honsberger (1929-2016), responsable dunha boa colección de diamantes, xemas e delicias matemáticas. O libro, está claro, recolle problemas de distintas competicións matemáticas e, efectivamente, unha delas foi unha olimpíada celebrada en Kíiv no 1954. O comentario explícto de Honsberger de que o problema que recolle se lle propuxera a estudantes de 9º grao (equivalente ao noso 3º da ESO) incita a que pensemos que é demasiado difícil para este nivel. Presentamos por fin o enunciado:

Inscríbese unha circunferencia nun triángulo e circunscríbese un cadrado a esa circunferencia. Demostra que máis da metade do perímetro do cadrado está dentro do triángulo.

Dito doutro xeito, e facendo referencia ao seguinte applet, hai que demostrar que as liñas vermellas suman unha lonxitude maior que as verdes:

Reflexionando sobre o problema, se no canto de considerar un cadrado tomamos outro polígono regular de máis lados, parece que o resultado debe seguir verificándose pois ese polígono regular cingue máis estreitamente a circunferencia polo que parece que debería estar máis dentro do triángulo. En conclusión unha maior parte do perímetro do polígono será interior ao triángulo. Isto non sucede se o polígono fose un triángulo. Basta ver a seguinte representación con triángulos equiláteros.

Aquí é obvio que o perímetro exterior ao triángulo (en verde) duplica ao perímetro interior (en vermello).

A solución que nos ofrece Honsberger fai uso dun fermoso e evidente resultado:

Nun triángulo rectángulo a diferenza entre a suma dos catetos e a hipotenusa é igual ao diámetro do incírculo.

Basta con botarlle unha ollada á seguinte figura para confirmalo:

Deixo nas mans dos poucos que poidan pousar os ollos nesta entrada o traballo de completar a demostración do problema de Kíiv.

Un pequeno problema de optimización

Nas clases de matemáticas sucede algo que case non pasa nas outras. É moi fácil reducilas a unha lista de receitas. Co avance do curso e dos anos vanse acumulando estas receitas ata a saturación. Finalmente non temos nada de matemáticas e só fica unha lista de algoritmos sen sentido. Moitas veces o paso dunhas matemáticas sustentadas na razón, a unhas matemáticas puramente algorítmicas é moi sutil. Non creo que haxa unha forma boa de explicar as matemáticas ben, pero si que a hai de facelo mal. A mellor forma de coller o mal camiño é non reflexionar e non ter unha idea bastante clara das mensaxes que hai que transmitir.

Xa teño contado nalgunha ocasión que tiven uns profesores de matemáticas moi bos. A isto engadíseselle a alegría de que me gustaba a materia. Por iso gozaba moito das clases; tanto que teño vívidos recordos de impresións e pensamentos que tiven daquela. Todo isto axudoume moito despois. Lembro, por exemplo o seguinte problema de optimización proposto nunha clase de 3º de BUP, ano 1984. Por contextualizar, antes xa estudáramos as derivadas das funcións elementais (con demostracións incluídas). Tamén fixéramos exercicios de representación gráfica.

No 1984 había clases de matemáticas en galego

Aínda que penso que se ve na imaxe, transcribo o enunciado:

Calculade dous números que sumen 10 e o producto sexa máximo

[Nota ortográfica: "producto" é da norma RAG anterior a 2003]. Para resolvelo basta con trasladar o enunciado a unha linguaxe matemática para permitir a súa manipulación dentro do contexto do traballo que estabamos a realizar: temos que achar dous valores $x_{1}$ e $x_{2}$ tales que o seu produto $P_{2}=x_{1}\cdot x_{2}$ sexa máximo baixo a condición de que a súa suma sexa 10. Recordo perfectamente que, a pesar de que xa fixéramos unha boa colección de exercios de optimización de carácter xeométrico, non sabía como abordar este problema. De todas formas tiña a solución porque fixera o seguinte razoamento: "1 e 9 suman 10, o seu produto é 9; 2 e 8 suman 10 e o seu produto é 16; 3 e 7 suman 10 e o seu produto é 21; 4 e 6 teñen de produto 24. Finalmente $5\cdot 5=25$ é a solución.[Nese momento asaltoume a dúbida] E os decimais?... 4,5 e 5,5 teñen de produto 24,75. Entón, parece que a solución é $5\cdot 5=25$."

Con todo, non estaba contento con ese método. Sabía que non verificara máis que uns poucos casos. Por outra banda a solución dada posteriormente polo profesor deixárame algo decepcionado. Parecíame demasiada parafernalia para unha conclusión tan obvia.

A cuestión é: por que non fun quen de resolver o problema coas ferramentas que tiña na miña man e que xa aparendera noutros problemas de optimización? Incluso máis, é evidente que, dentro dos problemas de optimización, este problema era máis sinxelo que outros xa traballados. 

A resposta está no tipo de problema. Os outros problemas de optimización que tratados eran de carácter xeométrico. O bloqueo viña simplemente do aspecto do problema. Aquí aprendín que é importante afrontar problemas de tipos moi distintos. Só un entrenamento de resolución de cuestións variadas vai poder levarnos a "facer nosas" as técnicas que se están a aprender. Co tempo tamén me decatei que o basto razoamento que fixera eu non era práctica común entre a xeneralidade do alumnado. Algúns só buscan o algoritmo que hai que aplicar neste caso e non fan tentativas de casos particulares. Aquí aprendín que, aínda que explique a técnica para resolver un problema, tamén debo relatar divagacións coma se non soubese resolvelo. Como exemplo, podo contar en alto o mesmo que escribín antes, aquilo que pensaba cando intentaba resolver o problema anterior. En xeral debo preguntarme en alto: coñezo algún problema semellante?, que pasa se aquí poño estes outros números?, e que pasa nos casos extremos?, convén facer esquemas, táboas,...?, que tipo de notación debo escribir?. E sempre: que é o que sei? que é o que quero conseguir? Podo relacionar unha cousa coa outra?

Unha ensinanza máis é que debo deixar tempo na aula ao alumnado para que intente resolver os problemas. Non ten sentido que o profesor ametralle aos pobres discentes nunha restra de demostracións de habilidade en problemas que sabe facer sobradamente. 

Finalmente, tamén prodemos aprender moito reflexionando sobre a solución dada. Case sempre está na nosa man abstraer algo máis, xeneralizar.... Por exemplo convén considerar o seguinte problema:

Calcula dous números que sumen S e que teñan produto máximo

Sexa $P=x_{1}\cdot x_{2}$ o valor a maximizar. Podemos aproveitar a condición $S=x_{1}+x_{2}$ facendo $x_{2}=S-x_{1}$. Así o produto só depende dunha variable: $P_ {2}(x_{1})=x_{1}\cdot \left (  S-x_{1}\right )$ e podemos aplicar o procedemento habitual de derivación:

$$P'_{2}(x_{1})=\left (  S-x_{1}\right )-x_{1}=S-2x_{1}\\P'_{2}(x_{1})=0 \;\;\; S=2x_{1}\Rightarrow x_{1}=\frac{S}{2}\Rightarrow x_{2}=x_{1}=\frac{S}{2}\\P_{2}=\frac{S}{2}\left ( S-\frac{S}{2} \right )=\frac{S}{2}\cdot \frac{S}{2}=\left ( \frac{S}{2} \right )^{2}$$

Neste punto estamos en boa disposición para abordar un problema máis xeral.

Determina n números que sumen S e teñan produto máximo

Pensemos primeiro no caso de 3 números: $x_{1}+x_{2}+x_{3}=S$. Por  un momento supoñamos que coñecemos o primeiro valor, $x_{1}$. Entón o problema reducirías e a determinar os outros dous valores baixo a condición de que a súa suma fose $x_{2}+x_{3}=S-x_{1}$. Entón o produto:

$$P_{3}(x_{1})=x_{1}x_{2}x_{3}=x_{1}P_{2}\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )=x_{1}\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )^{2}$$

Derivando: $P'_{3}(x_{1})=\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )x_{1}$

Se igualamos a derivada a 0 obtemos:

$$\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )^{2}=\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )x_{1}$$

Dividindo pola expresión entre parénteses obteremos

$$\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )=x_{1}\\x_{1}=\frac{S}{3}$$

Entón $x_{2}+x_{3}=\frac{2S}{3}$, e, polo visto no caso de dous números $x_{2}=x_{3}=\frac{S}{3}$

Velaí que o produto máximo no caso de n=3 será $P_{3}=\left ( \frac{S}{3} \right )^{3}$

Xa temos todo preparado para a indución. Supoñamos que temos n-1 números que teñen unha suma dada S: $x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}=S$ e que o seu produto máximo se dá cando $x_{1}=x_{2}=...=x_{n-1}=\frac{S}{n-1}$. Entón nese caso o valor dese produto máximo será $P_{n-1}=\left ( \frac{S}{n-1} \right )^{n-1}$. Vexamos que se verifica o caso n-ésimo.

Partamos de n números tales que $x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}+x_{n}=S$. Podemos aplicar a hipótese de indución aos n-1 últimos números que suman $x_{2}+...+x_{n-1}+x_{n}=S-x_{1}$. Neste caso o produto máximo será:

$$P_{n}(x_{1})=x_{1}P_{n-1}\left ( S-x_{1} \right )=x_{1}\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-1}$$

Derivando e igualando a derivada a cero:

$$P'_{n}(x_{1})=\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-1}-\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-2}\cdot x_{1}\\\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-1}=\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-2}\cdot x_{1}\\ \frac{S-x_{1}}{n-1} =x_{1}\\S-x_{1}=nx_{1}-x_{1}\\x_{1}=\frac{S}{n}$$

Entón:

$$P_{n}=\frac{S}{n}\left ( \frac{S-\frac{S}{n}}{n-1} \right )^{n-1}=\frac{S}{n}\left ( \frac{S\left ( n-1 \right )}{n\left ( n-1 \right )} \right )^{n-1}=\frac{S}{n}\left ( \frac{S}{n} \right )^{n-1}=\left ( \frac{S}{n} \right )^{n}$$

Recollín esta derivación do libro de Paul J. Nahin, When Least Is Best, que me gustou polo enrevesada que é pois temos a alternativa de facer outro razoamento. Volvamos ao caso de cando tiñamos dous números $x_{1}$ e $x_{2}$ e reflexionemos por que teñen que ser iguais para poder obter un produto máximo. Se fosen distintos, consideremos a súa media $x_{m}$. Entón $x_{1}=x_{m}-d$ e $x_{2}=x_{m}+d$. Ademais $x_{1}+x_{2}=x_{m}+x_{m}$. Pola contra o seu produto 

$$x_{1}\cdot x_{2}=\left ( x_{m}+d \right )\left ( x_{m}-d \right )=x_{m}^{2}-d^{2}<x_{m}^{2}$$

Polo tanto, se queremos maximizar o produto, non podemos coller números distintos. Esta mesma razón serviría para cando teñamos n números. Se un par deles fosen distintos poderiamos substituílos pola súa media, obtendo un produto maior. 

Xa sei por que me gustan as matemáticas. Porque cando me mergullo nelas síntome como un adolescente intentando resolver un pequeno problema de optimización.

Uns Bocados que abren o apetito

Foto da Libraría Paz

O pasado 23 de febreiro presentouse na Libraría Paz de Pontevedra o libro Bocados matemáticos (Xerais 2022), de Paulo González Ogando. Así foi como puiden desvirtualizar ao autor. Achei unha persoa que me dou a impresión de ser moi sistemática e ordenada e á que lle gustan os libros de divulgación das matemáticas. Todas estas cualidades son puntais fundamentais para un autor desa clase de libros.

O primeiro en intervir na presentación foi Fran Alonso, moi preocupado polos resultados dos informes da lectura, especialmente da lectura en galego. Só un 4% da poboación le na nosa lingua, todo un síntoma dun enorme problema que non recibe nin a atención nin as solucións que precisa. Fran Alonso enmarcou os Bocados matemáticos baixo dous parámetros. En primeiro lugar identificouno como pertencente á tradición anglosaxona da divulgación. En segundo lugar, é un volume máis da colección Básicos de ciencia, unha colección que todos aos que nos gusta a divulgación agradecemos infititamente e que certifica que a editorial é fiel á súas orixes. O director de Xerais lembrounos que o primeiro libro da editorial foi un libro de texto de matemáticas de 1º de BUP, o do colectivo Vacaloura. Un libro, que baixo a lexisación actual estaría prohibido publicar por ser un libro de texto de matemáticas en galego. Con esta intervención, Fran Alonso pisou o que tiña preparado eu, con todo, aproveitei para lembrar que o libro do colectivo Vacaloura publicouse a comezos do curso do ano 1979. Uns poucos meses antes publícase o "Decreto do bilingüismo", que segundo a propaganda oficial do momento era o da incorporación da lingua galega ao sistema educativo. Na realidade, se un profesor quería impartir aulas en galego, debía pedir permiso á dirección, ao claustro de profesores, aos pais do alumnado e, de ter o permiso de todos eles, podería elaborar un informe solicitando ao Ministerio de Educación a aprobación do uso da lingua galega na docencia. Para o castelán non había ningún requisito: iso era o bilingüismo. Co soporte dese decreto non se impartiu nin unha hora en galego; pola contra, serviu para fustigar a represión do uso da lingua no ensino. Basta lembrar os casos de Alfonso Castro no colexio do Foxo, na Estrada ou o de Pepa Bahamonde en Rois.

O decreto do bilingüismo do século XXI chámase "decreto de plurilingüismo". Era imprescindible falar del na presentación deste libro, aínda con máis razón se sabemos que nas primeiras páxinas faise referencia ao mesmo:

[este libro] Foi escrito nun tempo en que a materia de Matemáticas na Educación Secundaria Obrigatoria se debe impartir obrigatoriamente en castelán, o cal contribuiu notablemente a ocultarlle ao alumnado o vocabulario específico en galego e a minimizar nesta nosa lingua tanto a expresión oral das matemáticas como a produción escrita de material, tanto didáctico coma tamén divulgtivo. [o subliñado é meu]

Fálase de minimizar. Respecto aos libros de texto foise máis alá: aniquilación completa da lingua galega. Fálase de ocultar. Un verbo terrible cando estamos tratando de educación. A ocultación implica descoñecemento. O descoñecemento leva ao desleixo, ao desprezo e incluso ao dodio á lingua. Todo iso é o decreto 79/2010. 

Tamén se fala de divulgación científica. A este respecto, cal é o panorama? Cantos libros de divulgación das matemáticas en galego se publicaron no século XXI?. Como non son moitos, vou citalos todos:

• Bocados matemáticos, de Paulo González Ogando, Xerais 2022
• Apoloxía dun matemático, de G. H. Hardy, traducido por Xosé Díaz Díaz, Toxosoutos 2020
• Mate-glifos, de Nicanor Alonso e Miguel Mirás, Xerais 2019
• Un conto enleado, de Lewis Carrol, traducido por Xosé Díaz Díaz, Toxosoutos 2017
• As mulleres nas matemáticas, de Matilde Ríos Fachal, Bahía 2008
• A Estatística, ¡en caricaturas!, de Larry Gonick e Wollcott Smith, SGAPEIO 2001

Podémolo poñer nun gráfico:

Parece un número escrito en binario

Para entender mellor a situación, comparémolo co caso do castelán. Cantos libros divulgativos de matemáticas se publicaron neste século en castelán?. Isto non é fácil de responder. Por sorte hai un portal, Divulgamat,  que fai recensión de moitos deles. Se o consultamos veremos que no mesmo período teñen un rexistro dun 985 (coa data desta entrada). Isto significa que seguro que hai máis de 1000. A poboación española é unhas 17 veces a galega. 1000 dividido entre 17 dá aproximadamente 60. Para falarmos dunha situación parella (de bilingüismo?) terían que terse publicado 60 libros de divulgación das matemáticas durante este século. Publicáronse 6. Xa temos unha cifra redonda que nos aclara que vivimos 10 veces por debaixo das nosas necesidades. Esa é a a medida da exclusión do galego no ámbito da divulgación das matemáticas.

Centrémonos agora algo nos Bocados matemáticos. Non vou facer spoiler, pero si dar trazas dos sabores que nos deixan eses petiscos, pois tal e como explicou Paulo, trátase dunha colección de 36 relatos independentes sobre curiosidades matemáticas que lle interesaron. Ao seren independentes podémolas ler en calquera orde. 

Nun dos capítulos contrapóñense as matemáticas centradas nos algoritmos fronte a outras máis profundas, asentadas nos por que, nas ideas, as razóns. Por exemplo, todos sabemos que non se pode dividir por 0, pero por que? Se facemos memoria da época escolar recordaremos que $a^{0}=1$, pero cal é a razón? Velaquí onde residen as matemáticas fermosas, nesta indagación.

Outro lugar onde esperariamos achar beleza matemática sería na xeometría. No libro hai un capítulo adicado a ela, pero non se falará dunha xeometría con listados de fórmulas de áreas, perímetros ou volumes. Falarase, por exemplo da forma dos folios como os DIN A3 ou A4. Por que esa esa proporción entre os lados e non outra? A seguinte figura suxírenos algunha resposta

Un dos problemas a afrontar para achegar as matemáticas á xente é o da utilidade. Cando se presenta un tema de carácter matemático é habitual escoitar a acusación de que non serve para nada: "cando vou eu usar un espazo vectorial?, se vou á compra non necesito polinomios.... " Fronte a isto, podemos retrucar co xa tratado asunto do tamaño das follas de papel da norma DIN, ou incluso co contido dun capítulo completo dos Bocados adicado ás chamadas matemáticas do reloxo, a aritmética modular que trata os segredos do NIF, o IBAN, o ISBN ou os sistemas de encriptación.

O propio Paulo repasaría os aspectos máis importantes de moitos dos bocados do seu libro. Tamén comentaría que todo comezara da lectura doutros libros divulgativos, dos que foi tomando notas para uso persoal. Só cando tivo unha boa cantidade acumulada decidiu dar o paso de expurgar, organizar e reelaborar o que acabaría sendo o contido dos Bocados matemáticos.

Para finalizar non resisto comentar unha impresión persoal que me asaltou cando lin o libro. Un dos capítulos está adicado aos paradoxos. Alegroume moito esta escolla porque o primeiro libro de divulgación científica que lin foi precisamente ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar, de Martin Gardner nesa marabillosa edición de Labor do ano 1983. E por que paradoxos? Unha das características máis ligadas á esencia das matemáticas é o ben construídas que están. Na matemática todo funciona de forma excepcionalmente coherente. É o que en lóxica se chama consistencia. Ata onde Gödel nos permite, as matemáticas conforman unha excepcional maquinaria perfectamente engraxada, sen contradicións. Por iso mostrar un paradoxo dentro do ámbito das matemáticas chama moito máis a atención que en calquera outro campo. Os paradoxos matemáticos enganchan porque sentimos unha necesidade perentoria de desfacernos deles. Aí reside o acerto de Paulo en escoller este tema como o fío condutor dun dos capítulos dos Bocados. 

Ademais das miñas teimas, comentei catro aspectos dun libro que agardo lle abran o apetito a quen pase os ollos por estas liñas. O bo é que quen lea o libro non vai empachar, quedará con gañas de máis bocados de matemáticas.