Desigualdade explicada ou non

Velaquí unha cadea de desigualdades ben coñecida. Trátase agora de identificar cal é o significado da mesma.
Partimos dun par de números distintos. Chamámoslle a ao maior e b ao menor. Sobre unha recta marcamos estas distancias AO=a e BO=b. Sexa M o punto medio de A e B, que será centro da circunferencia de raio MB. Sexa MO=m
Trazamos MQ, ortogonal a AB. Trazamos QO=q.
Trazamos a recta tanxente á circunferencia pasando por O: XO=x. Desde o punto X trazamos unha perpendicular a AB no punto H. Sexa HO=h.

Tendo en conta que os catetos son menores que as hipotenusas temos, xa que logo, as prometida desigualdades:

   q>m>x>h

Pois ben, quen pode identificar estas famosa desigualdades? Creo que xa din bastantes pistas.

Resolvendo ecuacións de segundo grao con René Descartes

Recordo que o temario de oposicións ao que tiven que preparar constaba de 85 temas. Durante varios meses fun preparando moitos deles, ata que me fartei. Debía ter uns 60 preparados, e botando unhas poucas contas, parecía un esforzo inútil seguir preparando temas e temas tendo presente cal era o sistema á hora de escoller un para a chamada encerrona.
Escollíanse ao chou 3 temas dos que o opositor podía preparar un á súa elección. Polo tanto, con 60 temas na faltriqueira, a probabilidade de que ao sacar 3 polo menos un deles fose un dos preparados sería $$1-\frac { \left( \begin{matrix} 25 \\ 3 \end{matrix} \right) }{ \left( \begin{matrix} 85 \\ 3 \end{matrix} \right) } =1-\frac { 25\cdot 24\cdot 23 }{ 85\cdot 84\cdot 83 } =1-0.0233=0.9767$$
Con prácticamente un 98% de probabilidades de que no sorteo da encerrona me tocara un tema preparado adiqueime, por fin, a gozar das matemáticas. Nos meses anteriores á oposición metéralle o dente a algúns libros sobre a historia das matemáticas. Recordo que foi daquela cando lera a Historia de la matemática de Carl B. Boyer,  El fracaso de la matemática moderna, de Morris Kline ou Ideas de espacio, de Jeremy Gray. Isto permitiume preparar a conciencia unha terna de temas máis, un sobre a historia da álxebra, outro sobre a da xeometría e un outro sobre o desenvolvemento da lóxica e a crise de fundamentos.
O día da proba era un 26 de decembro. Moi cedo pola mañán, preséntome ante o tribunal. Teño que meter a man nunha bolsa que contiña 85 boliñas, cada unha correspondente a un tema. Saco a primeira con bastante mala sorte, pois era dun dos temas que non preparara. Ao sacar a segunda non podo crer na miña mala sorte. Tampouco correspondía aos meus temas. Aínda que continuaba habendo moitas máis posibilidades de escoller unha bóla das boas, xa non podía sentir outra cousa que unha enorme anguria. Tiña que sacar unha terceira bóla. A última correspondíase co tema de historia da álxebra. Nun intre a miña desesperación convertérase por completo en ledicia.
Da exposición que fixen recordo sobre todo un aspecto que escollera porque era presumiblemente trasladable á aula. Trataba sobre a ecuación de segundo grao, que aparece obsesivamente, explícita ou implícitamente, por todo o currículo de secundaria. Un momento crucial no desenvolvemento da álxebra foi a publicación da Xeometría de Descartes. Neste libro ofrécese unha desas grandes ideas da historia das matemáticas, coñecida hoxe como xeometría analítica.
Ata ese momento a matemática tiña dúas grandes ramas, independentes e ben diferenciadas. Unha delas era a xeometría clásica, herdada dos gregos. A outra era a álxebra retórica árabe que foi evolucionando durante a Idade Media de man dos cousistas a unha álxebra sincopada. Descartes mostra que álxebra e xeometría están vencelladas por medio da xeometría analítica. Como comprobación da potencia desta nova forma de entender as matemáticas resolve un problema con trece séculos de antigüidade, o problema de Pappus, que pode enunciarse así: dadas catro rectas r₁, r₂, r₃, r₄ e catro ángulos trátase de encontrar o lugar xeométrico de cada un dos puntos tales que o produto das distancias desde eses puntos a r₁ e r₂  é igual ao produto das distancias a  r₃ e r₄ . Este problema, xeneralizado a n rectas, é o que resolve Descartes para dar mostra da potencia do seu método. Pero antes de estudar este problema Descartes trata a cuestión da resolución das ecuacións de segundo grao como primeira aproximación ao seu método, un método que explica así:

inicialmente debe supoñerse efectuada a resolución, dando nome a todas a liñas que se estime necesarias para a súa construción, tanto as que son descoñecidas como as que son coecidas. De seguido, sen establecer distinción entre as las coñecidas e as descoñecidas, debemos descifrar o problema [...] ata que se identifique un medio de expresar unha mesma cantidade de dúas formas [...]. Deben acharse tantas ecuacións como liñas descoñecidas se supuxeron.

A resolución das ecuacións de 2º grao na Xeometría de Descartes
Nos libros de texto preséntase normalmente un tema sobre polinomios ou expresións alxébricas que consiste no traballo no desenvolvemento de destrezas alxébricas descontextualizadas. Quizais haxa que facer algo dese labor, pero creo que convén que sexa o mínimo posible. Pola contra non han de faltar ocasións nas que haxa que remexer coas expresións alxébrica. Aquí vai un exemplo, que espero que sexa algo máis que iso.
Para achegarnos ao que nos propón Descartes nas primeiras páxinas da Xeometría, partamos da forma xeral dunha ecuación de 2º grao. $$a{ x }^{ 2 }+bx+c=0$$
Sempre podemos reducir a ecuación a outra que teña a unidade como coeficiente do termo cadrático. Basta con dividir por a:
$${ x }^{ 2 }+\frac { b }{ a } x+\frac { c }{ a } =0$$
En 3º da ESO trátase a relación da suma (S) e o produto (P) das dúas solucións (x₁ e x₂ ) desta ecuación cos seus coeficientes:
$${ x }^{ 2 }+\frac { b }{ a } x+\frac { c }{ a } =(x-{ x }_{ 1 })\cdot (x-{ x }_{ 2 })={ x }^{ 2 }-({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 })x+({ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 })={ x }^{ 2 }-Sx+P=0$$
Tomando s e p como os valores absolutos de S e P respectivamente chegamos á forma en que Descartes nos presenta a ecuación de segundo grao.
Como os coeficientes poden tomar signos positivos ou negativos, entón teremos estas catro posibilidades:
$${ x }^{ 2 }\pm sx\pm p=0$$

Esquema da Xeometría de Descartes

Estudemos o caso no que os dous signos son negativos: $${ x }^{ 2 }-sx-p=0$$
Tracemos unha circunferencia  LOP de diámetro s. Nun punto da mesma trazamos un segmento tanxente LM que teña como lonxitude a raiz cadrada de p. A recta NM cortará á circunferencia en dous puntos O e P.
A solución da ecuación é OM. Trataríase de que co esquema que aquí se reproduce o alumnado verificase alxébricamente que estamos no certo.
[Nota: pódese xogar coa aplicación introducindo outros valores para s e p]



Consideremos agora o caso: $${ x }^{ 2 }+sx-p=0$$
Sobre o mesmo esquema de antes agora a solución que nos ofrece Descartes é o segmento PM. Non é nada dificil, sobre todo despois de feito o apartado anterior, de comprobar alxébricamente que a lonxitude PM é solución da ecuación.




O último caso estudado por Descartes é $${ x }^{ 2 }-sx+p=0$$
Agora o esquema é algo distinto. Comenzamos coma antes, debuxando a mesma circunferencia e o mesmo segmento tanxente. Pero desde M trazamos unha perpendicular cortando á circunferencia en dous puntos Q e R e determinándose así dúas solucións QM e RM. Tamén se trataría de propoñer ao alumnado a verificación de que estas liñas resolven a ecuación.

 

extracto da Xeometría de Descartes

Descartes non indica nada sobre a suma e o produto das solucións. Se aquí o escribín desta maneira foi porque ao rematar este traballo pódese comentar como as solucións poden obterse como combinación de sumas, produtos ou radicais cadrados de S e P. Apuntamos así na dirección en que houbo que traballar para dar resposta a un dos máis importantes problemas das matemáticas, o da resolución das ecuacións polinómicas.
Este tratado de Descartes é plenamente moderno desde o punto de vista notacional. Foi Descartes quen puxo de moda escribir as incógnitas coas últimas letras do abecedario e reservar as primeiras para os coeficientes. De lermos hoxe a Xeometría non teriamos dificultade algunha por mor da notación. No extracto comentado aquí a única diferenza é o símbolo da igualdade (unha especie de 8 deitado) e que en ocasións, no canto de escribir b², escribe b∙b.
Estas tres aplicacións poden usarse para  resolver ecuacións cadráticas sen ter que botar man da fórmula. Por outra banda, non están esgotadas as cuestións que se poden traballar. Por exemplo, no último caso, que pasa se o segmento LM > LN?, e se é igual?
Podemos chamar a atención pola descomposición do problema en tres casos. É o prezo que hai que pagar por facer un tratamento xeométrico do mesmo. Isto era o habitual nos tratados da época, tanto por esta razón como pola aversión ao uso de cantidades negativas. Neste texto xa se empregan con naturalidade os negativos, ademais Descartes ofrécenos as versións alxébricas das solucións de cada un dos casos que, por teren unha forma tan semellante, están a un paso dun tratamento puramente alxébirco e unificador.
Unha última cuestión. Antes apuntaramos que a presentación que facía Descartes permitiría estudar catro casos, e só se fixo o de tres. Que pasa co outro?

Problemas de Alcuíno

Portada do libro

Se traio ata aquí a referencia a este libro de Alcuíno de York, Problemas para la instrucción de los jóvenes (Nivola 2016), é, entre outras razóns, porque o autor da tradución, Ricardo Moreno, foi profesor meu nos tempos nos que cursei o bacharelato. En boa medida el foi o culopable de que eu acabase sendo profesor de matemáticas. Precisamente polas necesidades deste oficio teño repasado en moitas ocasións como eran as súas clases.
Daquela (anos 80) os grupos eran de 40 alumnos. Ricardo Moreno tiña unha técnica ben curiosa para expurgar o barullo: falaba moi baixo e nunca, baixo ningunha circunstancia, levantaba a voz. Sorprendentemente funcionáballe. Na exposición era claro e preciso, tanto, que se alguén lle preguntaba calquera punto escuro, non achaba mellor resposta que repetir o que xa dixera. Sorprendentemente funcionáballe.
Explicaba o esencial, ofrecía uns apuntes podados de todo o superfluo. Propoñía poucos exercicios, pola contra, moi raramente había dous iguais. Dito doutro xeito, procuraba que cada exercicio tivese un pequeno reto que superar. Isto, que é fácil de propoñer pero difícil de levalo a cabo, penso que é unha práctica a seguir. Os exames eran curtos e daba tempo de sobra para facelos. Recordo que, se non te liabas, sobraba a metade da clase para facelos. Na revista do instituto recompilaban frases célebres atribuídas aos profesores. A del era "iso é como matar un mosquito a *cañonazos"

Alcuíno de York (circa 736-804), esudou na escola benedictina de York. Carlomagno chamouno para formar parte da súa corte en Aquisgrán. A edición de Problemas para la instrucción de los jóvenes é a tradución dun manuscrito en escritura calorinxia do século X procedente dun códice conservado en Karlsruhe. Nas páxinas pares podemos ver unha reprodución do manuscrito e nas impares a súa tradución. Este mesmo tipo de edición, visualmente preciosa, xa o repetiu R8icardo Moreno noutros libros desta mesma colección: Compendio del arte del cálculo, atribuído a Ibn al Sahm, El libro del Álgebra de Mohammed ibn-Musa al-Jwarizmi e  El libro de las aves o Libro de curiosidades aritméticas, de Abu Kamil.
O libro consta dunha colección de 52 problemas coas súas solucións, pero normalmente sen a explicación de como se obtiveron. Preséntase como mostra do estado da matemática en Occidente antes do contacto co saber árabe. Fixen unha escolma de catro deses problemas. Os dous primeiros escollinos para propoñelos na clase. Xa o fixen co número 47 nun grupo de Matemáticas Aplicadas ás CC.SS. I, e foi un fracaso. Habia un nivel de bloqueo tal, que sen o dato que faltaba, corría o perigo de que se confirmaran na idea preconcibida de que as matemáticas teñen cara de monstro.

47. Problema dun bispo que mandou repartir 12 pans. Un certo bispo mandou dividir 12 pans entre o clero. Estipulou que cada sacerdote recibira dous pans, cada diácono medio, e cada lector un cuarto. Sucedía ademais que o número de clérigos era o mesmo có de pans. Diga quen queira: cantos sacerdotes, diáconos e lectores había?

Ao seguinte, igual có anterior, tamén lle faltan datos. Porén, se o anterior se podía resolver tendo en conta que o resultado tiña que escollerse entre un pequena cantidade de números naturais, non é éste o caso deste outro:

23. Problema dun campo cuadrangular. Un campo cuadrangular ten un lado que mide 30 pértigas, outro 32, o posto 34, e o que falta 32. Diga quen poida: cantos arpendes están contidos neste campo?

Resultoume moi divertido bater o seguinte enunciado nun texto do século VIII, sobre todo porque nos leva á apócrifa (aínda que fermosa) historia da suma dos cen primeiros números naturais por parte dun rapaciño chamado Karl Friederich Gauss. Neste caso Alcuíno si que ofrece a explicación do resultado, e faino ao xeito de como se di que fixo Gauss na súa infancia.

42. Problema dunha escaleira con cen chanzos. Unha escaleira ten 100 chanzos. No primeiro estaba unha pomba, no segundo dúas, no terceiro tres, no cuarto 4, no quinto 5, e así en todos os chanzos ata o cen. Diga quen poida: cantas pombas había en total?

Por último, un problema que ten toda a pinta de ser un deses moitos que aparecen nos temas de álxebra dos libros de texto. O certo é que para dar unha solución non se precisa botar man de ningunha incógnita; basta con pensar un pouco. Pero se o que se pretende é facer un estudo de todas as posibles solucións (enteiras)..., ben isto xa dá para algo de álxebra e un bo rato de entretemento.

12. Problema dun pai e o os seus tres fillos. Un certo pai de familia, ao morrer, deixou aos seus tres fillos unha herdanza de 30 botellas de vidro, dez delas estaban completamente cheas de aceite. Outras dez mediadas. As últimas dez baleiras. Divida quen poida, aceite e botellas, de tal modo que cada un dos tres fillos obteña o mesmo, tanto de vidro como de aceite.

Entendo que este libro se podería tomar como un libro de texto da época. Pregúntome o que se avanzou nestes doce séculos.

Congreso, xeometria e finalmente cine

Elena V. A. antes de cortar o cogombro

Comentaba estes días cunha compañeira que había moito que non asistía aos congresos de AGAPEMA e notaba como se estaba oxidando. Pola contra, cada vez que acudía, chegaba con algo novo para levar á aula.
Xa vai alá máis dun mes desde que se celebrou o VII congreso polo que conviña non tardar máis en facer referencia del, aínda que só sexa, como é o caso, de comentar únicamente ás conferencias plenarias.
O congreso botou a andar coa conferencia de Elena Vázquez Abal, "A xeometría de verdade ten curvatura". Polo menos unha charla semellante xa a escoitara noutra ocasión, pero desta vez estaba mellorada. O seu obxectivo, plenamente conseguido, era o de explicar ao non versado nas matemáticas, os fundamentos da xeometría diferencial. O momento culminante foi o do corte do cogombro. Concluín que era fundamental o uso desta planta para introducir o teorema egrexio de Gauss. Supoño que a partir de agora os departamentos de xeometría farán coincidir a explicación deste teorema co da recollida do cogombro.
Se estes foron os comenzos, debo confesar que non estaba moi convencido de ter un final á mesma altura. Eu son moi desconfiado cando vexo as matemáticas emparelladas con outras artes (matemáticas e literatura, matemáticas e música, ou como era o caso, matemátcas e cine) porque é moi fácil deixarse levar polo obvio e acabar vendendo unha trapallada con envoltura de ouro. Non foi o caso. A conferencia de clausura "Cine e teleseries en clase de Matemáticas" foi realmente entretida e divertida. Os aspectos que destacaría é a orde e claridade con que a levou o autor, José María Sorando, así como a súa grandiosa declaración de humildade. As súas palabras foron algo así como que os cortes cinematográficos que tanto traballo lle levou recompilar  pode que lle sirvan a alguén para darlle unha picelada a algunha aula.
No portal de José María Sorando podemos acceder a unha enorme colección de películas reseñadas. Fálasenos do argumento da película pero tamén dos aspectos matemáticos da mesma, e en moitos casos achamos entradas que van máis alá.
Hai outras formas de ligar as matemáticas co cine. Jack Nugent ten unha canle, Now you see it, na que sube vídeos nos que analiza algún tópico cinematográfico. Ten un adicado á análise de como as figuras xeométricas teñen un significado dentro da narrativa audiovisual. Os personaxes malvados reforzan esta característica cando se  nos presentan con narices e orellas puntiagudos e dedos longos; os triángulos acutángulos son as formas predominantes. Os círculos e as formas redondeadas consolidan as características de bondade. Un caso paradigmático é o de Mickey Mouse. Os cadrados e rectángulos indican rixidez, lentitude ou fortaleza e cando un personaxe aparece enmarcado nun rectángulo o director está transmitindo que está preso. O encuadramento circular indica vixiancia ou espionaxe. E se a imaxe está determinada por paralelas ou por liñas converxentes,... o mellor é ver o vídeo no que se explica todo isto.

Aproveito para darlle os parabéns aos organizadores do congreso de AGAPEMA. 

Entrevista a Helfgott en Efervescencia

Non é nada fácil facer divulgación científica e facelo ben. Se ademais o medio é o radiofónico a tarefa parece imposible pois a súa inmediatez pode levar a deixarse levar pola trapallada ou ben polo seu contrario, a pedantería. Manter o equilibrio é o que fan todas as semanas no programa Efervescencia da Radio Galega, os domingos de 15:00 a 16:00, desde o meu punto de vista, un horario horrible. En todo caso a Radio Galega faría ben en repetir o programa noutra franxa (idea de balde).
Como non podo escoitar o programa, algunhas veces poño o podcast como "música de fondo" no computador, aínda que para buscar algún contido que me interese prefiro facelo na canle de ivoox. Como exemplo do bo labor do equipo deste programa achego esta entrevista a Harald Andrés Helfgott, o matemático peruano que demostrou a conxectura débil de Goldbach.
Para introducir o tema: todo comenzou cunha carta que Christian Goldbach lle enviou a Leonard Euler [e 1] alá polo 1742 na que se propuxo o que sería coñecida como conxectura de Goldbach:

Todo número par maior que dous pode escribirse como suma de dous primos

Supoñamos que fose certa. Sexa n≥5, entón n-3≥2, polo que n-3 sería suma de dous primos: n-3=p+q,
Entón n= 3+p+q , isto é: o propio número n sería suma de tres primos. Así deducimos a conxectura débil de Goldbach:

Todo número impar maior que 5 é suma de tres primos

Polo tanto, se esta última conxectura fose falsa, tamén o sería a primeira. Pero resulta a conxectura débil foi demostrada polo peruano Helfgott  no ano 2013, así que a conxectura de Goldbach continúa no limbo da indeterminación no relativo ao seu valor de verdade.
Velaquí a conversa que  Efervescencia mantivo con Helfgott na que falaron de cousas como a análise de Fourier, a hipótese de Riemann ou do galego como lingua acaída para as matemáticas, por moito que algúns se empeñen no contrario.



Para profundizar, no blogue Gaussianos hai varias entradas sobre o tema.  

A perda da escuridade

 

No Sermos 214 inclúese un A Fondo adicado á contaminación luminosa coordinado pola Agrupación Astronómica Ío e na que atopamos aportacións de Juan Antonio Alducin, Salva Bará, Marcos Pérez, Martin Pawley e un impagable artigo de Xabier P. Docampo. A desaparición dos vagalumes. Este especial coincidu coa publicación na canle de Youtube da International Dark-Sky Association da versión galega do documental de 6 minutos A perda da escuridade. A trdución foi realizada por Salva Bará (USC) e Martin Pawley e contaron coa voz da locutora Belén Regueira. Deste xeito o galego súmase ás outras 17 linguas nas que se divulga este vídeo. Hai un ano que o parlamento aprobara unánimemente unha declaración institucional en defensa do ceo nocturno, declaración que nunca foi máis alá. Debería ser a base para o establecemento dun protocolo de actuación de redución da emisión de fontes de luz artificial innecesarias que establecese as pautas polas que se deberían guiar as administracións neste ámbito. Algunhas recomendacións témolas na seguinte presentación.

Introdución á contaminación luminosa from Agrupación Astronómica Coruñesa Ío

Pódese consultar tamén o blogue da asociación Calidade do ceo

Matemáticas escritas en arxila

Nunha entrada anterior comentaba que os meus profesores de matemáticas foran mellores que os que tiven de física e seguramente isto deixou unha pequena pegada en que lle collera máis gusto á prmerira materia en detrimento da segunda. Con todo había algo que aqueles meus profesores de física facían mellor cós de matemáticas (e penso que isto pode xeneralizarse ao conxunto deste dous colectivos). Trátase da contextualzación histórica do que se trata na aula. O profesorado de física nunca deixa de nomear a Newton, Faraday, Maxwell e moitos outros, porén no gremio dos de matemáticas parece como se todo saíse do Libro Sagrado, cando nalgunhas ocasións o máis importante quizais sexa o trasfondo histórico.
Ao traballar a resolución de sistema de ecuacións non lineares (4º ESO) sempre propoño o seguinte problema que, segundo Rey Pastor e Babini, no libro Historia de la matemática, procede dunha taboiña de arxila babilónica:

Longo e largo. Multipliquei longo por largo e obtiven a área. Engadin á área o exceso de longo sobre largo: 183. Ademais sumei longo e largo: 27. Pídese longo e largo.

O problema non é especialmente orixinal. Nun principio poderiamos dicir que os libros de texto están cheos de problemas semellantes (ben, aínda que case todos os sistemas que presentan son simétricos: poderían intercambiarse as incógnitas e o sistema ficaría idéntico). Porén, non se pode negar que non ten o seu punto resolver unproblema que ten máis de 3600 anos, tan antigo que viña escrito en pedra. Ademais temos o valor engadido de podermos falar das razóns polas que aínda hoxe partimos a circunferencia en 360º, ou do sistema de numeración sexaxesimal, das vantaxes da notación posicional, pódemos facer prácticas operando coa notación babilónica, resaltar a importancia do cero ou tratar do chauvinismo eurocentrista cando se trata de relatar a historia das matemáticas, ou de calquera outra historia. Mesmo dá para comentar a situación social e política actual de Siria, Iraq ou Irán.

Imaxe da MLC 1950
 sacada de aquí

Nestes días batín con outro problema procedente da matemática babilónca. O certo é que xa o vira referenciado neste artigo do nº 58 de SUMA, pero como alí non se daba o enunciado completo pasáraseme desapercibido.
O problema aparece na taboiña MLC 1950 recollida nas excavacións de Uruk (MLC fai referencia á Morgan Library Collection da Universidade de Yale, que é onde se encontra). A súa recuperación para o mundo das matemáticas débese, como non, a Otto Neugebauer.
Recollo o enunciado do curioso libro de Roger Caratini, Los matemáticos de Babilonia. O de curioso vén porque é un ataque furibundo aos exiptólogos. Caratini defende que "en materia de xeometría os antigos exípcios non foron outra cousa que agrimensores e, en materia da ciencia dos números, o seu saber [...] era o de simples contables". Nestes tempos no que se impón unha aburrida redacción do políticamente correcto é moi de agradecer que se expresen opinións con esta claridade... aínda que este autor, fundamente esta tese na insistencia de que chegaron a nós decenas de miles de taboiñas sumerias con contido matemático fronte ás "escasas e decepcionantes" fontes exipcias: catro, e só "catro desgraciados papiros". O que non conta Caratini é que a conservación do papiro exípcio non é comparable á das taboíñas de arxila babilónicas. Estas opinións contrastan frontalmente coas de Gheverghese Joseph, quen na obra La cresta del pavo real afirma que as características xeográficas do Nilo

converteron a civilización exipcia nunha das máis agradables e pacíficas do mundo antigo. Isto contrastou agudamente cos seus veciños mesopotámicos, quen non só tiveron que loitar cun ambiente natural máis duro, senón que con frecuencia víronse ameazados dos invasores procedentes das terras da contorna

MLC 1950
Despois desta breve introdución, paso a expoñer o enunciado do problema da taboíña MLC 1950:
Trátase de calcular as lonxitudes de b e b' sabendo que h=AD=20, h'=DB=30 e a área do trapecio ADEC é 320:

Escondín aquí abaixo a solución que dá o escriba de Uruk pois sempre convén pensar antes en acharmos nós a solución.