Esopías 2015

Se o ano pasado facíamos unha publicación dixital de 22 esopías, este ano achegamos unha escolma doutras 37. E iso que só estan recollidas as que máis lle gustaron ao xurado entre as participantes no II Concurso de Esopías que o ENDL do IES Pintor Colmeiro (Silleda) convocou este curso. Como novidade, nesta ocasión contamos coa colaboración do Departamento de Plástica coas ilustracións que fixeron alumnos de 3º da ESO Entre as creacións aquí recollidas está a que obtivo o premio do 2º ciclo da ESO e Bacharelato do III Concurso de Esopías celebrado na IX Feira Matemática Por se alguén non o recorda, unha esopía é un relato, comentario ou poema, cun máximo de 140 carácteres (tweet), onde cada palabra leva un número de letras igual ás sucesivas cifras do número π.

Triángulo (re)dobrado

Acabo de ver no blogue Matemáticas na Rúa o seguinte problema e que recolleu á súa vez de Five triangles e quíxenlle responder ao reto porque  xusto despois de velo tiven que estar un tempo no parque mentres o neno xogaba cos amigos,.. e eu non tiña nada mellor que facer nese momento. Lembro o problema:

Imaxe de Five Trigangles

A figura ABC é un triángulo rectángulo isóscele con catetos que miden 4 cm. O punto B é dobrado sobre PQ de tal xeito que cae enriba do punto D do lado AC que cumpre que AD=3 cm. Determina a lonxitude do segmento PQ.

Partíremos de que os puntos P e Q teñen están na recta dos puntos equidistantes a B e D. Pareceume que a mellor forma de obter esa recta era botando man da xeometría analítica, así que se tomamos o punto B como a orixe de coordenadas, eis que A=(0,4) e D=(3,4). Como se observará, a figura queda xirada 45º respecto da orixinal:

A ecuación da recta PQ como a dos puntos (x,y) equidistantes a B(0,0) e D(3,4):

$${ \left( x-3 \right)  }^{ 2 }+{ \left( y-4 \right)  }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }$$

Simprificando obtemos a ecuación da recta r:

$$6x+8y-25=0$$

Se intersecamos esta recta co eixo das ordenadas, x=0:
$$\begin{cases} 6x+8y-25=0 \\ x=0 \end{cases} $$
Obtemos como solución o punto $$P=\left( 0,\frac { 25 }{ 8 }  \right) $$
E ao cortar a recta PQ coa recta que une os puntos B e C, a recta y=x:
$$\begin{cases} 6x+8y-25=0 \\ y=x \end{cases}$$
Teremos como solución o punto Q:
$$Q=\left( \frac { 25 }{ 14 } ,\frac { 25 }{ 14 }  \right) $$
Só falta calcular a distancia entre os puntos P e Q:
$${ PQ }^{ 2 }={ \left( \frac { 25 }{ 14 } -0 \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 25 }{ 14 } -\frac { 25 }{ 8 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 625 }{ 196 } +{ \left( \frac { -75 }{ 56 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 625 }{ 196 } +\frac { 5625 }{ 3136 } =\frac { 15625 }{ 3136 } $$
Polo que:
$$PQ=\sqrt { \frac { 15625 }{ 3136 }  } =\frac { 125 }{ 56 } $$
E a un, aínda que o teña visto centos de veces, o que non deixa de sorprendelo é que usando métodos tan distintos, J.J. Rodríguez e a min nos dea o mesmo. Aquí reside unha das características máis fermosas da matemáticas.

A unidade didáctica 'María Wonenburger. Unha científica adiantada ao seu tempo'

O segundo que me chamou a atención cando nos chegou ao Departamento de Matemáticas un sobre con varios exemplares da unidade didáctica, María Wonenburger. Unha científica adiantada ao seu tempo, foi que viñese redactada en galego. Si, unha unidade didáctica de matemáticas en galego editada por esa mesma  Xunta que prohíbe impartir clases de matemáticas en galego. Que foi, xa que logo, o primeiro que me chamara a tención? Pois cando vin o libriño da unidade didáctica recordei a noticia da súa publicación no portal da Xunta e o extraña que me parecera a súa redacción. Alí facíase referencia ao vicepresidente da Xunta, Alfonso Rueda, á secretaria xeral da Igualdade, Susana López Abella, á delegada territorial da Xunta na Coruña, Belén Do Campo, e ao todavía alcalde da cidade na que se facía a presentación, Carlos Negreira. Pero o raro era que por ningunha parte aparecían o nome das autoras do traballo que se presentaba; estamos ante unha evidencia de ata que punto chega o desprezo polo traballo na educación. Elas, as autoras de  María Wonenburger. Unha científica adiantada ao seu tempo, son María José Souto Salorio e Ana Dorotea Tarrío Tobar, profesoras de matemáticas na UDC. Sempre é de agradecer que desde o mundo universitario se mostre este interese pola educación nos outros niveis do ensino, aínda máis, como é o caso, cando deste interese poucas veces temos mostras. Estas dúas profesoras non poden ser descoñecidas para quen se teña ocupado algunha vez por M. Wonenburger Planells. Como proba, basta ver esta escolma de traballos sobre a alxebrista coruñesa:

• Wonenburger Planells, María Josefa. SOUTO SALORIO,  María José e TARRÍO TOBAR, Ana Dorotea.  Biografías de matemáticos españoles. Divulgamat. [web]. Artigo biográfico dun portal de matemáticas
• María Josefa Wonenburger Planells: mujer y matemática. SOUTO SALORIO, M.ª J., TARRÍO TOBAR, A. D.: “, La Gaceta de la Real Sociedad Matematica Española, v. 9, n.º 2 (2006), p. 339-364. [pdf]  [scribd]
• Discurso no recoñecemento-homenaxe da Unidade Muller e Ciencia á matemática coruñesa María Josefa Wonenburger Planells. TARRÍO TOBAR, A. D., 2006 [pdf]
• Unha científica pioneira: María Josefa Wonenburger Planells. SOUTO SALORIO, María José e TARRÍO TOBAR, Ana Dorotea . reNOVA GALIZA. Caderno de pensamento cívico. Monográfico nº3 (xullo 2008). A diáspora científica galega.  p. 23 [pdf]
• María Wonenburger Planells na creación do coñecemento. As irmás de Hipatia. TARRÍO TOBAR, Ana D; RIOS FACHAL, Matilde; RODRÍGUEZ RAPOSO, Ana B. ; CRUJEIRAS CASAIS, Rosa M. ; VÁZQUEZ , artigo na revista Gamma, nº 9 [pdf]
• María Josefa Wonenburger Planells. Matemática que creou unha escola internacional de Álxebra. SOUTO SALORIO, María José e TARRÍO TOBAR, Ana Dorotea Artigo biográfico no Álbum da Ciencia, un proxecto do Consello da Cultura Galega [web]

A unidade didáctica 'María Wonenburger. Unha científica adiantada ao seu tempo' A unidade didáctica, con respecto a estas outras publicacións das mesmas autoras, ten como novidade un enfoque escolar para o alumnado da ESO. Contén diversos exercicios do currículo de matemáticas desta etapa que, dalgunha maneira, se poñen en relación coa figura de María Wonenburger. Estes exercicios non son nada novidosos, podemos ver moitos do mesmo estilo en calquera libro de texto, pero onde se acerta plenamente é en comunicar unha idea fundamental: que cando se ensina matemáticas tamén se están a ensinar outras cousas. O obxectivo principal da unidade consiste en divulgar e facer ver as dificultades que tivo que superar unha muller nacida en Oleiros no 1927, que viu como o seu título de doctora non lle era recoñecido en España, e todo isto sí que aparece ben claro entre as páxinas da publicación. Poñer en evidencia as desigualdades de xénero e establecer á figura da profesora Wonenburger como un exemplo de adicación ao traballo na investigación das matemáticas a pesar de todos os condicionantes é o principal valor da unidade didáctica. As fotos, os debuxos, a presentación do texto, e a edición en xeral de María Wonenburger. Unha científica adiantada ao seu tempo, está moi coidada e vén presentada nun papel de boa calidade. O normal sería que traballos como o desta unidade didáctica poideran ser divulgados e descargados desde un portal no web da Consellería de Educación, ao estilo do Creamat catalán. É seguro que imprimir e enviar esta unidade didáctica a todos os centros de secundaria é moito máis caro que habilitar un portal deste tipo, claro que isto non facilitaría que se puideran redactar noticias como ésta. Máis neste blogue: Quen é María Wonenburger? II Día da Ciencia en Galego: María Wonenburger

Hypatiamat

Desafortunadamente os que impartimos clases de matemáticas puidemos comprobar como nos últimos anos vimos sufrindo unha falta de recursos ofertados desde as institucións educativas. En Galicia houbo sempre pouca oferta. O camiño comenzara a abrirse a principios deste século foi aniquilado a partir do ano 2010. Quedaba aínda o MEC, pero a política educativa dos últimos anos consistiu no abandono de todos os proxectos educativos gratuitos e promovidos desde as institucións públicas para apostar polos recursos educativos de pago. Baixo a epígrafe de "Mochila Dixital" ou "Edixgal" está a facerse unha aposta que exclúe a elaboración desde un laboratorio didáctico público xa que isto non favorece o substancioso negocio dos materiais escolares.
Ata o momento había espazo para as editoriais pero existían tamén moitos proxectos sustentados desde a iniciativa pública que eran realmente gorentosos para a posta en fucionamento nas aulas. Poño como exemplo o Proxecto Descartes que foi completamente abandonado polo Ministerio de Educación e do que agora só queda un desamparado portal con problemas de accesibilidade aos seus recursos. Aínda bo é que os que sustentaban o proxecto seguen a mantelo actualizado, renovado e de libre acceso tan e como podemos comprobar na súa nova dirección.
As razóns aquí expostas fan que teñamos que buscar outras xanelas que nos fornezan de recursos educativos para a aula de matemáticas. Tendo en conta a proximidade da nosa lingua co portugués non é mala idea ir pescar nos países desta fala. Neste caso basta con cruzar o Miño para atoparmos unha boa fardela. O seu nome, Hypatiamat.

Hypatiamat
Para enfrontarse ao problema do fracaso escolar das matemáticas en Portugal, o Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra en colaboración co Grupo Universitário de Investigação em Autorregulação da Escola de Psicologia da Universidade do Minho. O proxecto consiste na utilización de aplicacións interactivas para contribuir á aprendizaxe das matemáticas para alumnos de 5º ano (5º primaria) a 9º ano (3º ESO). Podemos distinguir cinco ofertas principais:

• Aplicacións interactivas. Consiste nunha colección de unidades didácticas interactivas sobre distintos temas. Fixéronme recordar o excelente material ED@D do Proxecto Descartes.
• Apps para aprender. Podemos atopar aplicacións que nos ensinan a construir triángulos, a aprender o algoritmo de Euclides, a comparar perímetros, a resolver ecuacións,...
• Xogos didácticos. Un apartado fantástico no que temos xogos como o da Torre de Hanoi, o do NIM, o Tangram, o Tetris, ... Un deles é o Ouri, que non é outra cousa que un xogo mancala. No último número da revista Gamma podemos ler un artigo sobre o xogo.
• Resolver cuestións. Portal de exercicios clasificados por temas.
• Xogo para mellorares o cálculo. Trátase dun xogo realmente entretido para practicar o cálculo numérico. Na arañeira da rede podemos atopar moitos que buscan este mesmo obxectivo, mais este ten unha apariencia simple e resulta moi efectivo. Aparécenos unha matriz chea de números, un reloxo, un resultado e unha operación aritmética. Temos que usar os números da matriz para obter o resultado dado.

No seguinte vídeo podemos facernos unha idea dos contidos de Hypatiamat, pero case o mellor é mergullarse no web e remexer. Alí, tras esta ligazón hai todo un mundo por descubrir cheo de posibilidades para as nosas aulas de matemáticas.

Algúns problemas de Lewis Carrol.2

O mérito do que podedes ver aquí é do traballo realizado polos alumnos de 1º da ESO dirixidos pola súa profesora Norma. Traballaron arreo para decorar o centro.
Houbo unha chea de actividades para  celebrarmos o 150 aniversario da edición de Alicia no país das marabillas. Aquí só vou destacar os retos matemáticos elaborados a partir de propostas de Lewis Carroll. Cada un dos retos estaba presentado por algún dos personaxes do marabilloso mundo de Alicia. Todos, agás o reto 8 que é obra de Sam Loyd, están recollidos de textos de Carroll, especialmente do libro Matemática demente.

Reto 1. A excursión
Dous excursionistas tardan, desde a 3 ata as 9 da tarde, en percorrer un camiño chairo, despois suben ata un outeiro e volven ata o punto de partida. A súavelocidade no camiño chairo era de 4 millas por hora, na subida de 3 e no descenso de 6. Acha a distancia percorrida.

Reto 2.A comida do gobernador de Kgovjni
O gobernador de Kgovjni ofrece unha comida na que invita ao cuñado do pai, aosogro do seuirmán, ao irmán do seu sogro e ao pai do seu cuñado. Acha o número de invitados.

Reto 3.O carteiro da praza 
Unha praza cadrada ten 21 portas en cada un dos seus lados. Están todas numeradas comenzando por unha das esquinas . Un carteiro debe facer entregas nos números 9, 26, 54 e 76. Por cal das catro portas debe comenzar a facer o reparto para percorrer a menor distancia posible?

Reto 4.Viaxeiros a ninguna parte
Dous viaxeiros, partindo a un tempo, percorren en dirección opostas unha vía de tren circular. Os trens saen en ambas dirección (Leste e Oeste) cada cuarto de hora. O tren do Leste dá a volta completa en 3 horas; o do Oeste tarda 2. Cantos trens encontrará cada un dos viaxeiros no seu camiño?

Reto 5.Sacos pesados
Hai cinco sacos: A, B, C, D, E. Os dousprimeiros pesan 12 libras, o B e o C pesan 13 libras e media, o C e o D 11 libras e media, o D e o E, 8 libras. Se os sacos A, C e E pesan 16 libras, canto pesa cada un dos cinco sacos?

Reto 6. Bonecas rotas de Chelsea
O 70% das bonecas de Chelsea perderon un ollo, ao 75% fáltalles una orella, o 80% está sen un brazo e 0 85% sen unha perna. Que porcentaxe, como mínimo está sen os catro elementos?

Reto 7.O xardín de grava
Un xardín rectangular, media iarda máis largo que ancho, consiste únicamente nun sendeiro de grava disposto en espiral. O sendeiro ten unha iarda de ancho e unha lonxitude de 3630 iardas. Acha as dimensións do xardín.

Reto 8. Was it a cat I saw?

A pregunta é: cantos camiños podemos percorrer seguindo a frase: Was it a cat I saw?

Para unha primeira aproximación ao problema podes probar a pintar algúns camiños sobre o seguinte esquema:

Reto 8. Debuxa dun único trazo.
Debuxa a seguinte figura cun único trazo, sen levantar o lápis do papel:

Aínda tiñamos algún reto máis na faltriqueira ao que lle podedes botar o dente:
A merenda
 Un vaso de limonada, 3 sándwiches e 7 bizcoitos custan 14 peniques. Un vaso de limonada, 4 sándwiches e 10 bizcoitos custan 17 peniques. Acha o prezo dun vaso de limonada, un sándwich e un bizcoito.

As idades dos tres fillos
A primeira vez que os vin, dúas das idades daban unha suma igual á terceira. Uns anos máis tarde dúas delas dan o dobre da outra. Cando o número de anos transcorridos desde o primeiro encontró é dous terzos da suma das idades de todos eles nesa ocasión, unha das idades era 21. Cales eran as outras dúas?

Algúns problemas de Lewis Carroll.1

Alicia no país das marabillas cumpriu 150 anos. No instituto aproveitouse a ocasión para facer varias actividades arredor do libro e da figura do seu autor, Charles Lutwidge Dodgson, ou, para quen o prefira,  Lewis Carroll. A última hora min tocoume tamén o tema, desde o reducido punto de vista das matemáticas, claro.
Cóntase que á raíña Vitoria lle gustou moito libro de Alicia, editado no ano 1865 así que lle escribiu ao autor, que era profesor de matemáticas en Oxford, reclamándolle que desde aquela data lle enviara todos os seus libros. Charles Dodgson obedeceu escrupulosamente a petición. Tan pronto como se publicou o seu novo libro no ano 1867, o primeiro que fixo foi enviarllo á raíña. Tratábase do Teoría elemental de determinantes. Parece que non hai constancia dunha nova felicitación real.

Para comenzar, un pequeno e sinxelo problema que Lewis Carroll lle enviou por carta a unha das súas pequenas amigas. Trátase de debuxar a seguinte figura se levantar o lapis do papel:

Velaquí outro moi sinxelo, e que creo que vin por primeira vez referenciado nun libro de Martin Gardner. Temos unha finca cadrada. Nunha esquina está situada unha casa, tamén cadrada. O resto é un xardín. Trátase de dividir o xardín en catro partes iguais.

O terceiro problema é o que ten algo máis de dificultade. Non foi creado por, pero que ten moito que ver con el e co libro de Alicia no país das marabillas. É obra de Sam Loyd, un norteamericano que viviu durante a segunda metade do século XIX, autor de moitos crebacabezas matemáticos. Outra vez debemos facer referencia a Martin Gardner, que foi quen máis fixo por divulgar e reivindicar a obra de Loyd.

Unha das aportacións de Sam Loy máis coñecidas é precisamente o que fai referencia ao libro de L. Carroll. Nunha das aventuras Alicia encóntrase co gato de Cheshire. Sobre este relato Loyd constrúe este palíndromo que multiplica creando un cadrado realmente fantástico:

A pregunta é: cantos camiños podemos percorrer seguindo a frase: Was it a cat I saw?

Para unha primeira aproximación ao problema podes probar a pintar algúns camiños sobre o seguinte esquema:

Cada vez que se me presenta un palíndromo venme á cabeza un poético e fermoso libro de Gonzalo Navaza. O seu título revela ben o seu interior: A torre da derrotA. Trátase dun libro que contén poemas feitos con versos palindrómicos, e incluso poemas palindrómicos. Un dos versos, Luz azuL, pode ser un bo entrenamento para o estudo do problema que nos propuxo Sam Loyd:

O libro de Navaza, visto desde este novo punto de vista, estaría cheo de retos:

 O sono é o nosO

Ouso pisar o mar, amor, así posúO

Velaí que nunca sobre a seguinte recomendación:  Ame o pobo o bo poemA

.................................................................................................................................................. E se despois de entreterse un pouco co problema non se chega a ningures, sempre se pode premer aquí e...

Onde está o centro de Silleda?

Nesta curtade de dous minutos, un grupo de alumnos  de 2º de bacharelato Denise Varela, Sonia Troitiño e Carlos Mato(2º bacharelato) explican o que é o centroide dun polígono e calculan o do concello no que viven: Silleda. É un dos traballos que se presentaron este ano ao concurso Explícoche matemáticas 2.0 (pódense votar as que máis vos gusten) dentro dun programa iniciado pola Comisión de Normalización Lingüística da Facultade de Matemáticas da USC e que agora se organiza en colaboración con EducaBarrié. Outra vez estamos ante a cuestión  das matemáticas en galego, polémica únicamente por culpa do funesto decreto do plurilingüismo, que nesa cruzada antigaleguizadora da Xunta identifica esta materia co castelán. Se visitades a páxina do concurso veredes comprobaredes que Onde está o centro de Silleda? Trátase de resolver o problema de atopar o punto central dunha rexión plana de fronteira irregular como a do Concello de Silleda. Sobra dicir que isto podería facerse con calquera outro concello ou, máis en xeral, con calquera rexión plana. O caso dos polígonos regulares ou dos rectángulos é ben simple pero a pouco que se complique o polígono increméntase moito a dificultade do problema. O centroide debe poder determinarse a partir das coordenadas dos vértices do polígono. Neste traballo aproximouse a fronteira de Silleda mediante un polígono de 597 lados. Sobre este polígono calculouse o centroide sobre un sistema cartesiano  Para obter as coordenadas xeográficas considerarase o centroide como punto de corte de dous segmentos. A liña que vai aproximadamente de norte a sur parte do Río Deza (Pazos) e chega ata a Serra do Candán (Parada). A que a cruza vai dende o Humedal do Lombo da Lagoa (Xestoso) ata o Río Deza (Vilar). Velaí que o punto central do concello de Silleda é unha veiga chamada Pena Vidal, no lugal de Bustelo, na parroquia de Escuadro, apenas a 2700 m do IES Pintor Colmeiro, o centro no que se argallou todo o traballo. Neste mapa pódese ver a súa localización exacta. O punto A indica a localización do insituto e o punto B é o centro de Silleda. A quen lle temos que agradecer esta determinación é ao profesor e compañeiro Xoán Carlos Porral, sen o seu coñecemento da topografía silledense seríanos imposible chegar a ela.