Triángulo (re)dobrado

Acabo de ver no blogue Matemáticas na Rúa o seguinte problema e que recolleu á súa vez de Five triangles e quíxenlle responder ao reto porque  xusto despois de velo tiven que estar un tempo no parque mentres o neno xogaba cos amigos,.. e eu non tiña nada mellor que facer nese momento. Lembro o problema:

Imaxe de Five Trigangles

A figura ABC é un triángulo rectángulo isóscele con catetos que miden 4 cm. O punto B é dobrado sobre PQ de tal xeito que cae enriba do punto D do lado AC que cumpre que AD=3 cm. Determina a lonxitude do segmento PQ.

Partíremos de que os puntos P e Q teñen están na recta dos puntos equidistantes a B e D. Pareceume que a mellor forma de obter esa recta era botando man da xeometría analítica, así que se tomamos o punto B como a orixe de coordenadas, eis que A=(0,4) e D=(3,4). Como se observará, a figura queda xirada 45º respecto da orixinal:

A ecuación da recta PQ como a dos puntos (x,y) equidistantes a B(0,0) e D(3,4):

$${(x-3)}^2+{(y-4)}^2=x^2+y^2$$

Simprificando obtemos a ecuación da recta r:

$$6x+8y-25=0$$

Se intersecamos esta recta co eixo das ordenadas, x=0:
$$\{\begin{array}{l}6x+8y-25=0\\ x=0\end{array}$$
Obtemos como solución o punto $$P=(0,\frac{25}{8})$$
E ao cortar a recta PQ coa recta que une os puntos B e C, a recta y=x:
$$\{\begin{array}{l}6x+8y-25=0\\ y=x\end{array}$$
Teremos como solución o punto Q:
$$Q=(\frac{25}{14},\frac{25}{14})$$
Só falta calcular a distancia entre os puntos P e Q:
$${PQ}^2={(\frac{25}{14}-0)}^2+{(\frac{25}{14}-\frac{25}{8})}^2=\frac{625}{196}+{\left(\frac{-75}{56}\right)}^2=\frac{625}{196}+\frac{5625}{3136}=\frac{15625}{3136}$$
Polo que:
$$PQ=\sqrt{\frac{15625}{3136}}=\frac{125}{56}$$
E a un, aínda que o teña visto centos de veces, o que non deixa de sorprendelo é que usando métodos tan distintos, J.J. Rodríguez e a min nos dea o mesmo. Aquí reside unha das características máis fermosas da matemáticas.