Ano tras ano observaba con envexa como o profesorado de lingua galega recomendaba lecturas ao alumnado. Eu, non podía facer o mesmo se non era traizoando a miña lingua. Por fin, aínda que mínimamente, como lle corresponde a unha lingua minorizada, podo comenzar a facelo.
Ao contrario do que sucede coa contaminación luminosa, que está apagando as estrelas, a colección de Xerais Básicos Ciencia é a única luz nesta escuridade que afecta á normalización dentro divulgación científica.
Nesa colección vén de publicarse Mate-glifos (Xerais 2019), da autoría dos profesores do Departamento de Matemáticas da Universidade de Vigo Nicanor Alonso e Miguel Mirás. O primeiro deles é o autor doutro libro publicado este ano, A lista de Hilbert (UVigo, 2019), un texto que na súa parte principal podía consultarse na Biblioteca Virtual de Literatura Universal en Galego e que agora publicou a Universidade de Vigo con algunha engádega como os Problemas Clay. Nesta mesma biblioteca virtual atopamos unha tradución da que Nicanor Alonso é co-autor, a do Libro I dos Elmentos de Euclides. Por outra banda Miguel Mirás é un dos partícipes nun texto pensado para a docencia universitaria, Matemáticas á Boloñesa (UVigo, 2014) que tivo que ser ser reestruturado para adaptalo ás novas normas e esixencias, dando lugar a, Un mar de matemáticas (UVigo, 2016). Non é Mate-glifos a única colaboración destes dous autores pois xa se xuntaron para ofrecernos Arenarius, a tradución ao galego da obra de Arquímedes. Estamos, polo tanto, fronte a dous autores experimentados e cun aval no ámbito da escritura sobre o coñecemento matemático máis que certificado. Aínda máis, como demostran todas estas referencias anteriores ambos os dous están interesados e comprometidos coa normalización da lingua, valor que os fai merecedores de todo o noso agarimo.
Pero, que son os mate-glifos? Se como resposta ofrecésemos unha outra pregunta: "que son os petróglifos?", de certo que colleríamos o fío de por onde van as cousas. Un glifo, RAG dixit, é "un signo ou debuxo de carácter simbólico empregado en diferentes sistemas de escritura". Velaí que este libro está adicado á escritura dos algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0), mais tamén doutros símbolos matemáticos como o punto ou a coma decimais, as parénteses, corchetes ou chaves como glifos de agrupamento, +, ー, ✕ ou ⋅, ÷ ou a/b, √, ab, r॥ s (r paralela a s), r丄s (r perpendicular a s), ＞, ＜, =, x como incógnita, as abreviaturas trigonométricas sen, cos e tan, log como abreviatura de logaritmo, ∑, Π, f ', ∫, ou os números e, π, i.
Quen propuxo toda esta simboloxía?, cando? cales son as razóns da escolla actual? Nicanor Alonso e Miguel Mirás intentan responder a estas cuestións.Teñamos presente que a resposta nunca é inmediata. Todas as ideas que gardan estes glifos escribíronse de distintas maneiras dependendo da época e incluso do autor. Consideremos por exemplo o símbolo da igualdade (=). Escollino porque, segundo a miña experiencia, o creativo alumnado de secundaria está empeñado en substituílo por frechas (➝). Cada vez que o fan preséntolles a Robert Recorde, quen no 1557 expresou o seu argumento para introducir o símbolo = e que viaña sendo que el non era que de imaxinar dúas cousas máis iguais que dúas paralelas. En Mate-glifos faise referencia a outras escrituras para representar a igualdade tales como Ч (copistas do III e IV), pha, aeq., ae, ...
Aínda hai outra característica deste libro que o fai máis atractivo. Tomando como desculpa os tópicos que vai tratando, introdúcense a modo de pílulas, cuestións de carácter divulgativo. Esta estratexia de elaboración do libro faino moito máis dinámico para o lector que busca algo máis que unha restra de explicacións sistemáticas sobre a escritura matemática. Ao falarnos dos símbolos da división explícase en que consiste a proba do 9 (teño que confesar que é a primeira vez que a vexo nun texto impreso). A carón do sistema de numeración binario detállase un truco de maxia que utiliza este sistema. Os logaritmos van acompañados do problema do coleccionista de cromos: cantos cromos se espera que teña que comprar para completar unha colección de 200? A resposta, que recollo do libro, é de 1176. Noutro capítulo, a raíz da demostración do teorema de Pitágoras coñecida como a cadeira da noiva, preséntasenos un quebracabezas de Henry Dudeney consistente en cortar un triángulo equilátero en 4 pezas de forma que ao volver a xuntalas poidamos formar un cadrado.
Velaquí o triángulo equilátero, recórtao e forma un cadrado
Como regalo final, ofrécesenos un pequeno dicionario etimolóxico dalgúns termos matemáticos e unha táboa (ou glifoteca) con símbolos, ano de aparición e autor.
Non sei que esperades para ler e, xa que logo, recomendar.
Este pasado sábado 06/04/19 celebrouse na Praza Maior de Ourense un acto divulgativo das matemáticas organizado polas asociacións de profesores AGAPEMA e ENCIGA.
Como tiña que ir a Ourense algunha destas fins de semanas, aproveitei a ocasión e acudín a ver o que montaran os compañeiros nesa fría mañán do mes de abril.
O día era moi desapacible: chuvia e baixas temperaturas durante toda a mañán así que a montaxe tivo que resgardarse nos soportais da praza. Pola contra arredor dos obradoiros había unha enorme calor humana. Ducias de rapaces remexían interesados entre as mesas expositoras.
Había toda clase artefactos como os clásicos cubos de Rubik, as torres de Hanoi, labirintos, tangramas, actividades de papiroflexia ou algún tipo de tres en raia (ou pai-nai-fillo, como lle chamaba eu de cativo). Deixo por aquí algunhas imaxes que dan algo de idea das sensacións da xornada.
Nas seguintes imaxes veremos como se supera a falta de medios con imaxinación. Para presentar os poliedros utilízanse escarvadentes e gominolas. Cantos escarvadentes e cantas gominolas precisamos para construir un tetraedro?
Veremos os cadrados máxicos elaborados con fotocopias e tapóns de plástico ou xogos elaborados con mistos.
Finalmente, velaquí na parte inferior o que máis me chamou a atención por ser descoñecido para min. Temos un taboleiro 4x4 e un total de 16 pezas de distintas alturas: 4 amarelas (de altura 4), 4 vermellas (de altura 3), 4 verdes (de altura 2) e as 4 máis baixas, as azuis (de altura 1). Colocalas todas no taboleiro de forma que non haxa na mesma fila nin na mesma columna dúas da mesma cor/altura non é nada difícil. Pero a cuestión complícase porque hai que fixarse no modelo que rodea o taboleiro; alí vemos uns números que neste caso son, comenzando pola parte superior esquerda e, movéndonos no sentido contrario ao das agullas dun reloxo: 3-1-2-2--3-1-3-2--2-1-3-2--3-1-2-2. Pois ben, situémonos agora coa vista á altura da mesa, entón desde cada un dos lugares indicados por cada número debemos ver, tantos bloques como indica cada un deses números.
O modelo da restra de números pódese variar, polo que para cada cada unha desas restras, teremos un reto distinto. A min divirtiume moito. Mágoa non ter un destes para esta semana de avaliacións!
O Experimento Eratóstenes é un evento mundial que consiste en reproducir o experimento realizado por Eratóstenes no século III a.C.
Eratóstenes foi un dos directores da Biblioteca de Alexandría. Cultivou toda clase de saberes pero pasou á posteridade por dous logros: a invención da “criba de Eratóstenes”, que é un método para identificar os números primos, e a sorprendentemente precisa medición do meridiano terrestre.
Nun dos papiros da Biblioteca Eratóstenes leu que o día do solsticio de verán, o sol parecía entrar ao mediodía nun pozo ubicado en Assuán; nese mesmo momento as columnas dos edificios non daban ningunha sombra. Eratóstenes agardou ao comenzo do verán e comprobou que en Alexandría iso non sucedía: ese día como todos os outros, os obxectos formaban sempre algo de sombra. Entón preguntouse a que se debía que no mesmo instante un bastón non proxectara en Assuan ningunha sombra mentras que en Alexandría, a unha gran distancia ao norte,
proxectaba unha sombra pronunciada.
Se a Terra fose plana, os dous paus, un en Assuan e outro en Alexandría proxectarían sombras da mesma lonxitude.
Entón Eratóstenes comprendeu que a Terra non podía ser plana porque en tal caso as sombras deberían ser iguais en todas partes. A única resposta posible era que a Terra fose redonda.
Eratóstenes sabía que a distancia entre Assuán e Alexandría era de aproximadamente 800 km. porque contratou a un home para que llos medira en pasos. Mediu o ángulo que formaba o seu pau cos raios de sol do mediodía do 21 de xuño: eran 7,2º. Un pouco de xeometría e algúns cálculos dan como resultado unha circuferencia terrestre de 40000 km
As conclusións que obtivo eran correctas e as únicas ferramentas de Eratóstenes foron paus, ollos, pes, cerebros e, ademáis, o gusto pola experimentación. Con estes elementos puido deducir a circunferencia da Terra cun mínimo erro, o que constitúe un logro notable hai 2.200 anos. Foi a primeira persoa que mediu con precisión o tamaño dun planeta.
O noso experimento
No IES Antón Losada Diéguez imos intentar reproducir o experimento de Eratóstenes en colaboración cunha rede de centros mundial mediante o portal Erathostenes Experiment. Para isto teremos que facer o mesmo que fixo Eratóstenes:
Medir unha sombra nun momento preciso. Aínda que el o fixo no solsticio de verán, nós realizámolo no equinoccio de primavera, concretamente no mediodía solar do día 21 de marzo.
Obter a distancia a outro centro no que realicen a mesma medición e comparar a lonxitude da súa sombra coa nosa.
Calcular a lonxitude da circunferencia terrestre cos datos obtidos
Paso 1
O noso obxectivo será calcular o ángulo θ, que nos indica o ángulo de incidencia do sol, no mediodía solar do 21 de marzo. Farémolo mediante a medición da sombra dun pau vertical de 1 m de altura.
Como a tanθ=S/H=S/1=S requlta que θ=arctanS=... xa veremos o que nos dá.
Temos que ter coidado de que o pau fique perfectamente vertical ao chan.
Ademais debemos facer a medición no momento preciso, xusto cando a sombra é máis pequena, isto é, cando o Sol ese día alcanza a súa máxima altura no horizonte. Para determinar ese momento podemos facer uso desta aplicación que nos dá a hora solar na nosa posición. Para iso temos que introducir nesa aplicación as nosas coordenadas: Latitude e Lonxitude. Podemos descubrilas mediante o Google Maps. Basta buscar o noso centro, premer co botón dereito e seleccionar a opción Que hai aquí? . Deste xeito obtemos que a situación do IES Antón Losada é de 42.693170º de latitude norte e -8.505239º de lonxitude oeste (o signo menos indica que estamos ao oeste do meridiano de Greenwich). Realízanse cinco medicións. Tomaremos como valor para realizar os cálculos a media dos cinco resultados obtidos.
O material necesario para esta actividade é:
unha construción cun pau vertical de 1 metro
unha cinta métrica
unha escuadra de carpintería para poder realizar a medición máis cómodamente trasladando a posición do extremo da sombra ao borde do taboleiro sobre o que se realicen as medidas
un nivel para asegurarnos de que mediamos na horizontal
un móbil co que consultar a hora solar local para verificar que as medicións se realizan ao mediodía
Paso 2
Unha vez que teñamos a medición do ángulo do outro centro, mediremos a distancia que hai entre os dous centros. Para iso volveremos a facer uso do Google Maps, utilizando a ferramenta Medir distancia Paso 3. Calcularemos dúas veces a lonxitude da circunferencia da Terra.
Primeiro, a partir da comparación da nosa lonxitude da sombra en A coa doutro centro en B Os ángulos A e A' son iguais por seren correspondentes: A=A'
Consideremos o triángulo A'BC. A suma dos seus ángulos é 180º: 180-A+B+C=180, polo que C=B-C.
Sabendo a distancia entre os puntos de medición A e B, e sabendo que o ángulo que forman os paus alongados ata o centro da Terra é C, mediante unha regra de tres obteremos a lonxitude da circunferencia da Terra.
En segundo lugar, no punto E, situado no ecuador e no noso mesmo meridiano, ao mediodía non se formará sombra ningunha. Ademais o ángulo ACE é igual ao ángulo medido no noso centro, o ángulo A. Isto significa que coa medición da sombra deberíamos obter a nosa latitude.
Outra vez, sabendo a distancia entre E e A e o ángulo A, mediante outra regra de tres, podemos volver a determinar a lonxitude da Terra. Obteremos valores semellantes nestas dúas determinacións?
Resultados de 4ºA
O grupo de alumnos de 4º A obtivo un valor da sombra de 0,8968 m. Isto dá unha medida o ángulo
A=arctan0,8968=41,89º
Alumnos de 4ºA
O alumnado de 4ºA tiña que comparar os seus resultados coa Escola Secundaria Serafim Leite, João da Madeira, Portugal, con coordenadas xeográficas de 40.892452º de latitude norte e -8.496855º de lonxitude oeste, que obtivo un valor para o ángulo B de 40,93º.
De aí que C=41,89-40,93= 0,97º
Como a distancia entre os centros é de 200,21 km, obtívose un valor para a lonxitude terrestre de 74575,35 km
Traballando os datos na aula
Na comparación co ecuador determinouse unha distancia de 4747,4 km. Como o ángulo A=41,89º, esta segunda determinación deu un valor de 40798,85 km para a circunferencia terrestre. Queda claro que o primiero dos valores foi moi errado debido á pouca distancia entre os puntos de medición, apenas 200 km. Neste caso se a obtención do ángulo C (no noso caso de 0,97º) estaba sometida a algún erro, non podería ser compensado, obténdose un resultado final moi lonxe do verdadeiro.
Resultados de 4ºB
O grupo de alumnos de 4º B obtivo un valor para a sombra de 0,8984 m polo que o ángulo A=41,94º.
Alumnas de 4ºB
Outra medición de 4ºB
Neste caso compararon os seus datos co Al-laymoune College de Mechra Belksiri, en Marrocos. As súas coordenadas xeográficas son Latitude: 34.57775519 e Lonxitude: -5.9509468.
Medición en Mechra Belksiri
Eles tamén usaron un pau de 1 m de altura que formou unha sombra de 0,69 m. Cómpre salientar a diferenza das sombras en dous puntos do mesmo meridiano (aproximadamente) e no mesmo momento.
Desa medición temos que o ángulo B=arctan 0,69= 34,61º e a diferenza C=A-B=7,33º.
Como a distancia entre os centros é de 929 km, obtense para a circunferencia terrestre un valor de 45626,19 km.
Na comparación co ecuador determinouse unha distancia de 4747,25 km. Como
o ángulo A=41,94º, esta segunda determinación deu un valor de 40798,93
km para a circunferencia terrestre.
Así foi o desenvolvemento desta actividade neste curso. Deixamos aquí as ligazóns ás participacións do IES Antón Losada nos anos 2017 e 2018
O pasado 12 de febreiro, o día posterior á celebración da xornada internacional da Muller e a Nena na Ciencia, a profesora da Facultade de Matemáticas da USC, Elena Vázquez Abal impartiu unha conferencia no noso centro [1],[2],[3], o IES Antón Losada Diéguez (A Estrada), sobre mulleres destacadas na historia da ciencia. A pesar de que a actividade xa se realizou hai algún tempo, pensei que publicala nunha data como a de hoxe, 8M, non estaba de máis.
Elena estivo acompañada dun grupo de 11 alumnas (Celia Astorga, Uxía Rodríguez, Laura Silva, Carla Villaverde, Iria Souto, Alba Navia, María Troitiño, Laura Picallos, Carla Eiras, Seraina Barros e Andrea Porto) que fixeron tamén un esbozo biográfico de cada súa matemática no que, alén de datos de contextualización e de referencia do seu traballo científico, destacaban especialmente os aspectos nos que estas mulleres sofriron discriminación por razón do seu sexo.
Velaquí a presentación que elaboraron para acompañar a súa exposición.
Nese mesmo día inauguramos unha vella exposición: "A muller, innovadora na ciencia" que visitaron e traballaron varios grupos do centro.
Esta presentación, que utilicei nas II Xornadas de terminoloxía matemática celebrada o 29/11/2017 veume á memoria cunha cuestión que chiou JJ na que se interesaba como estaba a cuestión lexislativa no relativo ao uso do galego nas aulas de matemáticas na época da LOXSE.
Aquí explícase moito máis. Seguindo as diapositivas faise un percorrido polas distintas ordes e decretos desde o fin da ditadura, e inclúense algunhas reflexións de estudos sobre a cuestión ou diapostivas relativas á carencia de materiais didácticos na nosa lingua para a materia de matemáticas.
Se alguén se para a pasar as diapositivas, quizais considere algo incomprensibles as número 19 e 20. Explícanse dalgunha maneira na seguinte, na nº 21 e neste artigo de Paenza no que se relata o fracaso da enorme enquisa realizada pola revista Literary Digest no 1936 diante das eleccións presidenciais estadounidenses na que Roosvelt se enfrontaba a Landon. Ese fracaso tiña as súas raíces nun desastroso procedemento de escolla da mostra. Tomo esta referencia para explicar que o sistema é esencialmente o mesmo que o usado pola Consellería de Educación no ano 2009 cando realizou unha consulta "ás familias" do alumnado matriculado no sistema non universitario sobre distintos aspectos do uso das linguas no mesmo. Esta trapalleira consulta foi tida en en consideración para a elaboración do decreto 79/2010 (!) e así consta no preámbulo do propio decreto. Todo isto é indicativo do contido do funesto decreto.
Remata a presentación cun extracto dun artigo de D. Enrique Vidal Abascal do ano 1979, o ano en que se publica o coñecido como decreto de bilingüismo que tiña o obxectivo de prohibir a docencia en galego que comenzaba a abrollar naquela época. Pasaron 40 anos e seguimos nas mesmas.
Este ano teño unha hora semanal na biblioteca. Ata o momento non fixen outra cousa que fichar libros. Un labor ben aburrido, pero moito mellor que ter que tratar co profesorado que se escaquea das gardas, ou cos que chegan sistemáticamente 10 minutos tarde e che obrigan a comenzar a facerte cargo dun curso cando non corresponde.
Se non fose por iso, estoume refereindo aos labores de bibliotecario, seguramente non tería reparado no libriño de Fernando Corbalán, "Mates de cerca", editado por Graó. Recolle unha colección de artigos que apareceron publicados no xornal Heraldo de Aragón. Trátase dunha boa forma de popularizar e facer máis amables as matemáticas. Mágoa que por estas terras galegas non teñamos un exemplo paralelo que ofrecer.
As vantaxes sociais de publicar artigos de divulgación das matemáticas en publicacións da prensa xeral son obvias. En primeiro lugar, son unha xanela á inculturación da poboación en temas de corte matemático. Ademais poden contribuir a eliminar prexuízos cos que se lle carga a este saber ou ao seu ensino. Estou pensando nun centro no que estiven, no que se publicaba unha revista escolar na que apareceu a opinión dun pai sobre a educación criticando determinados enfoques docentes. Quexábase especialmente dos seus profesores de matemáticas porque utilizaban palabras tan estrañas como cateto ou hipotenusa. Eu, aínda que con frecuencia fago referencia á etimoloxía destas palabras, nunca lle vin unha vantaxe esencial a facelo xa que o importante é o coñecemento, ben simple por certo, do seu significado. Chama a atención que ese pai fixese referencia a estas palabras e non a outras seguramente máis esotéricas como anélido ou leixaprén. Dubido moito que aquel proxenitor descoñecese o significado de cateto, aínda que a súa queixa escondía realmente o seu odio e rexeitamento polas matemáticas, ou máis concretamente por algún profesor. Nada diso era apropiado para airealo nunha revista escolar. Un posible medicamento para paliar esta especie de diatribas poderían ser artigos como os de Fernando Corbalán.
Ao estaren dirixidos ao público xeral tales artigos tiñan que ser, por forza, de pouca profundización. Así e todo recollín de entre eles tres problemas de certo interese como para reproducilos aquí (ou nalgunha clase de secundaria)
Fusión empresarial. Dous amigos, A e B, venden panos de papel nunha feira. Cada un ten 30 paquetes. A vende 2 paquetes por 1 €. B vende 3 por 1 €. Como consideran que esta competencia non é boa para as vendas, deciden aliarse e ofertar 5 paquetes por 2 €. Polos 12 lotes de 5 paquetes obteñen 24 €. A cuestión é que se os venderan por separado A obtería 15 € e B 10 € (25 € e non 24€!). Onde vai o euro que falta? Unha pregunta máis que non propoñía Corbalán: como deberían repartirse eses 24 €? Matriculación. Desbotando as letras, os números das matrículas dos coches van do 0000 ao 9999. Se matriculamos o noso coche, darannos algún deses 10000 números. Que é máis probable: que nesa matrícula non haxa ningunha cifra repetida ou que se repita algunha?
Cociñando un experimento. Temos 10 bólas brancas, 10 bólas negras e dúas urnas opacas iguais. Pídese distribuir as bólas nas urnas de forma que a probabilidade de sacar unha bóla branca sexa a máxima posible ao realizar o experimento consistente en escoller unha urna e despois sacar dela unha bóla.
A noticia chegoume do profesor de física do meu centro. Preguntoume se sabía da obtención do número π mediante o reconto de choques de dous bloques que tivesen entre si unha relación de masas 1:102n. Máis precisamente, partimos de dous bloques de masas m2 e m1=102n・m2 e unha parede situada do lado do bloque m2 . O primeiro bloque choca contra o segundo e comenzan a producirse unha serie de choques dun contra o outro ou do segundo contra a parede. Sorprendentemente o reconto do número de choques vai ser, 3, 31, 314, 3141, 31415, 314159, 3141592, e, en xeral un número dado polas primeiras n cifras de π !
Supoñamos un chan de táboas de madeira da mesma anchura. Deixamos caer sobre el unha agulla de lonxitude igual ao ancho das táboas. Cal será a probabilidade de que a agulla toque algunha das liñas de separación desas táboas?
A resposta é 2/π .
Dito doutro xeito, este experimento permitiría teóricamente aproximar o número π polo cociente 2n/a onde n representa o número total de experimentos e a o de agullas que tocan as liñas de separación.
Primeira solución
Considreraremos como sentido positivo do movemento o usual (cara a dereita). O bloque de maior masa ten masa m1 e o outro m2
Úsanse dous principios de conservación: o da enerxía e o do momento, polo que teremos as seguintes igualdades:
$$\frac { 1 }{ 2 } { m }_{ 1 }{ v }_{ 1 }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { m }_{ 2 }{ v }_{ 2 }^{ 2 }={ c } \quad \quad \quad \quad [1]$$
$${ m }_{ 1 }{ v }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }{ v }_{ 2 }={ f }(k)\quad \quad \quad \quad \quad [2]$$
No primeiro caso o valor permanece igual a unha constante c durante todo o experimento.
No segundo caso, f(k) toma unha cantidade discreta de valores pois o momento non cambia cando chocan os bloques pero si cando choca m2 contra a parede.Se k reconta o número de choques f(k) só cambirá de valor cando k sexa par.
A estratexia para resolver o problema é realmente fermosa. Pasa por considerar un espazo xeométrico bidimensional asociado a este experimento no que cada punto represente as velocidades de cada un dos bloques; ben, non exactamente as velocidades:
$$\begin{matrix} x=\sqrt { { m }_{ 1 } } { v }_{ 1 } \\ y=\sqrt { { m }_{ 2 } } { v }_{ 2 } \end{matrix}$$
Con esta relación as igualdade [1] transfórmase na ecuación dunha circunferencia centrada na orixe:
$$\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { y }^{ 2 }=c\quad \quad \quad \quad [1']$$
Isto significa que os puntos da circunferencia son os únicos que poden representar un estado do experimento. Mais, hai outra restricción, a dada por [2], que agora pasa a representar unha serie de rectas paralelas (unha para cada valor de f(k)):
$$\sqrt { { m }_{ 1 } } x+\sqrt { { m }_{ 2 } } y=f(k)\quad \quad \quad de\quad pendente\quad m=-\sqrt { \frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 2 } } } \quad \quad \quad \quad [2']$$
O choque dos bloques representarase mediante un punto da parte inferior do plano: y < 0 (e recordemos, sempre un punto da circunferencia [1']). De seguido o bloque m2 chocará coa parede polo que cambiará a dirección da súa traxectoria. Isto significa que a representación do estado saltará a un punto coa mesma ordenada pero positiva. Agora debemos considerar a recta de [2'] que pasa por este novo punto que cortará á circunferencia nun terceiro punto que representará un novo choque de bloques. Despois de repetido o proceso varias veces sairémonos da circunferencia; non haberá máis choques. Pero, como os contamos?
Teñamos en conta que se unimos os puntos que representan os distintos estados do experimento mediante rectas, éstas sempre formarán un ángulo θ. Como son ángulos inscritos na circunferencia, os ángulos centrais correspondentes medirán 2θ. Xa que logo, o problema redúcese a determinar o número de veces, N, que 2θ colle na circunferencia: 2Nθ ＜2 π, polo que, simplificando: Nθ＜ π. Velaí que aparece o famoso número.
Para rematar, pescudemos cal é o valor de θ
$$tan\theta =-\frac { 1 }{ m } =\sqrt { \frac { { m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 } } } =\sqrt { \frac { 1 }{ { 10 }^{ 2n } } } =\frac { 1 }{ { 10 }^{ n } } $$
$$\theta =arctan\frac { 1 }{ { 10 }^{ n } } \approx \frac { 1 }{ { 10 }^{ n } } $$
$$N\theta \approx N\frac { 1 }{ { 10 }^{ n } } <\pi \quad \Rightarrow \quad N<{ 10 }^{ n }\pi \quad \Rightarrow \quad N=\left\lfloor { 10 }^{ n }\pi \right\rfloor $$
Segunda solución
A canle 3Blue1Brown non quedou parada ao darnos a primeira solución senón que partillou esta outra, igual de marabillosa e, para máis, completamente distinta.
Ben, aínda que distinta, tamén aborda o problema mediante a construción dun espazo xeométrico bidimensional asociado ao experimento. Só que agora os eixos non virán dados polas velocidades dos bloques senón polas súas distancias á parede: d1 e d2.
$$\begin{matrix} x=\sqrt { { m }_{ 1 } } { d }_{ 1 } \\ y=\sqrt { { m }_{ 2 } } { d }_{ 2 } \end{matrix}$$
Os choques entre bloques daranse cando d1 = d2 e os do primeiro bloque contra a parede cando d1= 0.
$${ d }_{ 1 }={ d }_{ 2 }\quad \Rightarrow \quad \frac { x }{ \sqrt { { m }_{ 1 } } } =\frac { y }{ \sqrt { { m }_{ 2 } } } \quad \Rightarrow \quad y=\sqrt { \frac { { m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 } } } x=m'x\quad \quad \quad [3]$$
Entón os puntos que representarán os choques estarán nas rectas [3] e y=0. Ademais, polas características do experimento, o punto, chamémoslle P, que representa o estado do mesmo en cada momento, debe moverse sempre entre estas dúas rectas.
Pasemos a estudar a velocidade do punto P. O seu módulo será:
$$\left| \overrightarrow { v } \right| =\sqrt { { \left( \frac { dx }{ dt } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { dy }{ dt } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { { m }_{ 1 }{ v }_{ 1 }^{ 2 }+{ m }_{ 2}{ v }_{ 2 }^{ 2 } } =\sqrt { 2c }\quad \quad \quad [4] $$
Había algo neste vídeo de Grant Sanderson que non me cadraba. Explícase que o momento é constante e isto utilízase para explicar a igualdade entre os ángulos de incidencia e reflexión do punto P. Pero lembremos que isto non é exactamente así, pois o momento diminúe cada vez que o bloque pequeno choca coa parede. Por iso, para quedar tranquilo conmigo mesmo, tiven que refinar un pouco a explicación.
Cando se produce un choque co muro hai un cambio de sentido na velocidade do segundo bloque:
$$pasa\quad de\quad \overrightarrow { v } =\left( \sqrt { { m }_{ 1 } } { v }_{ 1 }\quad ,\quad \sqrt { { m }_{ 1 } } { v }_{ 1 } \right) \quad \quad a\quad \quad \overrightarrow { v' } =\left( \sqrt { { m }_{ 1 } } { v }_{ 1 },\quad -\sqrt { { m }_{ 1 } } { v }_{ 1 } \right) $$
De aí que o ángulo de incidencia e reflexión de P sexan o mesmo cando se produce a colisión co muro.
Por outra banda, cando hai un choque entre os bloques non hai cambio no momento, f(k) non varía. Entón, neste paso, podemos aplicar o razoamento que se observa no vídeo de Grant Sanderson interpretando esta constancia no momento mediante o produto escalar de vectores, o que nos volverá a dar a igualdade entre os ángulos de incidencia e reflexión. Vexámolo:
$${ m }_{ 1 }{ v }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }{ v }_{ 2 }=\left( \sqrt { { m }_{ 1 } } ,\sqrt { { m }_{ 2 } } \right) \cdot \left( \sqrt { { m }_{ 1 } } { v }_{ 1 }\quad ,\sqrt { { m }_{ 2 } } { v }_{ 2 } \right) =f(k)$$
$$\overrightarrow { m } =\left( \sqrt { { m }_{ 1 } } ,\sqrt { { m }_{ 2 } } \right) \quad vector\quad director\quad da\quad recta\quad { d }_{ 1 }={ d }_{ 2 }$$
$$\overrightarrow { m } \cdot \overrightarrow { v } =f(k)=\left| \vec { m } \right| \left| \vec { v } \right| cos\theta $$
Onde θ é o ángulo que forman eses dous vectores.
Da última igualdade deduciremos a igualdade entre os ángulos de incidencia e de reflexión na traxectoria do P cando coliden as masas. Como o vector director da recta d1 = d2 non varía e f(k) tampouco o fai no intervalo entre choques coa parede, temos que o cosθ tampouco varía co choque entre bloques, o cal implica que os ángulos da traxectoria do punto P cando incide e se reflicte na recta d1 = d2 serán iguais (a θ).
Xa vimos en [4] que a constancia do módulo do vector velocidade proviña da conservación da enerxía ([1]). Agora acabamos de comprobar que o punto P sempre forma o mesmo ángulo θ coas rectas y=0 e d1 = d2
Para rematar esta demostración non cómpre levar moito nas alforxas. O problema orixinal transformouse noutro de óptica. Con todo podería parecer pouco menos que imposible facer o reconto de veces que o punto P colide con ese par de rectas... agás que teñamos abordado algunha vez un problema no que tivéramos que reflexionar. Efectivamente, basta reflectir as rectas unha e outra vez para podermos simplificar a traxectoria de P a unha recta. Neste punto o problema volve a ser o de determinar N para Nθ＜ π, o cal xa se explicou máis arriba.
Esta solución que acabamos de dar, xunto co problema orixinal, son obra de Galperin. Podemos consultar a publicación nesta ligazón.
Máis solucións e máis problemas Neste outro vídeo o profesor Ed Copeland propón un problema semellante: cantas veces coliden as masas entre sí antes de que a masa maior comence a cambiar de dirección? A resposta é a mesma que á da cuestión anterior cando a relación entre as masas é de 16・102n :1 (se non as puxera ao principio desta entrada aquí tamén comprirían un par de signos de admiración).
A este novo problema danlle unha solución no blogue Conversation of Momentum (acaído nome para o que nos ocupa!) que me encantou. Non ten a vistosidade visual dos vídeos anteriores pero parte con outra ventaxa. Ata o momento fixemos unha simplicación que non permite comprender toda a complexidade do problema. Resulta que con cada colisión cambian as velocidades e isto non se reflicte na notación utilizada no xa explicado. No entanto, na entrada de Conversation of Momentum escóllese unha mellor notación chamándolle uni á velocidade antes do n-ésimo choque da masa i e vni á velocidade despois do n-ésimo choque. Despois de obter unha fórmula recursiva chégase á seguinte expresión:
$$\left( \begin{matrix} { v }_{ 1 }^{ n } \\ { v }_{ 2 }^{ n } \end{matrix} \right) =\frac { 1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ n } } { \begin{pmatrix} x-1 & 2 \\ -2x & x-1 \end{pmatrix} }^{ n }\left( \begin{matrix} { u }_{ 1 }^{ 0 } \\ 0 \end{matrix} \right) \quad con\quad x=\frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 2 } } $$
Aquí aparece a potencia dunha matriz. O método para calculala é diagonalizándoa mediante a obtención dos seus autovalores (proceso que xa temos feito algunha vez neste blogue). A marabilla é que eses autovalores... dan números complexos. Algo que, por certo, non lle había de gustar ao compañeiro de física que me informou do problema. Como curiosidade, deixo aquí a matriz diagonal
$$D=\begin{pmatrix} \left( x-1 \right) +2i\sqrt { x } & 0 \\ 0 & \left( x-1 \right) -2i\sqrt { x } \end{pmatrix}$$
Non estaría mal pescudar a contabilización do número de choques cunha proporción de masas a・102n :1, sendo a un número natural, ou incluso un número racional calquera maior que 1. A ver se vai resultar que calquera natural vai ter unha relación natural (física) co número π.
