Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.1

Un libro do espazo
pero non espacial

Sempre me pareceu moi divertido que na librería "Follas Novas" colocasen o libro Ideas de espacio de Jeremy Gray (Mondadori 1992) entre os de viaxes espaciais e non entre os de xeometría. Téñolle moito cariño a este volume pois foi o primeiro de certa entidade que lin ao acabar a carreira. Lembro moi ben que o fixera durante unha semana de acampada nun monte próximo a Mombuey. Tamén me había de servir como guía para preparar un dos temas das oposicións, o da historia da xeometría. En efecto, Jeremy Gray fai un percorrido polos avances da xeometría tomando como eixo vertebrador o V postulado euclidiano. Aquí non pretendo tanto, só ir saltando polos principais sistemas axiomáticos da xeometría euclidiana; isto é, o sistema do propio Euclides, o de Hilbert e o de Tarski.

Os postulados de Euclides

Elementos, en galego

É ben coñecido que o paradigma dos sistemas axiomáticos son os Elementos. Despois dunha lista de 23 definicións, Euclides (III a.C.) establece os seus cinco postulados:

• E.1. Trazar unha liña recta dende un punto calquera ata un punto calquera
• E.2. E prolongar en liña recta de forma continua unha recta finita
• E.3. E debuxar un círculo con calquera centro e distancia.
• E.4. E que todos os ángulos rectos son iguais entre si.
• E.5. E que, se unha recta ó incidir en dúas rectas fai os ángulos do interior e do mesmo lado menores que dous ángulos rectos, as dúas rectas, prolongadas ó infinito, atópanse no lado no que están os ángulos menores que dous rectos.

Recollinos tal e como aparecen na tradución ao galego que fixeron Ana Gloria Rodríguez e Celso Rodríguez, publicada pola USC

Despois de establecer estas raíces, e sen máis adobíos que algunha que outra definición máis, a árbore crece durante 13 libros ata formar a primeira enciclopedia sistemática das matemáticas.

Críticas a Euclides

A pesar da grandeza dos Elementos, co tempo acharíanse varias fendas no sistema euclidiano. Xa na primeira proposición do primeiro libro suponse que dúas circunferencias con centros nos extremos do segmento AB e compartindo o raio AB teñen que cortarse nun punto Γ. O  postulado E.5 establece unha condición para que se corten dúas rectas. Retrospectivamente podemos enxergar que se precisaría tamén outro postulado que establecese o corte de circunferencias. O que cómpre é garantir a continuidade das liñas. Quen habían de profundar neste tópico serían Richard Dedekind (1831-1816) e Georg Cantor (1845-1918) entre outros.

Tamén o primeiro postulado foi obxecto de crítica pois Euclides asumiu en varios lugares a unicidade da recta que se asegura pasa por calquera par de puntos dados cando o que se enuncia neste postulado é unicamente a súa existencia.

O segundo postulado só garante o carácter ilimitado dunha recta, non a súa infinitude. Quen estableceu para sempre esta distinción había de ser Bernhard Riemann (1826-1866) na súa disertación perante Gauss. Euclides emprega o carácter infinito da recta en I.16, a proposición que establece que un ángulo exterior dun triángulo é maior que calquera dos interiores opostos.

Na proposición I.21 Euclides toma como certo que se unha recta corta a un dos vértices dun triángulo, ten por forza que cortar o lado oposto. Mais este resultado nin se demostra, nin se podía demostrar baixo a axiomática dos Elementos pois nela non hai ningunha referencia á ordenación (o concepto "estar entre"). Quen incidiu neste aspecto sería Morlitz Pasch (1843-1930). Este matemático alemán propuxo a primeira axiomática moderna da xeometría, precursora da de David Hilbert (1862-1943)

Os axiomas de Hilbert

O reinado dos Elementos esténdese ata o XIX, momento no que xorden tanto as xeometrías non euclidianas como os proxectos de axiomatización nas matemáticas, especialmente a aritmética. Nesta altura estaban de moda os estudos sobre os fundamentos e non foron poucos os traballos adicados aos da xeometría. De entre todos eles destaca o de Hilbert, quen elabora un profundo tratado sobre a axiomatización desta área, Fundamentos da xeometría. Para iso establece cinco grupos de axiomas. Poño algúns exemplos:

• Algúns axiomas de enlace:

H.I.1. Dados dous puntos A e B, sempre existe unha recta a que os contén.

H.I.2. Dados dous puntos A e B, só existe unha recta que pase por eles

H.I.3. Nunha recta hai polo menos dous puntos. Tamén existen polo menos tres puntos  non aliñados.

• O seguinte grupo de axiomas son os de ordenación:

H.II.1. Cando B está entre os puntos A e C, e son distintos puntos dunha recta, B tamén está entre C e A.

H.II.2. Dados dous puntos A e C, sempre existirá outro punto B na recta AC tal que B está entre A e C.

H.II.3, Dados tres puntos nunha recta, como moito un deles está entre os outros dous.

H.II.4. (Axioma de Pasch) Dados tres puntos A, B e C non aliñados e unha recta a no plano ABC que non contén a ningún dos puntos, se a corta a AB, entón corta tamén a AC ou a BC

• Axiomas de congruencia de Hilbert:

H.III.1. Dados os puntos A e B e o punto A' da recta a', existe un único B' nun dos lados da recta a' determinado por A' de forma que AB é congruente con A'B' (AB≡A'B')

H.III.2. Se os segmentos A'B' e A''B'' son congruentes a AB, tamén serán congruentes entre si.

H.III.3. Se AB≡A'B' e BC≡B'C', entón AC≡A'C'

H.III.4. Dado un ángulo definido polas semirectas h e k ∠(hk), e dada outra semirecta h', existe unha única semirecta k' tal que ∠(hk) ≡ ∠(h'k')

H.III.5. Se dous triángulos ABC e A'B'C' verifican que AB≡A'B' e AC≡A'C' e ∠BAC ≡ ∠B'A'C', entón tamén ∠ABC ≡ ∠A'B'C'.

Este último axioma é a proposición I.IV dos Elementos, o coñecido teorema de congruencia de triángulos LAL.

• O cuarto grupo de axiomas hilbertiano é ben reducido, tanto que se reduce a un único postulado, o das paralelas:

H.IV.1. (Axioma de Playfair) Sexa a unha recta e A un punto exterior á recta, entón existe como moito unha recta paralela a a pasando por A.

• Os últimos axiomas son os de continuidade. O primeiro deles é o que abre a porta á aritmetización da xeometría.

H.V.1. (Axioma de Arquímedes) Dados AB e CD, existen n puntos  puntos A₁, A₂ , A,...., A_n   con A₁=A,  A_iA_j≡ CD de forma que o punto B queda entre A₁e A_n

Axioma de Arquímedes

H.V.2. (Axioma de completitude) Os puntos dunha recta forman un sistema tal que non se pode ampliar baixo os axiomas H.I.1, H.1.2, H.II, H.III.1 e H.V.1

Este último axioma é o único deste sistema que non pode ser formalizado nunha linguaxe de primeira orde e ten claramente un enunciado ben distinto dos anteriores. Prima facie non o parece, pero é o que introduce a continuidade dentro da axiomática de Hilbert. Se excluímos H.V.2 poderían ser modelos desta xeometría estruturas "descontinuas" tales como o conxunto dos números racionais ou o conxunto Ω, que introduce Hilbert no principio do capítulo II dos Fundamentos e que estaría formado por todos os números que poden obterse a partir do 1 mediante sumas, restas, produtos divisións e unha quinta operación dada por $$\sqrt { 1+{ \omega  }^{ 2 } } $$

Tendo en conta a seguinte relación o conxunto de Hilbert estaría formado, ademais das combinacións das catro operacións, polas raíces cadradas das sumas de cadrados $$\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } =a\sqrt { 1+{ \left( \frac { a }{ b }  \right)  }^{ 2 } } $$

Quizais na lectura do axioma de completitude enxérgase máis facilmente outra interpretación que tamén se verifica, a de que este axioma asegura a categoricidade, isto é, que todos os modelos deste sistema axiomático son isomorfos.

Unha cuestión interesante é a de preguntarse polas razóns que levaron a Hilbert a introducir o axioma de completitude para caracterizar a continuidade cando tiña alternativas coñecidas tales como a dos cortes de Dedekind, a dos intervalos encaixados de Cantor, ou o teorema de Bolzano-Weierstrass. Hilbert tiña como obxectivo fundamentar una xeometría asentada sobre o corpo dos números reais, de aí que botase man do axioma de Arquímedes. Este axioma facilita o establecemento dunha medida. Entón Hilbert avísanos de que "o axioma de completitude que só esixira a conservación deses axiomas [os dos grupos I, II e III], pero non o de Arquímedes ou outro que lle corresponda, encerraría unha contradición"

Ben sei que ler esta entrada custa traballo. Se ben o estudo desde o punto de vista da lóxica de partes das matemáticas é moi instrutivo e revelador, cómpre manter un certo nivel de esforzo e concentración para aprehender os contidos. Tendo en conta o anterior e que a entrada xa vai tendo unha lonxitude considerable, deixamos a abordaxe da perspectiva de Tarski para outra entrada.

Grandes ideas da astronomía

Agora que estamos a prácticamente un ano da celebración das 19 JAEM, véñenme á memoria as IX JAEM, as de Lugo no ano 1999. Foi a raíz destas últimas que acabei creando e impartindo a materia de Astronomía na ESO no CPI Aurelio Marcelino Rei García (Cuntis). Trataba de facer fronte a un problema educativo cando tiña que impartir aulas en 4º da ESO. Unha e outra vez comprobaba o rexeitamento e as dificultades coas que o alumnado presentaba ao enfrontarse ao estudo da trigonometría.

Un mantra que se repite sempre en relación co ensino das matemáticas o que se ensina, ou a forma de ensinar "non ten aplicación práctica". Disto derívase unha consecuencia fatal, a desmotivación e ábrese o camiña cara o fracaso educativo. Curiosamente a trigonometría ten unha aplicación práctica inmediata, a de permitir obter medicións nun principio inaccesibles. O único atranco sería, en todo caso, que para conseguir este premio cómpre traballar durante algún tempo nun campo presuntamente máis árido, o das ideas básicas da trigonometría: medición de ángulos, semellanza, a definición das razóns trigonométricas, as razóns de determinados ángulos, algunhas propiedades das razóns,...

Quizais un bo punto de partida podería ser a astronomía. As raíces da trigonometría están na ciencia dos ceos. As primeiras referencias trigonométricas son as do libro I do "Almaxesto". O "De Revolutionibus" copernicano comenza como un tratado de trigonometría. Ter certa perspectiva histórica sobre a evolución da astronomía e coñecer algunhas das cuestións coas que se enfrontaba podería ser unha boa base sobre a que asentar a necesidade do estudo da trigonometría na secundaria.

De aquí xurdiu a elaboración dunha programación dunha materia optativa para a ESO, Astronomía, que impartín durante dous cursos no CPI de Cuntis. Tempo despois quixen levar esa materia ao IES de Silleda pero a loita pola defensa a toda costa do seu pombal por parte departamento frustrou o intento. No meu actual centro, no IES Antón Losada (A Estrada) volvín a facer o intento hai un par de anos, agora como materia optativa de unha hora en 1º de bacharelato (vs. a de Relixión). Aquí foi a estulticia da inspectora o que o impediu. O argumento para denegar a solicitude era que o Departamento xa tiña 73 horas de docencia e que se debían priorizar os reforzos ou afondamentos.

Toda esta introdución foi quizais para xustificar un tépedo interese pola astronomía de alguén que, podendo cursar esta materia na facultade, non o fixo. O interesante é o que vén de seguido, un documento ao que lle poden dar bo uso aqueles poucos que teñan a posibilidade de impartir astronomía nalgún centro de ensino do país.

A finais de febreiro deste ano a Agrupación Astronómica Io publicaba a primeira tradución mundial da publicación da Unión Astronómica Internacional,  “Big Ideas in Astronomy: A Proposed Definition of Astronomy Literacy” . Trátase dun texto cunha serie ordenada de conceptos chave da astronomía que deberían formar parte da cultura xeral de calquera persoa ben informada nesta materia

A tradución foi obra de Martin Pawley e a deseñadora gráfica Marta Cortacans adaptou o formato orixinal.

 

Grandes ideas da astronomía from Agrupación Astronómica Coruñesa Ío

O nº 3 do "Marco Numérico"

Marco Numérico é a revista de matemáticas que publica o IES do Marco do Camballón (Vila de Cruces) desde hai tres anos. O primeiro número publicouse en xuño do 2018 e a súa novidosa proposta fixo que fose noticia en varios medios como GCiencia ou Praza Pública. Neste último destacaban que a publicación nacía nun marco e prohibicións establecido polo funesto decreto 79/2010 segundo o que nin se pode impartir docencia de matemáticas en galego nin usar materiais desta materia nesa lingua. O proxecto partira das aulas dunha materia optativa de 2º de bacharelato, Métodos Estatísticos e Numéricos.

Un ano despois aparecía o segundo número, no que se lle abriu a porta a que colaborasen outros centros de ensino. Finalmente, e con puntualidade britática, temos acceso ao terceiro volume, que saiu do prelo a pesar das dificuldades derivadas da pandemia da COVID-19. Na súa presentación destácase que esta revista

quere recoller traballos de investigación realizados por alumnado de secundaria e bacharelato de centros de ensino galegos que teñan as matemáticas como eixo central

Velaquí o seu carácter distintivo entre a curta, pero gorentosa, tradición de revistas de matemáticas dos centros de ensino, (por certo, todas elas en galego; boa mostra do compromiso social do mundo do ensino fronte ao radicalismo dunha Xunta racista coa lingua de noso e os seus utentes)

Neste terceiro número, entre outros artigos, volveremos a encontrar un traballo que contribúe ao proxecto MARUMASAT, hai unha nova achega sobre a lei de Bendford, e varios estudos estatísticos sobre a distribución dos números primos.

Non quería finalizar sen darlle as grazas ao promotor deste proxecto, Xosé Díaz, non só por poñelo en pé e mantelo, senón por unha razón máis persoal que non é outra que a de que me invitara a prologar o terceiro volume do Marco Numérico.

A división de Terence Tao

Terence Tao (1975-...) gañou a medalla de ouro das Olimpíadas Internacionais de Matemáticas cando tiña 13 anos. Nos dous anos anteriores conseguira as de bronce e prata. Na XXV IMC déronlle a medalla Fields. Estes só son algúns dos recoñecementos recibidos por estea figura extraordinaria das matemáticas.
A súa participación nas Olimpíadas fixo que na súa mocidade mantivese un profundo interese por este tipo de competicións. Isto levouno, con 15 anos, a escribir un libro centrado neste tipo de probas, Solving mathematical problems, que foi editado tamén en portugués pola SPM, dentro dunha colección de libros... sobre as olimpíadas. Non é de estrañar porque o libro recolle tanto algúns problemas deste tipo de probas, así como outros que ben poderían formar parte do adestramento para as mesmas. Con todo, Tao non se limita só a dar a solución, senón que explica como abrir liñas de ataque ao problema, como avalialas, como ir acurralandoo con mestría. Fica claro que Terence Tao xoga noutra división.
O primeiro capítulo do libro é un tanto especial, pois facendo honra ao seu título, Estratexias de reslución de problemas, dá unhas orientacións xerais, ao mellor estilo Polya. Para iso toma como referencia o seguinte problema:

As lonxitudes dos lados dun triángulo forman unha progresión aritmética de diferenza d. A área do triángulo é t. Calcule os lados e os ángulos do triángulo.

Tao desenvolve unha abordaxe fundamentada nos seguintes pasos:

• Entender o problema
• Distinguir os datos
• Percibir o obxectivo
• Escoller unha boa notación
• Escribir o que sabemos na notación que escollemos; facer un diagrama
• Modificar lixeiramente o problema
• Modificar grandemente o problema

Como mostra, recollo aquí algún dos problemas escollidos por Tao, comencemos por un de números:

Sexan k e n números naturais con k impar. Mostre que a suma 1^k+2^k+... +n^k é divisible por 1+2+---+n

Tamén propón algúns exercicios, como o seguinte:

Determine o maior enteiro positivo n, tal que n³+100 sexa divisible por n+10

Varios son das Olimpíadas Australianas de Matemáticas, velaquí un exemplo:

Un polígono regular con n vértices está inscrito nunha circunferencia de raio 1. Sexa L o conxunto de todos as posibles lonxitudes de todos os segmentos ligando dous vértices do polígono. Cal é a suma dos cadrados dos elementos de L?

No capítulo final, mesmo hai problemas inclasificables dentro do esquema usual de estruturación das matemáticas (aritmética, álxebra, xeometría, cálculo,...); son máis ben propostas relacionadas coa matemática recreativa. Por exemplo estuda o problema do xogo do yucky choccy , ou do chocolate asqueroso, que había de facer famoso Ian Stewart na súa columna do Scientific American,  e que posteriormente aparecería en Locos por las matemáticas (Crítica, 2004): dada unha tableta de chocolate de 6྾10 pezas cada xogador elimina no seu turno, ben filas, ben columnas da mesma. Perde o que se ve na obriga de coller a peza asquerosa situada nunha esquina da tableta. Terence Tao propón estudar o mesmo problema nunha versión tridimensional. Cal será a estratexia gañadora para un chocolate de 3×6×10? Cal dos xogadores gañará?
Unha fonte da que recolle algúns dos problemas é a competición internacional Tournament of the Towns , unha proba paralela ás olimpíadas nacida no 1979 en Rusia e que tivo moi boa acollida en Australia (ver aquí unha recompilación). O seguinte enunciado foi tirado desta competición.

Nunha certa illa hai 13 camaleóns cincentos, 15 camaleóns castaños e 17 vermellos. Se dous camaleóns de cores diferentes se encontran, mudan ambos para a terceira cor (por exemplo un castaño e un cincento mudaríam ambos para vermello), mais non mudan de cor en ningunha outra situación. Será posible que a certa altura os camaleóns fiquen todos da mesma cor?

Para rematar, un deses gorentosos problemas que che pegan unha volta coa pregunta final

Dous irmáns venderan un rabaño de ovellas. Cada ovella foi vendida por un número de rublos igual ao número de ovellas do rabaño, e o total obtido foi dividido do seguinte modo: o irmán máis vello colleu 10 rublos, despois o máis novo colleu 10 rublos, despois o máis vello colleu outros 10 rublos, e así sucesivamente. Ao final da división, o irmán máis novo, a quen tocaba a vez, verificou que había menos de 10 rublos, e polo tanto embolsou o que sobraba. Para tornar a división xusta, o irmán máis vello dou ao máis novo o seu canivete, que valía un número enteiro de rublos. Canto valía o canivete?

O problema da persecución de Apolonio

Problema da persecución de Apolonio. Consideremos dous barcos A e B que se desprazan en liña recta e tales que a velocidade de B é k veces a de A. Trátase de que, sabendo a dirección de avance de A, o barco B o intercepte no menor tempo posible.

Para dar resposta a este problema imos trasladarnos atrás no tempo. Como case sempre sucede na xeometría plana, hai que retrotraerse ata os Elementos de Euclides (III a.C.), concretamente ao seguinte resultado:

Proposición VI.3. Se o ángulo dun triángulo se corta á metade e a recta que corta o ángulo corta tamén a base, os segmentos da base gardarán a mesma razón que os restantes lados do triángulo; e se os segmentos da base gardan a mesma razón que os restantes lados do triángulo, a recta unida dende o vértice ata o punto de corte cortará á metade o ángulo do triángulo. [ver Elementos]

A primeira implicación é tamén un dos primeiros resultados (1.33) que achamos no recomendable Geometry revisited de H. S. M. Coxeter e S. L. Greitzer, onde se demostra por medio do teorema dos senos.

Teorema 1.33. A bisectriz dun ángulo dun triángulo divide o lado oposto en dous segmentos de lonxitude proporcional á lonxitude dos lados que o forman.

Aplicando o teorema dos senos e tendo en conta que os ángulos suplementarios en M teñen o mesmo seno:
$$\frac { AM }{ sen\left( \frac { C }{ 2 }  \right)  } =\frac { b }{ senM } \\ \frac { BM }{ sen\left( \frac { C }{ 2 }  \right)  } =\frac { a }{ senM } \\ \frac { AM }{ BM } =\frac { b }{ a } $$

Parece ser que unha xeneralización deste resultado ao ángulo exterior é debida o matemático inglés Robert Simson (1687-1768). Estou a falar da seguinte proposición, que pode obterse a partir do teorema de Tales:

Teorema. A bisectriz tanto dun ángulo interior como exterior dun triángulo divide o lado oposto en segmentos proporcionais á lonxitude dos lados que o forman.

$$  \frac { AM }{ BM } =\frac { b }{ a } \quad \quad \quad  \frac { AN }{ BN } =\frac { b }{ a }$$

Agora estamos en disposición de definir a circunferencia de Apolonio do triángulo ABC para o vértice C: será aquela que pase por C, M e N. Con estes vimbios podemos, por fin, achegarnos á solución do problema. Pouco haberá que comentar se sabemos que a razón das distancias dos puntos da circunferencia de Apolonio dun vértice aos outros dous é constante, concretamente

Teorema. Sexa P un punto da circunferencia de Apolonio do vértice C dun triángulo ABC, entón

$$\frac { PA }{ PB } =\frac { b }{ a }$$

Desde B trazamos perpendiculares a PM e PN que cortan a PA en E e en F. Así podemos trazar tamén BE e BF.
Como MP ⏊ PN ⏊ BF temos tamén que MP ∥ BF. Polo teorema de Tales:
$$\frac { PA }{ PF } =\frac { AM }{ BM }=\frac { b }{ a }\quad\quad\quad[1]$$
Como EB ⏊ MP ⏊ PN temos tamén que EB ∥ PN. Polo teorema de Tales:
$$\frac { PA }{ PE } =\frac { AN }{ BN }=\frac { b }{ a }\quad\quad\quad[2]$$
Entón 
$$\frac { PA }{ PF } =\frac { PA }{ PE }\Rightarrow PF=PE$$
Como EB ∥ PN ⏊ BF entón tamén EB ⏊ BF polo que o triángulo EBF é recto en B e, xa que logo, P é o punto medio da hipotenusa polo que tamén será o circuncentro. Velaí que PF=PB
$$\frac{PA}{PB}=\frac { PA }{ PF }=\frac{PA}{PE}=\frac{b}{a}\quad\Box $$

Ademais ABMN forman unha cuaterna harmónica xa que a súa razón dobre é -1. Basta ter en conta [1] e [2] e considerar que os segmentos están orientados, isto é, que están dotados de signo
$$\left( A,B,M,N \right) =\frac { AM }{ BM } \frac { BN }{ AN } =-\frac { b }{ a } \frac { a }{ b } =-1$$
Xa que estamos metidos en fariña, lembremos as leccións de xeometría proxectiva. As proxeccións conservan a razón dobre e, en consecuencia, as razóns harmónicas tamén serán invariantes. As inversións tamén se conservan por proxeccións.
Dados A e B, supoñamos que o punto M verificando que a razón AB/AM=k está no segmento AB. A resolución do problema da persecución consistirá en obter un punto N tal que ABMN forme unha cuaterna harmónica.
Sexa O o punto medio de A e B. Trazamos a circunferencia de diámetro AB e a perpendicular a esta recta por M cortará a esa circunferencia nun punto T. A recta TN, tanxente á circunferencia, cortará á recta AB nun punto N. Como os triángulos OTM e OTN son semellantes:
$${ OT }^{ 2 }=OA\cdot OB=ON\cdot OM$$
Esta última igualdade significa que tanto A e B como M e N son inversos con respecto á circunferencia ATB. A recta MT será a polar de N na inversión respecto a esa circunferencia.
Finalmente a circunferencia de raio MN dá a solución do problema da persecución de Apolonio pois é a circunferencia de Apolonio do triángulo ABC no vértice C, onde C será o punto de interceptación buscado, obtido como intersección da circunferencia de Apolonio e a recta que marca a dirección de avance do barco A.






Problema para a ESO
Podemos adaptar o anterior enunciado a un problema escolar que sería abordable polo alumnado da ESO:

Problema da persecución de Apolonio; versión escolar. Dous barcos A e B están a unha distancia de 3 km. Desprázanse en liña recta e a velocidade de B é k veces a de A. O barco A leva unha dirección que forma un ángulo de 45º coa liña que une os dous barcos.  B vai interceptar a A no menor tempo posible, acha o punto de encontro sabendo que $$k=\sqrt { \frac { 7 }{ 8 }  } $$

Para resolvelo basta con decatarse de que as lonxitudes dos lados a e b deben estar na mesma proporción que as velocidades dos barcos. Ademais, como o ángulo é de 45º, a altura do triángulo vai ser x.

$$\sqrt { \frac { 7 }{ 8 }  } \cdot a=b\quad \quad \quad ;\quad \quad \frac { 7 }{ 8 } { a }^{ 2 }={ b }^{ 2 }$$

Entón o problema redúcese a resolver unha ecuación de segundo grao:

$$\frac { 7 }{ 8 } \left( { x }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } \right) ={ \left( 3-x \right)  }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }$$

O que nunca deixa de sorprenderme das matemáticas é que tanto esta resolución analítica como a xeométrica coinciden a pesar de seren desenvolvidas por métodos completamente distintos. Ante a vista de casos coma este fáiseme moi costa arriba asumir que haxa xente que non goce deste tipo de casualidades. Ninguén pode negar que as matemáticas teñen o seu aquel de fermosura.

Problema sen palabras

Non é a primeira vez que deixo por aquí un problema sen palabras.
Este, do libro Resuélvelo! de James S. Tanton, da estupenda colección da Biblioteca Estímulos Matemáticos da RSME-SM, é unha perla que dá mostra do tesouro que esconde a obra.

Unha clase da era da COVID-19

Calquera que estude matemáticas, polo si ou polo non, terá que acabar colléndolle gusto á abstracción. Con todo, isto non significa que a abstracción sexa sempre a mellor opción. Na práctica do ensino é normalmente a peor.
Estando na facultade, creárase os "Martes culturais". Na última hora da mañá dos martes programábase unha actividade tal como a proxección dunha película, unha conferencia,... non necesariamente de temas matemáticos. Lembro que se presentara o libro "Manuscritos matemáticos de Karl Marx", e que o autor do prólogo e a tradución, Xenaro García Suárez, viñera a presentalo. No debates posterior tratouse o tema da crítica do bispo G. Berkeley aos infinitésimos, esas cantidades que por veces son algo e por veces non son nada, segundo conveña. Isto deu pé a unha polémica sobre a didáctica das matemáticas. Había, como non, un profesor da facultade que defendía con convicción a tese de que no ensino había que ir do abstracto ao concreto. Non son quen de reproducir as palabras exactas pero os seus argumentos eran algo deste estilo:
Non, un triángulo non é máis abstracto que un espazo de dimensión infinita. Nun triángulo tes que coller un lado, e pegalo con coidado a outro lado, e despois un terceiro lado que se axuste moi ben aos outros dous. Pero se tes unha liña, xa tes un espazo de dimensión 1,  trazas, outra perpendicular e xa tes un de dimensión dous,... e así ata o infinito.
E  declamaba en alto o que os presentes entendiamos como os seguintes símbolos:$$\mathbb{R}\quad \quad \mathbb{R}^{2}\quad ....\quad \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$$
Por se alguén botou as mans á cabeza, aclararlle que o autor deste disparatado argumento foi un dos mellores profesores que tiven en toda a carreira. Pero érao porque practicaba o contrario do que defendía. Nas clases destrozaba o formalismo e centrábase en comunicar as ideas importantes no desenvolvemento das demostracións. Foi ao primeiro profesor da facultade, despois de cinco  meses, ao que lle entendín algo.
Despois desta breve introdución, imos ao cerne.
Sen tempo a prepararnos estamos mergullados na distopía do confinamento. Cada quen dispara cara onde pode. Eu véxome andando ás atoutiñadas por isto do teletraballo. Menos mal que unha semana despois da declaración suspensión das clases, a benemérita Consellería publica unhas directrices para o teletraballo docente. Apenas as vou comentar,  pois xa houbo quen o fixo cargado de acerto.
As directrices teñen 5 capítulos:

1. Instrucións en relación co COVID-19
2. Orientacións para o desenvolvemento do ensino non presencial
3. Espazos virtuais con recursos educativos
4. Ferramentas específicas
5. Teleformación e asesoramento para o profesorado 

Como xa sabía o contido do 1, e nesa semana xa tivera que andar a tombos procurando o 2, o 3, e como do 5 non esperaba nada, lanceime, iluso de min, ao 4. Ferramentas específicas
Teño que deixar constancia de que a CIG-Ensino está acertada neste comunicado pois de entre todas as coleccións que recomendan só unha, o espazoAbalar,  ten unha parte de contidos en galego, o resto son materiais foráneos.
Eu esperaba algún listado de recursos por materia, e non ferramentas como Geogebra, Amara ou Arduino, que aquel que as coñecía xa as podía usar, mais un novo usuario das mesmas precisará quizais todo o tempo do confinamento para ter un coñecemento das mesmas que lle permita, eventualmente, crear algún tipo de material didáctico. Incluso esperaba algo máis práctico,  dispoñer de exemplos, por materia de contidos reais que me permitiran non cometer todos os erros que estou cometendo nas clases virtuais destes días. Eu esperaba ver algo concreto, cousas como as que está publicando Aulas Galegas, ou exemplos de clases reais e palpables.

Un exemplo. As clases desta semana de 4º da ESO
Velaquí a miña clase destes días para 4º da ESO. Nos días anteriores estudáronse as funcións lineares: a pendente, o significado da pendente respecto á gráfica da recta segundo esta aumente, diminúa, sexa maior ou menor. Tamén se tratou o valor da ordenada na orixe na representación gráfica. En definitiva, os primeiros contidos desta U.D.
Con estes precedentes, esta semana seguiremos como guía esta presentación (é a primeira vez que uso unha presentación nunha clase) e trataremos o uso de follas de cálculo para construír gráficos a partir destes datos