A selección natural de exercicios (e 2)

Na entrada anterior xa adiantaba que resolvería o seguinte exercicio:

Exercicio 1. Determina o ángulo que forman as funcións $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ e $f'(x)$ no punto de corte.

Respecto doutros deste mesmo tipo, este ten a orixinalidade de que non se dan dúas funcións, senón só unha (e a súa derivada). A curiosidade lévanos a determinar esa derivada:

$f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Achemos o punto de corte de $f$ e $f'$:

$\sqrt{1-x^{2}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$1-x^{2}=-x$

$x^{2}-x-1=0$

Chegamos a unha ecuación cadrática ben famosa, a que ten como solucións  $x_1=\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, o número áureo, e $x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1}{\phi}$. Desbotamos a primeira e quedámonos coa segunda. A razón está en cal é o punto de corte de $f$, a semicircunferencia superior de raio $1$  e $f'$ 

$$f(\frac{-1}{\phi})=\sqrt{1-\frac{1}{\phi^{2}}}=\sqrt{\frac{\phi^{2}-1}{\phi^{2}}}=\sqrt{\frac{\phi}{\phi^{2}}}=\sqrt{\frac{1}{\phi}}=f'\left( \frac{1}{\phi} \right)=tan\alpha$$

Para calcular a pendente da recta tanxente a $f'$ temos que calcular a súa derivada $f''$:

$$f''(x)=-\frac{\sqrt{1-x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}=-\frac{1-x^2+x^2}{\left( 1-x^2 \right)\sqrt{1-x^2}}=-\frac{-1}{\left( 1-x^2 \right)^{\frac{3}{2}}}$$

$$f''(-\frac{1}{\phi})=-\frac{1}{\left( 1-\frac{1}{\phi^2} \right)^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{\left( \frac{\phi^2-1}{\phi^2} \right)^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{\left( \frac{1}{\phi} \right)^{\frac{3}{2}}}=-\phi^\frac{3}{2}=-\sqrt{\phi^3}=-\phi\sqrt{\phi}=tan\beta$$

Sexa $\gamma=\alpha - \beta$:

$$tan\gamma=tan\left( \alpha-\beta \right)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha\cdot tan\beta}=\frac{\frac{1}{\sqrt{\phi}}+\phi\sqrt{\phi}}{1-\frac{1}{\sqrt{\phi}}\phi\sqrt{\phi}}=\frac{\frac{1+\phi^2}{\sqrt{\phi}}}{1-\phi}=\frac{\phi+2}{\sqrt{\phi}\left( 1-\phi \right)}$$

Como despois de achar esta alfaia estou seguro de que as ansias de seguir pescudando un tesouro non fixeron outra cousa que incrementarse, regalaremos un par de exercicios máis.

Exercicio 2. Determina o ángulo que forman as funcións $f(x)=cosx$  e  $g(x)=tanx$ no primeiro punto de corte despois da orixe.

Exercicio 3. Determina o ángulo que forman as funcións $f(x)=senhx$  e  $g(x)=cothx$ no primeiro punto de corte despois da orixe.

ttps://www.youtube.com/watch?v=hDDYYiD6W1A&t=6s

https://x.com/d_r_o_n_e/status/2084912496822149287