Fraccións continuas teito e as montañas de Galicia

por Andrés Ventas

Fraccións continuas teito

Unha fracción continua teito ($fct$) é unha fracción continua na que usamos a función teito para obter os seus coeficientes. Os seus converxentes $\frac{p_i}{q_i}$ obtéñense mediante unha recorrencia de resta,

$p_{-1}=1,p_0=c_0,p_i=c_i{p}_{i-1}-p_{i-2}$.

$q_{-1}=0,q_0=1,q_i=c_i{q}_{i-1}-q_{i-2}$.

Para o cálculo da fracción continua, se $x$ é racional usamos o algoritmo de Euclides coa función teito e se o número e irracional usamos unha iteración sobre o inverso de $x$ restando en cada paso o valor teito do resultado.

Hai varias notacións.É moi cómoda a reducida, choendo os coeficientes entre símbolos da función teito $\lceil c_0,c_1,c_2,c_3,\cdots \rceil$.

A notación tradicional é $$\mathrm{x}=c_0-\frac{1}{c_1-\frac{1}{c_2-\frac{1}{c_3-\cdots \phantom{\frac{1}{1}}}}}$$

E a maiores hai outra notación semireducida $c_0-{\displaystyle \frac{1}{c_1-}}{\displaystyle \frac{1}{c_2-}}{\displaystyle \frac{1}{c_3-}}{\displaystyle \frac{}{\dots }}$,

Vexamos dous exemplos de cálculo:

Con Euclides teito, calculamos a $fct$ de ${\displaystyle \frac{93}{20}}$ e os seus converxentes,

Cociente teito resto 93 20 $c_0=5$ -7 20 7 $c_1=3$ -1 7 1 $c_2=7$ 0

5 3 7 $p_i$ 1 5 14 93 $q_i$ 0 1 3 20

Así ${\displaystyle \frac{93}{20}}=\lceil 5,3,7\rceil =5-\frac{1}{3-\frac{1}{7\phantom{\frac{1}{1}}}}$. (Como fracción continua regular ${\displaystyle \frac{93}{20}}=[4,1,1,1,6]).$

Agora con inverso iterativo, calculamos $\sqrt{3}\approx 1.7320$ e os seus converxentes,

$c_i=\lceil x_{i-1}\rceil$ $r_i=c_i-x_{i-1}$ $x_i=1/r_i$ $x_{-1}\approx 1.7320$ $c_0=2$ 0.2680 3.7320 $c_0=4$ 0.2680 3.7320 $c_0=4$ 0.2680 3.7320 $\dots$ $\dots$ $\dots$

2 4 4 4 $\cdots$ $p_i$ 1 2 7 26 97 $\cdots$ $q_i$ 0 1 4 15 56 $\cdots$

Así temos $\sqrt{3}=\lceil 2,4,4,\cdots \rceil$,

sendo $\sqrt{3}\approx 1.7320$ e o cuarto converxente ${\displaystyle \frac{97}{56}}\approx 1.7321$.

Comparten moitas propiedades coas fraccións continuas regulares, mais evidentemente teñen as súas pecularidades. No libro de Sergey Khrushchev, Orthogonal Polynomials and Continued Fractions temos un minucioso tratado.

As $fct$ converxen sempre polo lado superior.

Nalgúns casos as $fct$ dan o menor número de pasos, aínda que normalmente son peores en número de pasos. De feito non cumpren coa constante de Khinchin, porque se atoan nos coeficientes, fundamentalmente no $2$.

No 1657 Brouncker atopa, seguindo outro camiño, unha fracción continua teito para solucionar a ecuación de Pell $x^2-2y^2=1$, onde as solucións son certos converxentes da $fct=\lceil 6,6,6,\dots \rceil$, con recorrencia $x_n=6x_{n-1}-x_{n-2}$ e por tanto a solución consiste en resolver a ecuación $x=6-{\displaystyle \frac{1}{x}}$, que dá $x=3+2\sqrt{2}$. (Lema 2.21 do libro de Khrushchev).

Se se permiten coeficientes en $\mathbb{Q}$ ou mesmo en $\mathbb{C}$ os resultados son máis interesantes aínda, serían funcións teito xeneralizadas que van en paralelo coas fraccións continuas xeneralizadas.

Fraccións continuas mixtas

Na fracción continua mixta ($fcm$) usamos a función teito ou chan en cada paso en función do menor residuo. A notación sería igual que a da fracción continua regular mais levando un superindice "$\mathbf{-}$" sobre os coefcientes que se obteñan coa función teito $[c_0,c_1^{\mathbf{-}},c_2^{\mathbf{-}},c_3,\cdots ]$.

Para obter os seus converxentes ${\displaystyle \frac{p_i}{q_i}}$ temos recorrencia de suma ou resta en función do superíndice do coeficiente $c_{i-1}$, restamos cando $c_{i-1}^{\mathbf{-}}$ ten superíndice negativo.

$p_{-1}=1,p_0=c_0,p_i=c_i{p}_{i-1}\pm p_{i-2}$.

$q_{-1}=0,q_0=1,q_i=c_i{q}_{i-1}\pm q_{i-2}$.

(Signo negativo se $c_{i-1}$ ten superíndice $\mathbf{-}$).

Este tipo de fracción dá o menor número de pasos no algoritmo de Euclides e igualmente dá o menor número de termos na fracción continua. Outra vez vexamos dous exemplos.

Con Euclides mixto, calculamos a $fcm$ de $\frac{2114}{61}$, e os seus converxentes,

Cociente teito ou chan resto 2114 61 $c_0={35}^{\mathbf{-}}$ -21 61 21 $c_1=3^{\mathbf{-}}$ -2 21 2 $c_2=10$ 1 2 1 $c_3=2$ 0

${35}^{\mathbf{-}}$ $3^{\mathbf{-}}$ 10 2 $p_i$ 1 35 104 1005 2114 $q_i$ 0 1 3 29 61

Por tanto ${\displaystyle \frac{2114}{61}}=[{35}^{\mathbf{-}},3^{\mathbf{-}},10,2]$.

Xa temos unha moi boa cousa positiva das $fcm$ pois obtemos o $mcd$ nun menor número de pasos e por tanto tamén o multiplicativo modular inverso.

Constantes das montañas de Galicia

Chámanse medias ou constantes metálicas os valores das fraccións continuas que teñen todos os seus coeficientes iguais, a máis famosa precisamente a proporción aurea $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618033\dots$ con fracción continua regular $[1,1,1,1,\dots ]$.

Así que imos aproveitar para definir, usando as $fct$ de forma similar, as constantes das montañas de Galicia. Temos que $fct=\lceil 3,3,3,\dots \rceil =\frac{3+\sqrt{5}}{2}=2.618033\dots$ que como vemos é $\phi +1$ e a esta constante ímoslle chamar Pena Trevinca pois o nome évos ben acaído para ese conxunto de treses.

É fácil demostrar que o valor para calquera $fct$ cos coeficientes repetidos é $$\lceil c,c,c,c,\dots \rceil ={\displaystyle \frac{c+\sqrt{c^2-4}}{2}}$$ por tanto podemos asignar unha constante a cadanseu monte:

O caso da $fct=\lceil 2,2,2,\dots \rceil$ é particular pois ten como solución unha constante enteira $1$, así que imos deixar esa constante para o Monte da Guía en Vigo que ten só $100$ metros.

$fct$	Constante	Monte	Altura
$\lceil 2,2,2,\dots \rceil$	$\frac{2+\sqrt{0}}{2}=1$	Monte da Guía (Vigo)	100 metros
$\lceil 3,3,3,\dots \rceil$	$\frac{3+\sqrt{5}}{2}=2.618033$	Pena Trevinca (Serra do Eixo)	2127 metros
$\lceil 4,4,4,\dots \rceil$	$\frac{4+\sqrt{12}}{2}=2+\sqrt{3}=3.732050$	Cuíña (Serra dos Ancares)	1987 metros
$\lceil 5,5,5,\dots \rceil$	$\frac{5+\sqrt{21}}{2}=4.791287$	Manzaneda (Serra da Queixa)	1781 metros
$\lceil 6,6,6,\dots \rceil$ (Brouncker)	$\frac{6+\sqrt{32}}{2}=3+2\sqrt{2}=5.828427$	Formigueiros (Serra do Courel)	1639 metros
$\lceil 7,7,7,\dots \rceil$	$\frac{7+\sqrt{45}}{2}=6.854101$	O Turrieiro (Serra da Enciña da Lastra)	1612 metros
$\lceil 8,8,8,\dots \rceil$	$\frac{8+\sqrt{60}}{2}=4+\sqrt{15}=7.872983$	Monte Faro (Serra do Faro)	1187 metros
$\lceil 9,9,9,\dots \rceil$	$\frac{9+\sqrt{77}}{2}=8.887482$	O Cadramón (Serra do Xistral)	1056 metros

Bibliografia

Sergey Khrushchev, Orthogonal Polynomials and Continued Fractions

Wikipedia, Fracción continua

Wikipedia Fraccións continuas xeneralizadas.

Wikipedia, Constante de Khinchin

Wiwipedia, Metallic Means

Un regalo da xeometría inversiva

Nunca estudei a xeometría inversiva. O máis cerca que estiven diso foi nas clases de Álxebra II, no segundo cuso da carreira, cando traballamos a razón dobre. Aquel achegamento , facendo honra á denominación da materia, foi puramente alxébrico. Nesas clases nunca debuxamos unha circunferencia. Así, cando vexo algúns apuntes sobre ese tema ando sempre ás atoutiñadas, todo me sorprende. 

Nunha entrada anterior xa se explicaba en que consistía a inversión dun plano mediante unha circunferencia. Recórdoo de seguido. Trátase dunha transformación do plano (agás un punto) en si mesmo. Dada unha circunferencia, (que chamaremos circunferencia inversiva) de centro O (centro de inversión) e raio R construiremos a inversión así:

Se $P$ é un punto do círculo de centro $O$ e raio $R=OT$ trazamos a semirecta $OP$ e a súa perpendicular polo punto $P$. Esta perpendicular cortará en dous puntos á circunferencia. A tanxente nun destes puntos cortará a semirecta $OP$ nun punto $P^{\prime }$ que será a inversión de $P$

No caso de que $P$ fique fóra do círculo a obtención de $P^{\prime }$ sería semellante. Desde $P$ trazamos unha das tanxentes á circunferencia $PT$. Despois trázase a perpendicular a $OP$ por $T$ e obtemos $P^{\prime }$

En calquera caso  o inverso dun punto $P$ respecto dunha circunferencia de centro $O$ e raio $R$ é outro punto $P^{\prime }$ na semirecta $OP$ tal que $OP\cdot O{P}^{\prime }=R^2$ Son bastante evidentes as seguintes propiedades:

• O inverso do inverso é o propio punto
• O inverso dun punto interior á circunferencia fica fóra da mesma e viceversa.
• Os únicos puntos auto-inversos son os da circunferencia

Na entrada á que facía referencia anteriormente deducíranse algunhas propiedades da inversión usando un método un tanto estrafalario (mediante o uso da proxección estereográfica). Alí establecimos os seguintes resultados:

• A inversión conserva os ángulos
• A inversa dunha recta que pasa por O é a propia recta (sempre que omitamos o propio punto O, que é o único que non ten imaxe)
• A inversión transforma circunferencias que non pasan por O en circunferencias
• A inversión transforma circunferencias que pasan por O en rectas.

Imos demostrar a última propiedade mediante un procedemento máis estándar. Recóllo do libro "Regreso a la geometría" de H.S.M Coxeter e S.L. Greitzer (La tortuga de Aquiles 1993).

Consideremos unha recta $a$ que non pase por $O$. Tracemos desde $O$ a perpendicular a $a$, $=OA$. Sexa $A^{\prime }$ a inversa de $A$. Debuxemos a circunferencia $\alpha$ de diámetro $OA$. Desde un punto $P\in a$ trazamos o segmento $OP$ que cortará a $\alpha$ nun punto $P^{\prime }$. 

Os triángulos $\mathrm{△}O{P}^{\prime }{A}^{\prime }$ e $\mathrm{△}OPA$ son semellantes xa que comparte o ángulo en O e ambos teñen ademais un ángulo recto. De aí que tamén $$\frac{OP}{OA}=\frac{O{A}^{\prime }}{O{P}^{\prime }}\Rightarrow OP\cdot O{P}^{\prime }=OA\cdot O{A}^{\prime }=R^2$$

Entón $P^{\prime }$ é o inverso de P.  Recíprocamente calquera punto da circunferencia $\alpha$ invértese noutro da recta $a$

A lonxitude dun segmento invertido

Seguindo o libro de Coxeter e Greitzer abordaremos agora un teorema que explica como se modifica a distancia mediante a inversión. 

Fórmula da lonxitude dun segmento invertido. Se unha circunferencia $\omega$ de centro $O$ e raio $R$ inverte os puntos $A$ e $B$ en $A^{\prime }$ e $B^{\prime }$, as distancias verifican a seguinte relación $$A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{R^2\cdot AB}{OA\cdot OB}$$

Sexa $A^{\prime }$ inverso de $A$: $OA\cdot O{A}^{\prime }=R^2$

Sexa $B^{\prime }$ inverso de $B$: $OB\cdot O{B}^{\prime }=R^2$

Entón $OA\cdot O{A}^{\prime }=OB\cdot O{B}^{\prime }$ polo que e  $$\frac{OA}{OB}=\frac{O{B}^{\prime }}{O{A}^{\prime }}$$

Daquela os triángulos $\mathrm{△}OAB$ e $\mathrm{△}O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ son semellantes pois o ángulo en O é común e os lados que o determinan son proporcionais (aplicamos o chamado criterio LAL). Polo tanto temos tamén que $$\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{O{A}^{\prime }}{OB}=\frac{OA\cdot O{A}^{\prime }}{OA\cdot OB}=\frac{R^2}{OA\cdot OB}$$

Despexando, obtemos a igualdade prometida: $$A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{R^2\cdot AB}{OA\cdot OB}$$

Un regalo: o teorema de Ptolomeo

Hai moitas demostracións do teorema de Ptolomeo. Algunhas teñen base trigonométrica, outras usan a semellanza de triángulos. No libro que vimos mencionando demóstrase este teorema usando a recta de Simson-Wallace (para este tema ver estas outras entradas neste mesmo blogue [1] e [2]). Resulta que tamén hai unha demostración inversiva, ademais é directa e simple.

Antes de nada lembremos que un cuadrilátero cíclico é aquel que ten os catro vértices nunha mesma circunferencia. Sabendo isto podemos enunciar o

Teorema de Ptolomeo. Se ABCD é un cuadrilátero cíclico, a suma dos produtos dos pares de lados opostos é igual ao produto das diagonais, isto é: $AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot BC$

Sexa $\alpha$ a circunferencia pola que pasan os catro vértices do cuadrilátero. Tomando o vértice $A$ como centro, construímos outra circunferencia $\omega$ que conteña ao cuadrilátero. Agora, como os outros vértices, $B$, $C$ e $D$ están en $\alpha$, unha circunferencia que pasa polo centro de inversión, se os invertemos, as súas imaxes $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ e $D^{\prime }$ ficarán todas nunha recta. Velaí que $$B^{\prime }{D}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }+C^{\prime }{D}^{\prime }$$

Fagamos agora uso da fórmula, dada anteriormente,  que nos dá a distancia dun segmento invertido:$$\frac{R^2\cdot BD}{AB\cdot AD}=\frac{R^2\cdot BC}{AB\cdot AC}+\frac{R^2\cdot CD}{AC\cdot AD}$$

Eliminando $R^2$ e sacando denominadores facendo uso de que o seu mínimo común múltiplo é $AB\cdot AC\cdot AD$:

$$AB\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot CD$$

O recíproco do teorema de Ptolomeo tamén se verifica, isto é:

Recíproco do teorema de Ptolomeo. Se ABCD é un cuadrilátero tal que: $AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot BC$, entón ABCD é un cuadrilátero cíclico.

Por outra banda, dados catro puntos calquera, sempre se verificaría a desigualdade, coñecida tamén como desigualdade de Ptolomeo: $$AB\cdot BD\le AD\cdot BC+AB\cdot CD$$

Ademais a igualdade que nos ofrece o teorema de Ptolomeo caracteriza os cuadriláteros cíclicos.

Como colofón citaremos a seguinte aplicación do teorema de Ptolomeo. Consideremos o pentágono regular de lado unidade. As súas diagonais son evidentemente iguais (son a base de triángulos isósceles de lado 1); poñamos que miden $\phi$ Desbotando por exemplo o vértice superior quédanos un cuadrilátero cícliclo.

Se lle aplicamos a este cuadrilátero o teorema de Ptolomeo teremos que $$\phi \cdot \phi =1\cdot \phi +1$$

$${\phi }^2=\phi +1$$

Esta é unha ecuación doada de resolver, ou de recoñecer.