Fraccións continuas teito e as montañas de Galicia

por Andrés Ventas

Fraccións continuas teito

Unha fracción continua teito ($fct$) é unha fracción continua na que usamos a función teito para obter os seus coeficientes. Os seus converxentes $\frac{p_i}{q_i}$ obtéñense mediante unha recorrencia de resta,

$p_{-1}=1,p_0=c_0,p_i=c_i{p}_{i-1}-p_{i-2}$.

$q_{-1}=0,q_0=1,q_i=c_i{q}_{i-1}-q_{i-2}$.

Para o cálculo da fracción continua, se $x$ é racional usamos o algoritmo de Euclides coa función teito e se o número e irracional usamos unha iteración sobre o inverso de $x$ restando en cada paso o valor teito do resultado.

Hai varias notacións.É moi cómoda a reducida, choendo os coeficientes entre símbolos da función teito $\lceil c_0,c_1,c_2,c_3,\cdots \rceil$.

A notación tradicional é $$\mathrm{x}=c_0-\frac{1}{c_1-\frac{1}{c_2-\frac{1}{c_3-\cdots \phantom{\frac{1}{1}}}}}$$

E a maiores hai outra notación semireducida $c_0-{\displaystyle \frac{1}{c_1-}}{\displaystyle \frac{1}{c_2-}}{\displaystyle \frac{1}{c_3-}}{\displaystyle \frac{}{\dots }}$,

Vexamos dous exemplos de cálculo:

Con Euclides teito, calculamos a $fct$ de ${\displaystyle \frac{93}{20}}$ e os seus converxentes,

Cociente teito resto 93 20 $c_0=5$ -7 20 7 $c_1=3$ -1 7 1 $c_2=7$ 0

5 3 7 $p_i$ 1 5 14 93 $q_i$ 0 1 3 20

Así ${\displaystyle \frac{93}{20}}=\lceil 5,3,7\rceil =5-\frac{1}{3-\frac{1}{7\phantom{\frac{1}{1}}}}$. (Como fracción continua regular ${\displaystyle \frac{93}{20}}=[4,1,1,1,6]).$

Agora con inverso iterativo, calculamos $\sqrt{3}\approx 1.7320$ e os seus converxentes,

$c_i=\lceil x_{i-1}\rceil$ $r_i=c_i-x_{i-1}$ $x_i=1/r_i$ $x_{-1}\approx 1.7320$ $c_0=2$ 0.2680 3.7320 $c_0=4$ 0.2680 3.7320 $c_0=4$ 0.2680 3.7320 $\dots$ $\dots$ $\dots$

2 4 4 4 $\cdots$ $p_i$ 1 2 7 26 97 $\cdots$ $q_i$ 0 1 4 15 56 $\cdots$

Así temos $\sqrt{3}=\lceil 2,4,4,\cdots \rceil$,

sendo $\sqrt{3}\approx 1.7320$ e o cuarto converxente ${\displaystyle \frac{97}{56}}\approx 1.7321$.

Comparten moitas propiedades coas fraccións continuas regulares, mais evidentemente teñen as súas pecularidades. No libro de Sergey Khrushchev, Orthogonal Polynomials and Continued Fractions temos un minucioso tratado.

As $fct$ converxen sempre polo lado superior.

Nalgúns casos as $fct$ dan o menor número de pasos, aínda que normalmente son peores en número de pasos. De feito non cumpren coa constante de Khinchin, porque se atoan nos coeficientes, fundamentalmente no $2$.

No 1657 Brouncker atopa, seguindo outro camiño, unha fracción continua teito para solucionar a ecuación de Pell $x^2-2y^2=1$, onde as solucións son certos converxentes da $fct=\lceil 6,6,6,\dots \rceil$, con recorrencia $x_n=6x_{n-1}-x_{n-2}$ e por tanto a solución consiste en resolver a ecuación $x=6-{\displaystyle \frac{1}{x}}$, que dá $x=3+2\sqrt{2}$. (Lema 2.21 do libro de Khrushchev).

Se se permiten coeficientes en $\mathbb{Q}$ ou mesmo en $\mathbb{C}$ os resultados son máis interesantes aínda, serían funcións teito xeneralizadas que van en paralelo coas fraccións continuas xeneralizadas.

Fraccións continuas mixtas

Na fracción continua mixta ($fcm$) usamos a función teito ou chan en cada paso en función do menor residuo. A notación sería igual que a da fracción continua regular mais levando un superindice "$\mathbf{-}$" sobre os coefcientes que se obteñan coa función teito $[c_0,c_1^{\mathbf{-}},c_2^{\mathbf{-}},c_3,\cdots ]$.

Para obter os seus converxentes ${\displaystyle \frac{p_i}{q_i}}$ temos recorrencia de suma ou resta en función do superíndice do coeficiente $c_{i-1}$, restamos cando $c_{i-1}^{\mathbf{-}}$ ten superíndice negativo.

$p_{-1}=1,p_0=c_0,p_i=c_i{p}_{i-1}\pm p_{i-2}$.

$q_{-1}=0,q_0=1,q_i=c_i{q}_{i-1}\pm q_{i-2}$.

(Signo negativo se $c_{i-1}$ ten superíndice $\mathbf{-}$).

Este tipo de fracción dá o menor número de pasos no algoritmo de Euclides e igualmente dá o menor número de termos na fracción continua. Outra vez vexamos dous exemplos.

Con Euclides mixto, calculamos a $fcm$ de $\frac{2114}{61}$, e os seus converxentes,

Cociente teito ou chan resto 2114 61 $c_0={35}^{\mathbf{-}}$ -21 61 21 $c_1=3^{\mathbf{-}}$ -2 21 2 $c_2=10$ 1 2 1 $c_3=2$ 0

${35}^{\mathbf{-}}$ $3^{\mathbf{-}}$ 10 2 $p_i$ 1 35 104 1005 2114 $q_i$ 0 1 3 29 61

Por tanto ${\displaystyle \frac{2114}{61}}=[{35}^{\mathbf{-}},3^{\mathbf{-}},10,2]$.

Xa temos unha moi boa cousa positiva das $fcm$ pois obtemos o $mcd$ nun menor número de pasos e por tanto tamén o multiplicativo modular inverso.

Constantes das montañas de Galicia

Chámanse medias ou constantes metálicas os valores das fraccións continuas que teñen todos os seus coeficientes iguais, a máis famosa precisamente a proporción aurea $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618033\dots$ con fracción continua regular $[1,1,1,1,\dots ]$.

Así que imos aproveitar para definir, usando as $fct$ de forma similar, as constantes das montañas de Galicia. Temos que $fct=\lceil 3,3,3,\dots \rceil =\frac{3+\sqrt{5}}{2}=2.618033\dots$ que como vemos é $\phi +1$ e a esta constante ímoslle chamar Pena Trevinca pois o nome évos ben acaído para ese conxunto de treses.

É fácil demostrar que o valor para calquera $fct$ cos coeficientes repetidos é $$\lceil c,c,c,c,\dots \rceil ={\displaystyle \frac{c+\sqrt{c^2-4}}{2}}$$ por tanto podemos asignar unha constante a cadanseu monte:

O caso da $fct=\lceil 2,2,2,\dots \rceil$ é particular pois ten como solución unha constante enteira $1$, así que imos deixar esa constante para o Monte da Guía en Vigo que ten só $100$ metros.

$fct$	Constante	Monte	Altura
$\lceil 2,2,2,\dots \rceil$	$\frac{2+\sqrt{0}}{2}=1$	Monte da Guía (Vigo)	100 metros
$\lceil 3,3,3,\dots \rceil$	$\frac{3+\sqrt{5}}{2}=2.618033$	Pena Trevinca (Serra do Eixo)	2127 metros
$\lceil 4,4,4,\dots \rceil$	$\frac{4+\sqrt{12}}{2}=2+\sqrt{3}=3.732050$	Cuíña (Serra dos Ancares)	1987 metros
$\lceil 5,5,5,\dots \rceil$	$\frac{5+\sqrt{21}}{2}=4.791287$	Manzaneda (Serra da Queixa)	1781 metros
$\lceil 6,6,6,\dots \rceil$ (Brouncker)	$\frac{6+\sqrt{32}}{2}=3+2\sqrt{2}=5.828427$	Formigueiros (Serra do Courel)	1639 metros
$\lceil 7,7,7,\dots \rceil$	$\frac{7+\sqrt{45}}{2}=6.854101$	O Turrieiro (Serra da Enciña da Lastra)	1612 metros
$\lceil 8,8,8,\dots \rceil$	$\frac{8+\sqrt{60}}{2}=4+\sqrt{15}=7.872983$	Monte Faro (Serra do Faro)	1187 metros
$\lceil 9,9,9,\dots \rceil$	$\frac{9+\sqrt{77}}{2}=8.887482$	O Cadramón (Serra do Xistral)	1056 metros

Bibliografia

Sergey Khrushchev, Orthogonal Polynomials and Continued Fractions

Wikipedia, Fracción continua

Wikipedia Fraccións continuas xeneralizadas.

Wikipedia, Constante de Khinchin

Wiwipedia, Metallic Means